\chapter{Unitäre Räume und Hilberträume} \label{cha:unitare-raume-und} \section{Grundbegriffe} \label{sec:grundbegriffe} Auch in diesem Kapitel bezeichen wir mit $\K$ wieder grundsätzlich einen der beiden Körpern $\R$ und $\K = ℂ$. Wir werden uns hier mit einer noch spezielleren Klasse von Räumen befassen, die noch mehr Struktur als die normierten Räume haben, nämlich ein Skalarprodukt: \begin{definition} Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Eine Abbildung $\langle \cdot, \cdot \rangle: X × X → \K$ heißt \emph{Skalarprodukt} auf $X$, falls gilt \begin{wenumerate}[label=(U\arabic*)] \item $\langle x, x \rangle > 0$ für alle $0 \ne x ∈ X$. \item $\langle x, y \rangle = \cl {\langle y, x \rangle}$ für alle $x, y ∈ X$. \item $\langle x, \alpha y + β z \rangle = \alpha \langle x, y \rangle + β \langle x,z \rangle$ für alle $\alpha , β ∈ \K$, $x,y,z ∈ X$. \end{wenumerate} $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Skalarproduktraum}, \emph{unitärer Raum} oder \emph{Prähilbertraum}. \end{definition} \begin{bemerkung-nn} Offenbar ist $\langle -,- \rangle$ in der ersten Komponente konjugiert linear. \end{bemerkung-nn} \begin{satz} Sei $(X, \langle -,- \rangle)$ ein unitärer Raum. Dann gelten die folgenden Aussagen: \begin{enumerate} \item Durch $\norm x \coloneq \sqrt{\langle x, x \rangle}$ wird eine Norm definiert. Dadurch wird jeder unitäre Raum auf natürliche Art und Weise normiert und trägt dadurch die induzierte natürliche Topologie. \item $|\langle x,y \rangle| \le \norm x \norm y$ mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig (Cauchy-Schwarz-Ungleichung). \item $\norm {x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2(\norm x^2 + \norm y^2)$ (Parallelogrammgleichung), \item Für $\K = ℝ$ gilt \[ \langle x,y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm { x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right), \] für $\K = ℂ$ \[ \langle x, y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 - i \norm{x+iy}^2 + i\norm{x-iy}^2 \right). \] \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Einfaches Nachrechnen unter Verwendung von (b) \item Für $y = 0$ ist die Behauptung klar. Sei also $y \ne 0, \alpha ∈ ℂ$. Dann \[ \langle x + \alpha y, x+\alpha y \rangle = \langle x, x \rangle + \cl \alpha \langle y, x \rangle + \alpha \langle x,y \rangle + |\alpha |^2 \langle y,y \rangle. \] Speziell für $\cl \alpha \coloneq - \frac{\langle x,y \rangle}{\langle y,y \rangle}$ ergibt sich \[ 0 \le \langle x + \alpha y, x+\alpha + \rangle = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} + \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle}. \] Durch Umstellen ergibt sich \[ \langle x, x \rangle \ge \frac{|\langle x,y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle} \gdw |\langle x,y \rangle|^2 \le \norm x ^2 \norm y^2. \] Die CSU erhält man durch Wurzel ziehen. Gleichheit gilt genau dann, wenn \[ \langle x+ \alpha y, x+\alpha y \rangle = 0 \gdw x + \alpha y = 0, \] also wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind. \item Es gilt \[ \norm {x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\Re(\langle x,y \rangle) + \norm y ^2. \] Addieren dieser Gleichungen für $+$ und $-$ ergibt die Behauptung. \item Es gilt \begin{align*} \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 &= (\norm x^2 + 2 \Re \langle x,y\rangle + \norm y^2) - (\norm x^2 - 2 \Re \langle x,y \rangle + \norm y^2) \\ & = 4 \Re \langle x,y \rangle. \end{align*} Analog haben wir \[ -i \norm{x+iy}^2 + i \norm{x-iy}^2 = … = 4i \Im \langle x,y \rangle, \] was die Behauptung impliziert. \end{enumerate} \end{proof} \begin{satz} Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum, der die Parallelogrammgleichung erfüllt. Dann definieren \[ \langle x,y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm { x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right), \] und \[ \langle x, y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 - i \norm{x+iy}^2 + i\norm{x-iy}^2 \right). \] Skalarprodukte auf $X$ (für $\K = ℝ$ bzw $ℂ$). \end{satz} \begin{proof} Stupides nachrechnen (oder so ähnlich). \end{proof} \begin{bemerkung} \begin{enumerate} \item Die Paralellogrammgleichung ist somit charakteristisch für unitäre Räume. \item $(C(S),\norm\cdot_\infty )$ mit $S ⊂ ℝ^n$ kompakt erfüllt dies nicht. \item Die Abbildung $\langle \cdot,\cdot \rangle$ in unitären Räumen ist stetig in beiden Komponenten als unmittelbare Konsequenz aus der Stetigkeit der Norm. \end{enumerate} \end{bemerkung} \begin{definition} Ein bezüglich der Norm $\norm \cdot \coloneq \sqrt{ \langle \cdot,\cdot \rangle}$ vollständiger unitärer Raum $(X,\langle \cdot,\cdot \rangle)$ heißt \emph{Hilbertraum}. \end{definition} Hier fehlt eine VL. \begin{korollar} $\hat y$ erfüllt die Gleichung aus dem vorherigen Satz genau dann, wenn $(x- \hat y) \perp Y$ gilt. \end{korollar} \begin{proof} „⇐“: Sei also $\hat y ∈ Y$ mit $x-\hat y \perp Y$, also $x-\hat y \perp (\hat y - y)$ für $y ∈ Y$ beliebig. Dann gilt mit Pythagoras \[ \norm{x-y}^2 = \norm{x-\hat y + \hat y - y}^2 = \norm{x-\hat y}^2 + \norm{\hat y - y}^2 \ge \norm{x-\hat y}^2, \] was die Behauptung impliziert. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Damit gilt im Hilbertraum das Riesz'sche Lemma (3.7.6) mit $\Theta = 1$. Setze dazu $ x_{\Theta =1} \coloneq \frac{x-\hat y }{\norm{x-\hat y}} $ für ein $x \notin Y$. Dann ist $\norm{x_\Theta } = 1$ und für alle $z ∈ Y$ gilt $\norm {z-x_\Theta }^2 + 2 \Re \langle z,x_\Theta \rangle + \norm{x_\Theta }^2 \ge 1 = \Theta $. \end{bemerkung-nn} \begin{satz} Es sei $Y$ ein vollständiger Unterraum eines unitären Raums $X$. Dann existiert zu jedem $x ∈ X$ eine eindeutige Zerlegung der Form \[ x= y + v \] mit $y ∈ Y$ und $v ∈ Y^\perp$, das heißt $X = Y \oplus Y^\perp$. \end{satz} \begin{proof} Jedes $x ∈ X$ lässt sich als $x = \hat y + (x- \hat y)$ schreiben, wobei $\hat y$ wie im Vorherigen Satz ist. Dann ist $\hat y ∈ Y$ und $(x-\hat y) ∈ Y^\perp$. Für die Eindeutigkeit seien $x = y_1 + v_1 = y_2 + v_2$ zwei Darstellungen von $x$ mit $y_i ∈ Y, v_i ∈ Y^\perp, i=1,2$. Dann $y_1 - y_2 = v_2 - v_1$, wobei die linke Seite in $Y$ ist und die rechte in $Y^\perp$, aber $Y ∩ Y^\perp = \{ 0\}$ nach einem vorherigen Resultat, also $y_1 = y_2$ und $v_1 = v_2$. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Weil für jedes $x ∈ X$ das Element $y = \hat y(x) ∈ Y$ in dieser Darstellung eindeutig ist, lässt sich dadurch eine Abbildung $P: X → X, x ↦ y$ definieren. Diese Abbildung ist eine Projektion, das heißt $P \circ P = P$. Wir schreiben für $P$ auch $\Proj_Y : X → X$ mit Wertebereich $\im P = Y$ und $P|_Y = \id|_Y$. \end{bemerkung-nn} \begin{korollar} Falls $M ⊂ X$ ein Unterraum des Hilbertraums $X$ ist, dann gilt \[ \cl M = (M^\perp)^\perp. \] \end{korollar} \begin{proof} „⊂“ wurde bereits in Definition 2.1 gezeigt. „$\supset$“: Falls $(M^\perp)^\perp \ne \cl M$, dann existiert $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp \setminus \cl M$. Da $X$ ein Hilbertraum ist, ist $\cl M$ vollständig. Nach dem Satz vom orthogonalen Komplement gibt es eine eindeutige orthogonale Zerlegung von $x_0 = \hat x_0 + h_0^\perp$ mit $\hat x_0 = \Proj_M(x_0) ∈ \cl M$ und $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$. Da $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$, ist auch $x_0^\perp ∈ (M)^\perp$ und $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp$, also insbesondere $\langle x_0, x_0^\perp \rangle = 0$. Das bedeute mit Hilfe der Zerlegung \[ 0 = \langle x_0, x_0^\perp \rangle = \langle \hat x_0 + x_0^\perp, x_0^\perp \rangle = \langle \hat x_0, x_0 ^\perp \rangle + \langle x_0^\perp, x_0^\perp \rangle = \langle x_0^\perp, x_0^\perp \rangle = \norm{x_0^\perp}^2. \] somit ist bereits $x_0^\perp = 0$, also $x_0 = \hat x_0 ∈ \cl M$. Damit ist $\cl M = (M^\perp)^\perp$. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Die Abbildung $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\norm{P(x)}}{\norm x} \le 1$, denn für jedes $x = y + v$ mit $y ∈ Y, v ∈ Y^\perp$ gilt \[ \snorm{P(x)}^2 = \snorm{y^2} \le \snorm y^2 + 2 \Re \langle y, v \rangle + \norm{v}^2 = \snorm{y +v}^2 = \norm{x}^2. \] Desweiteren ist $P$ symmetrisch, das heißt für alle $x_1, x_2 ∈ X $ ist \[ \langle P(x_1), x_2 \rangle = \langle x_1, P(x_2) \rangle. \] Ist $x_1 = y_1 + v_2$, $x_2 = y_2 + v_2$ mit $y_i ∈ Y, v_i ∈ Y^\perp, i=1,2$, dann ist \[ \langle P(x_1), x_2 \rangle = \langle y_1,x_2 \rangle = \langle y_1,y_2 + v_2 \rangle = \langle y_1,y_2 \rangle = \langle y_1+v_1, y_2 \rangle = \langle x_1, P(x_2) \rangle. \] \end{bemerkung-nn} \begin{korollar} Es Sei $Y \ne \{0\}$ ein vollständiger Unterraum des unitären Raums $X$ mit der Projektion $P = \Proj_Y: X → Y ⊂ X$. Dann gilt \begin{enumerate} \item $x-P(x) \perp Y $ für alle $x ∈ X$. \item $P$ ist symmetrisch. \item $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = 1$. \end{enumerate} \end{korollar} \begin{proof} (1) und (2) wurden bereits gezeigt. Bei (3) fehlt nur noch „$\ge$“. Da $P_Y = \id|_Y$ und $Y \ne \{0\}$ ist das aber ebenfalls klar. \end{proof} Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis. \begin{definition} Ein Orthonormalsystem $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ eines unitären Raums $X$ heißt eine Orthonormalbasis oder eine \emph{Hilbertraumbasis}, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: \begin{enumerate} \item Für alle $x ∈ X$ gilt die Vollständigkeitsrelation \[ \lim_{n → \infty } \norm{x - \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k} = 0 \] \item Für alle $x, y ∈ X$ ist \[ \langle x,y \rangle = \sum_{k=1}^\infty \cl{\langle \hat e_k. x \rangle} \langle \hat e_k, y \rangle. \] \item Für alle $x ∈ X$ gilt die Parseval-Gleichung \[ \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^\infty \left| \langle \hat e_k, x \rangle \right|^2. \] \end{enumerate} \end{definition} \begin{proof} Übung. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} \begin{enumerate} \item Statt (a) kann man auch \[ x = \lim_{n → \infty } \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k = \sum_{k=1}^\infty \langle \hat e_k,x \rangle \hat e_k \] schreiben. Dies nennt man die Fourier-Reihe von $x$. \item Die approximierenden Elemente \[ \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k \] liegen offenbar in $\lspan S$ wenn $S = \{ \hat e_k : k ∈ ℕ \}$ ist, was sich nicht notwendigerweise auf den Grenzwert überträgt. Falls $X$ aber vollständig ist (also ein Hilbertraum), so sind diese Aussagen äquivalent zu $\cl{\lspan S}^{\norm\cdot} = X$. \end{enumerate} \end{bemerkung-nn} \begin{satz} \begin{enumerate} \item Für einen unitärer Raum $X$ gilt: Jede Hilbertraumbasis ist auch ein vollständiges Orthonormalensystem. \item Ist zusätzlich $X$ ein Hilbertraum und $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ ein vollständiges Orthonormalensystem, dann ist $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ auch eine Hilbertraumbasis. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Sei $S$ wie oben. Sei $x ∈ X$ mit $x \perp S$. Nach (c) gilt dann \[ \sum_{k=1}^\infty \big| \underbrace{\langle \hat e_k^\infty , x \rangle}_{=0} \big|^2 = \norm x ^2, \] also $\norm x = 0$ und $x = 0$. \item Sei nun $S$ ein abzählbares vollständiges Orthonormalensystem und $X$ ein Hilbertraum. Führe den Beweis indirekt. Angenommen, $S$ wäre keine Hilbertraumbasis. Dann gelten die Eigenschaften (a)-(c) aus der Definition nicht und wegen der obigen Bemerkung ist dann $Y \coloneq \cl{\lspan S} \subsetneq X$. $Y$ ist also ein abgeschlossener Unterraum von $X$, und da $X$ Hilbertraum ist, damit vollständig. Nach Satz 2.9 ist $X = Y \oplus Y^\perp$. Insbesondere ist also $Y^\perp \ne \{ 0\}$. Damit gibt es ein $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ mit $x ∈ Y^\perp$, also \[ \langle \hat e_k, x \rangle = 0 \] für alle $k ∈  ℕ$ im Widerspruch zur Vollständigkeit von $S$. \end{enumerate} \end{proof} \begin{frage-nn} Hat jeder Hilbertraum $H$ mit $\dim H = \infty $ ein abzählbares vollständiges ONS (also eine Hilbertbasis)? \end{frage-nn} Die Antwort darauf ist nein, aber falls $H$ zusätzlich separabel ist, dann ist sie ja. Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventuell überabzählbar, also keine ONB) kein Problem: \begin{satz} In jedem Hilbertraum $X \ne \{ 0\}$ gibt es ein vollständiges Orthonormalensystem. Es lässt sich sogar jedes ONS $S_0$ zu einem vollständigen Orthonormalensystem $\tilde S_0$ mit $S_0 ⊂ \tilde S_0$ ergänzen. \end{satz} \begin{proof} Simple Anwendung von Zorns Lemma. \end{proof} \begin{beispiel} \begin{enumerate} \item Sei $X = L^2(0,2\pi), \K = ℝ$. Dann ist ein VONS in $X$ gegeben durch \[ S = \left\{ \frac 1 {\sqrt{2\pi }}\right\} ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{\pi }} \cos(nx) : n ∈ ℕ\right\} ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{\pi }} \sin(nx) : n ∈ ℕ\right\}. \] In der klassischen Fourieranalysis werden Entwicklungen nach diesem VONS $S$ untersucht. Man zeigt dort, dass $\lspan S$ bezüglich $\norm\cdot_\infty $ dicht liegt in $C_{\text{per}}([0,2\pi]) = \{ f: \R → \R: f$ ist stetig und $2\pi $-periodisch $\}$. Die Aussage von 2.13(2) und (2.10) liefert nur die Begründung für die Dichtheit von $\lspan S$ in $\norm-_{L^2}$. \item Durch $(f,g)_\mu \coloneq ∫_a^b \mu (t) f(t) g(t)\; dt $, wobei $\mu > 0$ und stetig auf $(a,b)$, ist auf $L^2(a,b)$ ein reelles Skalarprodukt definiert. Für verschiedene Gewichtsfunktionen $\mu $ und verschiedene Wahlen von $(a,b)$ erhält man $\mu $-orthogonale Polynomsysteme durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Monome $\{t^i: i ∈ ℕ_0\}$. \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item $a=-1, b=1$, $\mu (t) = 1$ liefert die Legendre-Polynome. \item $a=-1, b=1$, $\mu (t) = \frac 1 {\sqrt{1-t^2}}$ liefert die Tschebyscheff-Polynome. \item $a=0, b=\infty $, $\mu (t) = \exp(-t)$ liefert die Laguerre-Polynome. \item $a=-\infty , b=\infty $, $\mu (t) = \exp(-t^2)$ liefert die Hermite-Polynome. \end{enumerate} \item Ist $X$ ein unitärer Raum mit ONB, kann er formal vervollständigt werden: Sei also $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ diese ONB, dann ist \[ H \coloneq \left\{ \sum_{k=1}^\infty c_k \hat e_k: (c_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2 \right\} \] ist ein Hilbertraum, den man die Vervollständigung von $X$ nennt. Das Skalarprodukt zwischen $x = \sum_{k ∈ ℕ} c_k \hat e_k$ und $y = \sum_{k ∈ ℕ} d_k \hat e_k$ wird definiert als \[ \langle x,y \rangle \coloneq \sum_{k=1}^\infty \cl{c_k} d_k. \] Tatsächlich kann $H$ mit dem Koordinatenraum $\ell^2 = \ell^2(ℕ)$ identifiert werden. Die Abbildung \[ \Phi: \ell^2(ℕ) → H, (c_k)_{k ∈ℕ} ↦ \sum_{k=1}^\infty c_k \hat e_k \] ist linear, bijektiv und normerhaltend wegen der Parsevalgleichung \[ \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^\infty \left| \langle \hat e_k, x \rangle \right|^2. \] Also $\ell^2(ℕ)$ und $H$ isometrisch und insbesondere $H$ vollständig. \end{enumerate} \end{beispiel} % VL NÄCHSTE WOCHE Der Satz 4.1 liefert also, dass die Abbildung $J_x: X → X', y ↦ y'$ definiert durch $y': X → \K, x ↦ \langle y,x \rangle$ bijektiv ist. Wir schreiben nun \[ \lAngle J_x(y),x \rAngle = \lAngle J_x(y),x \rAngle_{X'×X} \coloneq J(x)(y)[x] = \langle y,x \rangle. \] Diese Abbildung ist sesquiliniear, das heißt \[ J_x (y_1 + y_2) = J_x (y_1) + J_x(y_2), \quad y_1, y_2 ∈ X, \] \[ J_x(\alpha y) = \cl{\alpha} J_x(y), \quad \alpha ∈ \K, \] denn \[ \lAngle J_x(\alpha y),x \rAngle = \langle \alpha y, x \rangle = \cl \alpha \langle y, x \rangle = \cl \alpha J_x(y) [x] = \cl \alpha \lAngle J_x(y), x \rAngle = \lAngle \cl \alpha J_x(y), x \rAngle, \] also $X \cong X'$ sesquilinear isomorph. Gilt da sauch topologisch? Die Topologie von $X'$ sei hierbei die von $\L(X, \K)$, also die von der Norm $\norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm{x} \le 1}|y'[x]|$ erzeugte. \begin{satz} $X$ und $X'$ sind Hilberträume und $J_x: X → X'$ ist kanonischer sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie. Genauer gilt: \begin{enumerate} \item $\langle y_1', y_2' \rangle_{X'} \coloneq \cl{ \langle y_1, y_2 \rangle_X}$, wobei $J_x(y_1) = y_1', J_x(y_2) = y_2'$, macht $X'$ zum Skalarproduktraum. \item Die durch $\langle -,- \rangle_{X'}$ induzierte Norm \[ \norm{y'}_{X',S} = \sqrt{\langle y', y' \rangle_{X'}} \] ist gerade die von $X' = \L(X, \K)$ bekannte, das heißt, $\norm{y'}_{X',S} = \norm{y'}_{X',N}$. \item Da $(X',\norm-_{X',N})$ schon bekanntlich vollständndig ist, ist $(X', \langle -,- \rangle)$ damit ein Hilbertraum. \item $J_x: X → X'$ ist eine Isometrie. \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Beispielsweise ist \[ \langle \alpha y_1' , y_2' \rangle_{X'} \stackrel{\text{def}}{=} \cl{\langle \cl \alpha y_1, y_2 \rangle_X} = \cl{ \alpha \langle y_1, y_2 \rangle_X} = \cl{\alpha} \langle y_1',y_2' \rangle_{X'}, \] die anderen Eigenschaften folgen analog. \item Wegen $y'[x] = \langle y,x \rangle$ und $\norm{y'}_{X',S} = \sqrt{\langle y', y' \rangle_{X'}} = \sqrt{\langle y, y \rangle_X} = \norm{y}$, das heißt, es genügt, zu zeigen, dass \[ \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x \le 1} |y'[x]| = \norm{y}_{X} \quad \text{für alle $y ∈ X$}. \] hierbei ist aber „$\le$“ gerade die Cauchy"=Schwarzsche Ungleichung, für „$\ge$“ wähle $x = \frac y {\norm y _{X}}$ für $y \ne 0$ ($y=0$ ist sowieso klar). \item nichts zu zeigen. \item $J_x: X → X'$ ist eine Isometrie, denn $y ↦ J_x(y) = y'$ und $\norm{J_X(y)}_X = \norm{y'}_{X'} = \norm{y}_X$ für alle $y ∈ X$. \end{enumerate} \end{proof} \section{Separable Hilberträume} \begin{definition} Ein metrischer Raum $(X,d)$ heißt \emph{separabel}, wenn es $U ⊂ X$ dicht und abzählbar gibt. \end{definition} \begin{beispiele} $ℝ^n, ℂ^n, \ell^2, L^2(\Omega)$ für $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen sind separable Hilberträume. \end{beispiele} \begin{satz} In einem separablen unendlich"=dimensionalen Hilbertraum $(X,\langle -,- \rangle)$ gilt \begin{enumerate} \item Jedes ONS in $X$ ist höchstens abzählbar. \item Sei $S = (\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ein VONS in $X$. Dann existiert zu jeder Folge $\alpha = (\alpha _k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2$ genau ein $x ∈ X$ mit $\langle \hat e_k, x \rangle = \alpha _k, k ∈ ℕ$ (Satz von \emph{Riesz-Fischer}). \item $X$ ist isometrisch isomorph zum $\ell^2$. Insbesondere sind $L^2(\Omega)$ und $\ell^2$ isometrisch isomorph. \end{enumerate} \end{satz} \section{Riesz'scher Darstellungssatz und Lax-Milgram} Für einen topologischen linearen Raum $X$ ist der Dualraum $X' = \{x': X → \K, x' $ linear und stetig $\}$ definiert. Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten. Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$ jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt. Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums: \begin{satz}[Riesz'scher Darstellungssatz] \label{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1} \index{Satz!Riesz'scher Darstellungs-} \index{Riesz'scher Darstellungssatz} Sei $(X,\langle -,- \rangle)$ ein (reeller oder komplexer) Hilbertraum und $y' ∈ X'$ gegeben. Dann existiert genau ein Element $\tilde y = \tilde y(y') ∈ X$, so dass \[ y'[x] = \langle \tilde y, x \rangle \] für alle $x ∈ X$ gilt. Ist $X$ ein reeller Hilbertraum, so ist das eindeutig bestimmte Element $\tilde y = \tilde y (y') ∈ X$ von oben auch die eindeutig bestimmte Lösung des \emph{Variationsproblems}\index{Variationsproblem}, das die Abbildung $F: X → ℝ, x ↦ \langle x,x \rangle - 2y'[x]$ minimiert. Jede Minimalfolge $(x_j)_{j ∈ ℕ} ⊂ X$ des Variationsproblems, also eine Folge mit $\lim_{j → ∞} F(x_j) = \inf_{x ∈ X} F(x)$, konvergiert gegen dieses $\tilde y$, das heißt $F(\tilde y ) = \inf_{x ∈ X} F(x)$ und $\lim_{j → ∞} \norm{x_j - \tilde y} = 0$. \end{satz} \begin{korollar} \label{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2} Sei $B: X → X → \K$ eine \emph{hermitesche Sesquilinearform}\index{hermitesch}\index{Sesquilinearform}, die \begin{enumerate} \item \emph{beschränkt (stetig)}\index{stetig!Bilinearform}, also es gibt ein $c_1 > 0$, so dass $|B(x,y)| ≤ c_1 \norm x \snorm y$ für alle $x, y ∈ X$ \item \emph{positiv definitiv}\index{positiv definit!Bilinearform}. also es gibt ein $c_2 > 0$, so dass $B(x,x) ≥ c_2 \norm{x}^2$ für alle $x ∈ X$ \end{enumerate} ist, dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft \[ ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x). \] \end{korollar} \begin{bemerkung}[Lax-Milgram] \index{Lax-Milgram} \label{bem:lax-milgram-4.4.3} Die Voraussetzung \emph{hermitesch} in~\cref{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2} ist nicht notwendig: Ist $X$ ein Hilbertraum, $B: X × X → \K$ eine \emph{beschränkte Sesquilinearform}, für die es ein $c_3 > 0$ gibt, so dass $\Re(B(x,x)) ≥ c_3 \norm x ^2$ für alle $x ∈ X$ ist, dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft \[ ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x). \] \end{bemerkung} \begin{proof} In~\cite[Satz 4.7]{alt2002lineare} \end{proof} Satz~\ref{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1} liefert also, dass die Abbildung \index{$J_x$} \[ J_X: X → X', y ↦ y', \] wobei $y'$ als $X → \K, x ↦ \langle y,x \rangle$ definiert ist, bijektiv und sesquilinear ist. Damit sind $X$ und $X'$ algebraisch isomorph. Es gilt für $x, y ∈ X$ \[ \lAngle J_X(y),x \rAngle = \lAngle J_X(y), x \rAngle_{X'×X} \coloneq J_x(y)[x] = \langle y,x \rangle. \] Diese Isomorphie gilt auch topologisch: \begin{satz} \label{satz:hilbertraum-dualraum-isomorph-4.4.4} Sei $X$ ein Hilbertraum. Dann ist auch $X'$ ein Hilbertraum und $J_X: X → X'$ ist ein sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie\index{Isometrie}. Wir nennen $J_x$ den \emph{kanonischen Isomorphismus}\index{kanonischer Isomorphismus} zwischen $X$ und $X'$. Genauer gilt: \begin{enumerate} \item $\langle y_1', y_2' \rangle_X' \coloneq \conj{\langle y_1, y_2 \rangle_X}$ macht $X'$ zum Skalarproduktraum. \item Die durch $\langle -,- \rangle_{X'}$ induzierte Norm $\norm{y'}_{X',S}$ ist gerade die von $X' = \L(X, \K)$ bekannte, das heißt \[ \norm{y'}_{X',S} = \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x ≤ 1} \left| y'[x] \right|. \] \item Da $(X',\norm-_{X',N})$ vollständig war, ist $(X', \langle -,- \rangle_{X'})$ ein Hilbertraum. \item $J_x: X → X'$ ist Isometrie, das heißt \[ ∀y ∈X: \norm{J_x(y)}_{X'} = \norm{y}_X. \] \end{enumerate} \end{satz} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" %%% End: