\chapter{Schwache Topologien}
In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum.

Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist.

Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber  die Einheitskugel kompakt macht.

\section{Schwache und schwach$*$-Topologie}

Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
\begin{equation}\label{eq:11}
    U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X
\end{equation}

\begin{definition}
    Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass
    \[
        x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V
    \]
    gilt.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11}
    bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$.
    Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung).
    Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne.
\end{bemerkung}

\begin{satz}
    \begin{enumerate}
    \item 
        $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
    \item
        Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$.
        \begin{warnung-nn}
            Die Umkehrung gilt in der Regel nicht.
            Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung).
        \end{warnung-nn}
    \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
    Übung.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
    $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
\end{bemerkung-nn}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "funkana-ebook"
%%% End: