\chapter[Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen]{Der Satz von Hahn-Banach \\ und seine Konsequenzen} \chaptermark{Der Satz von Hahn-Banach} \label{cha:der-satz-von} \section{Fortsetzbarkeit linearer Funktionale} \label{sec:forts-line-funkt} Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben. \begin{definition}[Fortsetzung] \index{Fortsetzung} \label{defi:fortsetzung-5.1.1} Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls \begin{enumerate} \item $ M_0 ⊂ M$, \item $∀x ∈ M_0: A_0 x = Ax $. \end{enumerate} Wir schreiben dann $A = A|_{M_0}$. \end{definition} \begin{satz} \label{satz:auf-dichtem-teilraum-def-stetig-linear-abb-ist-fortsetzbar-5.1.2} Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normierte Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$. Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear. Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$. Für diese gilt: \[ \norm{A_0}_{\L(X_,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}. \] \end{satz} \begin{proof} Zeigen wir zunächst die Existenz der Fortsetzung. Da $X_0$ dicht in $X$ ist, existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n \ge1}$, die ganz in $X_0$ liegt und gegen $x$ konvergiert. Wir behaupten, dass $(A_0x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$ ist. Dazu beachte, dass \[ \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \yrightarrow[n,m → \infty ]{} 0. \] Da $Y$ ein Banachraum ist, ist $(A_0x_n)_{n\ge1}$ konvergiert, etwa gegen $y$. Wir setzen $Ax \coloneq y$. Zunächst ist $A$ wohldefiniert, denn wenn $(z_n)_{n \ge 1}$ eine weitere Folge mit $\lim_{n → \infty } z_n = x$ ist, dann gilt $z_n - x_n \yrightarrow[n→\infty ]{} 0$ und \begin{align*} \norm{A_0 z_n - y} &\le \norm{A_0 z_n - A_0 x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \\ & \le \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \yrightarrow[n→\infty ]{} 0. \end{align*} Offensichtlich ist $A$ eine Fortsetzung von $A_0$. Dass $A$ linear ist, ist ebenfalls klar. Zur Stetigkeit ist \begin{align*} \norm{Ax}_Y &= \norm{\lim_{n → \infty } A_0 x_n}_Y = \lim_{n → \infty } \norm{A_0 x_n}_{Y} \\ &\le \lim_{n → \infty } \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n}_X = \norm{A_0} \norm{x}. \end{align*} Damit ist $A$ beschränkt, also auch stetig. Es gilt $\norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}$: „$\ge$“ ist aus dem Vorherigen klar. Für die andere Ungleichung ist \[ \norm{A}_{L(X,Y)} = \sup_{\norm{x \le 1}, x ∈ X} \norm{Ax}_{Y} \ge \sup_{\norm{x \le 1}, x ∈ X_0} \norm{Ax}_{Y} = \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)}. \] Für die Eindeutigkeit sei $B: X → Y$ eine weitere stetige, lineare Fortsetzung von $A_0$. Wie oben existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $\lim_{n → \infty } x_n = x$. Dann ist \[ Ax_n = A_0 x_n = Bx_n \quad ∀ n ∈ ℕ \] und für $x ∈ X$ \[ \norm{B_x - A_x} \le \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \yrightarrow[n→\infty ]{} 0, \] da $A$ und $B$ stetig sind. Also $Bx = Ax$ für alle $x ∈ X$ und damit $B = A$. \end{proof} \begin{korollar} \label{kor:abb-auf-dichter-teilmenge-null-ueberall-null-5.1.3} Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt: Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$. \end{korollar} \begin{proof} ~ \end{proof} Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. \begin{satz}[Hahn-Banach] \label{satz:hahn-banach-5.1.4} \index{Satz!von Hahn-Banach} \index{Hahn-Banach} \index{positiv homogen} \index{subadditiv} Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item $p(\alpha x) = \alpha p(x)$ für alle $\alpha \ge 0, x ∈ X$ (positiv homogen) \item $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv) \end{enumerate} Weiter seien $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit \[ ∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x). \] Dann gibt es eine lineare Fortsetzung $f: X → ℝ$ von $f_0$, welche die Ungleichung respektiert, das heißt \[ f|_{X_0} = f_0 \quad \text{und} \quad ∀x ∈ X: f(x) \le p(x). \] \end{satz} \begin{bemerkung-nn} Halbnormen oder Normen $p$ Erfüllen die Voraussetzungen dieses Satzes. \end{bemerkung-nn} \begin{proof} Schritt 1. Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneq X$). Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als $ y = y + \alpha x_1 $, mit $y ∈ X_0$, $\alpha ∈ ℝ$. Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig \[ f(x) = f(y + \alpha (x_1)) \coloneq f_0(y) + \alpha c \] eine lineare Abbildung $X_1 → ℝ$, die $f_0$ fortsetzt. Wir müssen $c$ so wählen, dass $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈ X_1$, also $f_0(y) + \alpha c \le p(y+\alpha x_1)$ für alle $y ∈ X_0, \alpha ∈ ℝ$. Mit (i) ist diese Bedingung äquivalent zu zwei anderen Bedingungen: \begin{enumerate} \item Für $a > 0$: $f_0(y/\alpha ) + c \le p(y/\alpha + x_1)$. \item Für $\alpha < 0$: $f_0(-y/\alpha ) - c \le p(-y/\alpha - x_1)$ \end{enumerate} für alle $y ∈ X_0$. Der Fall $\alpha = 0$ ist nach Annahme ohnehin klar. Um diese Bedingungen erfüllen zu können, muss $c ∈ ℝ$ so gewählt werden, dass \[ ∀y_1, y_2 ∈ X_0: f_0(y_1) - p(y_1 - x_1) \le c \le p(y_2 + x_2) - f_0(y_2). \] Das ist möglich, da \[ f_0(y_1) + f_0(y_2) = f_0(y_1+y_2) \le p(y_1 + y_2) = p(y_1 - x_1 + y_2 + x_1) \le p(y_1 - x_1)+p(y_2+x_1). \] Folglich gilt \[ \sup_{y_1 ∈ X_0} f_0(y_1-p(y_1-x_1)) \le \inf{y_2 ∈ X_0} p(y_2+x_1)-f_0(y_2). \] Schritt 2. Finde eine maximale Fortsetzung mit dem Lemma von Zorn. Betrachte dazu \[ \{g : X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}. \] Diese Menge ordnen wir mit $\succeq$ definiert durch \[ h \succeq g \gdw h \text{ ist Fortsetzung von $g$}. \] Nach dem Lemma von Zorn existiert eine maximale Fortsetzung $g^*$ von $f_0$ mit $g^*(x) \le p(x)$ für alle $x ∈ X$. Wäre $D_{g^*}$ nicht $X$, so verfahre wie in Schritt 1 im Widerspruch zur Maximalität. Damit hat $g^*$ die gewünschten Eigenschaften. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial. Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich \cite[Ch. IV, 4]{MR617913}. \end{bemerkung-nn} \begin{korollar}[Hahn-Banach für normierte Räume] \index{Hahn-Banach!für normierte Räume} \index{Satz!von Hahn-Banach für normierte Räume} \label{kor:hahn-banach-fuer-normierte-raeume-5.1.5} Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $X_0$ ein linearer Teilraum und $f_0 ∈ X_0'$ sei ein stetiges lineares Funktional auf $X_0$. Dann existiert eine normerhaltende Fortsetzung $f ∈ X'$ vobn $f_0$, das heißt \[ f|_{X_0} = f_0\quad \text{und} \quad \norm{f}_{X'} = \norm{f_0}_{X_0'}. \] \end{korollar} \section{Existenz nichttrivaler stetiger Funktionale} \begin{korollar} \label{kor:ex-nichttriv-stetig-funktional-5.2.1} Zu jedem Element $x_0 \ne 0$ des normierten Raumes $(X,\norm-)$ existiert ein $f ∈X'$ mit $\norm{f}_{X'} = 1$ und $f(x_0) = \norm{x_0}$. Insbesondere ist $X' \ ne \{0\}$. \end{korollar} \begin{korollar}[Normformel] Für jedes Element $x$ eines normierten Raumes $(X, \norm-)$ gilt \[ \norm{x} = \sup_{f ∈ X', \norm{f} = 1} |f(x)|. \] \end{korollar} \begin{korollar} \label{kor:5.2.3} Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum. Dann gilt \begin{enumerate} \item Falls $f(x) = 0$ für alle $f ∈ X'$ gilt, war bereits $x = 0$. \item Aus $f(x_1) = f(x_2)$ für alle $f ∈ X'$ folgt $x_1 = x_2$. \item Aus $|f(x_0)| ≤ C$ für alle $f ∈ X'$ mit $\norm{f} = 1$ folgt $\norm {x_0} ≤ C$. \end{enumerate} \end{korollar} \begin{bemerkung} In jedem lokalen-konvexen topologischen linearen Raum $X$ gibt es nichttriviale stetige lineare Funktionale, das heißt $\{0\} \subsetneq X'$. \end{bemerkung} \begin{satz} Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $(X,\norm-)$ und für $x_0 ∈ X \setminus Y$ \[ d = \operatorname{dist}(x_0,Y) \coloneq \inf_{y ∈ Y} \norm{x_0 - y}. \] \begin{enumerate} \item Dann gilt für alle $f ∈ X'$ mit $\norm f = 1$ und $f|_Y = 0$: \[ |f(x_’)| ≤ \operatorname{dist}(x_0, Y). \] \item Im Falle $d > 0$ gibt es ein derartiges $f$ mit $f(x_0) = \operatorname{dist}(x_0, Y)$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{satz}[Dichtekriterium von Banach] \index{Dichtekriterium von Banach} \index{Banachsches Dichtekriterium} \label{folgerung:dichtekriterium-banach-5.2.6} Sei $(X,\norm-)$ ein normiterter Raum und $M ⊂ X$. Dann sind äquivalent: \begin{enumerate} \item $\operatorname{cl}_X(\lspan(M)) = X$ \item Für alle $f ∈ X'$ mit $f|_{M} = 0$ gilt schon $f = 0$. \end{enumerate} \end{satz} \section{Trennung Konvexer Mengen} \begin{satz}[Mazur] \index{Satz!von Mazur} \index{Mazur} \label{satz:mazur-5.3.1} Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$. Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit \[ f(x_0) > 1 ∧ ∀ x ∈ M: f(x) \le 1. \] Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f(x_0) < 1$ trennt also $x_0$ und $M$. \end{satz} \begin{proof} Setze $2r \coloneq \inf_{y ∈ M} \norm{y - x_0}$ (positiv, da $M$ abgeschlossen). Sei $N \coloneq \cl{M + \cl{B_r(0)}} = \cl{\{ z = y + u: y ∈ M, u ∈ \cl{B_r(0)}\}} ⊂ X$. Dann ist (i) $N$ abgeschlossen und (ii) $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, da $0 ∈ M$, insbesondere ist $0 ∈ N^\circ$. (iii) ist $N$ konvex: Es genügt, zu zeigen, dass $A = M + B_r(0)$ konvex ist, denn dann ist auch $\cl A$ konvex. Sei $x _i = y_i + v_i, y_i ∈ M, v_i ∈ \cl{B_r(0)}, i=1,2$ und $\alpha ∈ (0,1)$. Dann ist \[ \alpha x_1 + (1-\alpha )x_2 = \underbrace{[\alpha y_1 + (1-\alpha )y_2]}_{∈ M} + \underbrace{[\alpha u_1+(1-\alpha )v_2]}_{∈ \cl{B_r(0)}}. \] (iv) ist $x_0 \not\in N$. Angenommen, $x_0 ∈ N$. Dann existiert eine Folge $z_n = y_n + u_n$ in $A$ mit $z_n → x_0 (n→\infty )$. Dann ist für $n_0$ hinreichend groß \[ \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r. \] Verwende nun das Minkowski-Funktional\index{Minkowski-Funktional} \[ p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X. \] Dieses hat die Eigenschaften \begin{enumerate} \item $p_N(\alpha x) = \alpha p_n(x),\quad \alpha \ge 0, x ∈ X$ (positiv homogen) \item $p_N(x+y) \le p_N(x) + p_N(y), \quad x, y ∈ X$ (subadditiv) \item $p_N(x) \le 1 \iff x ∈ N$ \item Ist zusätzlich $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, so gilt $p_nNx) \le r^{-1}\norm x$ für alle $x ∈ X$. \end{enumerate} Sei nun $X_0 \coloneq \lspan\{x_0\}$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ linear definiert durch $f_0(x_0) \coloneq p_N(x_0)$. Wir behauptung, dass $f_0 (x) \le p_N(x)$ für alle $x = \lambda x_0 ∈ X_0$. Falls $\lambda \ge 0$, so ist $f_0(x) = f_0(\lambda x_0) = \lambda p_N(x_0) = p_N(\lambda x_0) = p_N(x)$. Falls $\lambda < 0$, so ist wegen $p_n \ge 0$ ohnehin $f_0(\lambda x_0) = \lambda p_N(x_0) \le 0 \le p_N(\lambda x_0)$. Da $p_N$ die Bedingungen (i) und (ii) aus Hahn-Banach erfüllt, gibt es eine lineare Fortsetzung $f$ von $f_0$ mit $f(x) \le p_N(x)$ für alle $x ∈ X$. Nun ist $f$ stetig, also $f ∈ X'$, denn für alle $x ∈ X$ gilt \begin{multline*} |f(x) = \max\{f(x), -f(x)\} = \max\{f(x),f(-x)\} \le \max\{p_N(x),p_N(-x)\} \\ \le \max\left\{\frac{\norm{x}}{r},\frac{\norm{-x}}{r}\right\} = \frac{\norm x}{r}. \end{multline*} Außerdem erfüllt $f$ die Gleichung 3.1 (?), denn \[ f(x_0) = f_0(x_0) = p_n(x_0) > 1 \] und für $x ∈ M ⊂ N$ gilt \[ f(x) \le p_N(x) \le 1. \] \end{proof} \section{Einbettung von \(X\) in seinen Bidualraum} Zunächst zur Motivation: Sei $X$ ein normierter linearer Raum. Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum. Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum. Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \begin{definition}[kanonische Abbildung] \index{$J_0$} \index{kanonische Abbildung} \label{defi:kanonische-abb-5.4.1} Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch \[ J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K \] für $x ∈ X, x' ∈ X'$. Offensichtlich gilt für $x ∈ X$ fest $J_0(x): X' → \K$ linear, aber $J_0(x)$ ist auch stetig bzw beschränkt: Dazu ist \[ |J_0(x)[x']| = | \langle \langle x',x \rAngle \le \norm{x'}_{X'} \underbrace{\norm{x}_X}_{=: M}. \] Also ist $J_0(x) ∈ X''$, also insbesondere $J_0$ wohldefiniert. Wegen der linearität von $J_0$ in $x$ schreiben wir statt $J_0(x)$ auch $J_0 x$. \end{definition} \begin{satz} Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist eine normerhaltende lineare Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum $X''$. \end{satz} \begin{warnung-nn} $J_0$ ist in der Regel nicht surjektiv. \end{warnung-nn} \begin{proof} Zur Injektivität: Seien $x_1, x_2 ∈ X$ mit $J_0x_1 = J_0x_2$. Dann ist für jedes $x' ∈ X'$ \[ \lAngle x',x_1 \rAngle = J_0 x_1[x'] = J_0x_2[x'] = \lAngle x', x_2 \rAngle, \] also wegen Linearität von $x'$ \[ \lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0. \] Mit~\cref{kor:5.2.3} folgt $x_1-x_2 = 0$. Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$. „$\le$“: Aus~\cref{defi:kanonische-abb-5.4.1} folgt bereits \[ \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X. \] „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach ein $x_0' ∈ X'$ mit $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$. Also folgt \[ \underbrace{|J_0x_0[x_0']|}_{\le \norm{J_0x_0}_{X''}} = \lAngle x_0', x_0 \rAngle = \norm{x_0}. \] Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$. \end{proof} \begin{definition}[reflexiv] \index{reflexiv} \label{defi:reflexiv-5.4.3} Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$. \end{definition} \begin{bemerkung-nn} Ein unvollständiger normierter Raum hätte offensichtlich keine Chance, reflexiv zu sein. \end{bemerkung-nn} \begin{warnung-nn} „vermöge $J_0$“ in der Definition ist wesentlich, denn es gibt Beispiele mit $X \cong X''$, aber $J_0$ ist nicht surjektiv. %% werner, I 4.7 \end{warnung-nn} \begin{satz} \label{satz:hilbertraum-refl-5.4.4} Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv \end{satz} \begin{noproof} Übung. \end{noproof} \begin{bemerkung-nn} Offensichtlich sind $H$ und $H''$ isometrisch isomorph: Denn $H$ und $H'$ sind bereits konjugiert linear isomorph via $J_H, X → X'$ (Kapitel IV, \S 5, aus Ries'schem Darstellungssatz). Mit dem gleichen Argument sind $H'$ und $H''$ konjugiert linear isomorph via $J_{H'}$, also $H$ und $H''$ linear isometrisch durch $J_{H'} \circ J_H$. Dies genügt aber nicht für den Nachweis der Reflexivität. Dafür müssen wir zu $x'' ∈ H''$ ein $x ∈ H$ finden mit $J_0x = x''$. \end{bemerkung-nn} \begin{bemerkung-nn} Wozu Reflexivität gut ist, werden wir später im Kapitel über schwache Topologien genauer sehen. Beispielsweise ist $\cl{B_1(0)}$ im reflexiven Banachraum $X$ schwach folgenkompakt, das heißt jede Folge in $\cl{B_1(0)}$ hat eine schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $\cl{B_1(0)}$. Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig. \end{bemerkung-nn} \begin{definition}[schwach konvergent] Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{\index{Konvergenz!schwache}\index{schwach konvergent}schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn \[ \lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x] \] für alle $x' ∈ X'$ gilt. \end{definition} \begin{bemerkung-nn} Der Grenzwert (so er denn existiert) ist eindeutig. Denn ist $x'[x] = x'[\tilde x]$ für alle $x' ∈ X'$, so folgt $x = \tilde x$ mit Folgerung 2.3 (2). \end{bemerkung-nn} \begin{beispiel-nn} Für eine Hilbertraumbasis $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt \[ \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ). \] $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0\; (i → \infty )$. \end{beispiel-nn} \begin{proof} Der kanonische Isomorphismus $J_X: X → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert \[ X' = \{ x' : x' ∈ X'\} = \{ J_X(y) : y ∈ X\}. \] Zu zeigen ist $\lim\limits_{i → \infty }x'[\hat e_i] = x'[0]$ für alle $x' ∈ X'$, also äquivalent $\lim\limits_{i → \infty } J_x(y)[\hat e_i] = J_x(y)[0]$ für alle $y ∈ X$ bzw. $\lim\limits_{i → \infty } \langle y, \hat e_i \rangle = \langle y, 0 \rangle$ für alle $y ∈ X$. Sei also $y ∈ X$ fest gewählt. Dann ist $y = \sum_{i=1}^\infty \alpha _i \hat e_i$ mit $\alpha _i = \langle \hat e_i, y \rangle$. Es gilt $\sum_{i=1}^\infty |\alpha _i|^2 < \infty $ (vgl Def 4.2.12). Damit folgt $\alpha _i = \langle \hat e_i, y \rangle → 0 (i → \infty )$, weil $\alpha ∈ \ell^2$. Damit folgt die Schwache Konvergenz von $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$. \end{proof} \begin{satz} Sei $M$ ein abgeschlossener Unterraum eines Banachraums $(X, \norm -)$. \begin{enumerate} \item Ist $X$ reflexiv, so ist auch $(M, \norm -)$ reflexiv. \item Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$. \end{enumerate} \end{satz} \begin{noproof} Übung. \end{noproof} \section{Darstellungssätze für einige Dualräume} \newcommand{\hidemath}{\(L^p(Ω), 1 ≤ p < ∞, Ω ⊂ ℝ^n\)} \subsection*{Dualraum des \protect\hidemath{} offen} \begin{satz}\label{ch05-darstellungssatz-Lp} Zu jedem $f ∈ (L^p(Ω))'$ , $1 ≤ p < ∞$ gibt es genau ein $u ∈ L^q(Ω)$, wobei $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, so dass sich $f$ als \[ f[x] = \int_Ω x(t) \cdot u(t) \dd t, \quad (x ∈ L^p(Ω)), \] darstellen lässt und es gilt \[ \norm{f}_{(L^p(Ω))'} = \norm{u}_{L^q(Ω)}. \] \end{satz} \begin{proof} Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum. Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte} \end{proof} Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∞(Ω)$. Aber $(L^∞(Ω))'$ hingegen ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$! \begin{bemerkung-nn} Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind. \end{bemerkung-nn} \subsection*{Dualraum des \(\ell^p, 1 0$ existiert, so dass für alle endlichen Zerlegungen \[ Z: a = t_0 < t_1 < … < t_n = b \] von $[a,b]$ gilt: \[ V_Z(v) := \sum_{j=1}^n |v(t_j) - v(t_j-1)| ≤ C < ∞ \] Wir nennen \[ \Var_{a,b}(v) \coloneq \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) \] die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$. \end{definition} \begin{beispiel-nn} Betrachte $v(x) = \cos(x), x ∈ [0, 2π]$. Dann ist mit der Zerlegung $Z: 0 < π < 2π$ \[ V_Z(v) = 2 \cdot 2 = 4 = \Var_{0,2π}(v). \] \end{beispiel-nn} \begin{bemerkung-nn} Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist von beschränkter Variation $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch \[ \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v) \] zum Banachraum. \end{bemerkung-nn} \begin{bemerkung-nn} Jedes $v ∈ C^1[a,b]$ ist von beschränkter Variation dank des Mittelwertsatzes. \end{bemerkung-nn} \begin{warnung-nn} Für Elemente in $C[a,b]$ ist das nicht notwendigerweise so (Übung). \end{warnung-nn} \begin{bemerkung-nn} Jedes $f ∈ \operatorname{BV}[a,b]$ lästs sich schreiben als $f = h-g$, wobei $h$ und $g$ jeweils monoton wachsende Funktionen sind. Daraus folgt, dass $f$ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt (Übung). \end{bemerkung-nn} Ähnlich wie bei der Existenz des Riemann"=Integrals kann man zeigen: \begin{lemma} 5.5.5, riemann-steltjes integral ex für bv funkitonen \end{lemma} Mit Hilfte des Riemann"=Stieltjes"=Integral können lässt sich der Dualraum des $C[a,b]$ darstellen. \begin{satz} Zu jedem $f ∈ (C[a,b])'$ existiert eine Funktion $v$ von beschränkter Variation mit \[ f[x] = ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t), \quad x ∈ C[a,b], \] wobei \[ \norm{f}_{(C[a,b])'} = \Var_{a,b}(v). \] \end{satz} Genauer ist \[ \norm{f}_{(C[a,b])'} = \sup_{\norm{x}_∞ ≤ 1} | f[x] | = \sup_{\norm{x}_{∞} ≤ 1} \Big| ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t) \Big| = … = \Var_{a,b}(v). \] Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals. \begin{satz} Sei $\operatorname{NBV}[a,b]$ der Raum der Funktionen von Beschränkter Variation auf [a,b], für die gilt: \[ v(a) = 0, \quad \lim_{h → 0+} v(t + h) = v(t), a ≤ t < b, \] Also zusätzlich rechtsseitige Stetigkeit gilt. Führt man auf $\operatorname{NBV}([a,b])$ eine Norm durch $\norm{v} = \Var_{a,b}(v)$ ein, so ist $(C[a,b])'$ vermittels 5.7/5.8 isometrisch isomorh zu $\operatorname{NBV}[a,b]$, das heißt $(C[a,b])' \cong \operatorname{NBV}[a,b]$. \end{satz} \begin{proof} Zum Beispiel in \cite[Chapter III, Theorem 5.5]{MR564653} \end{proof} \begin{bemerkung-nn} $C[a,b]$ ist nicht reflexiv. \end{bemerkung-nn} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" %%% End: