\chapter{Schwache Topologien} In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum. Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist. Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht. \section{Schwache und schwach$*$-Topologie} Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei \begin{equation}\label{eq:11} U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X \end{equation} \begin{definition} Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass \[ x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V \] gilt. \end{definition} \begin{bemerkung} Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11} bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$. Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung). Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne. \end{bemerkung} \begin{satz} \begin{enumerate} \item $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist. \item Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$. \begin{warnung-nn} Die Umkehrung gilt in der Regel nicht. Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung). \end{warnung-nn} \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} Übung. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$ \begin{itemize} \item mehr offene Mengen, \item mehr abgeschlossene Mengen, aber \item weniger kompakte Mengen, \item mehr stetige Abbildungen nach $\K$ (oder in einen anderen topologischen Raum), aber \item weniger konvergente Folgen. \end{itemize} \end{bemerkung-nn} \begin{bemerkung-nn} $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist. \end{bemerkung-nn} \begin{bemerkung} Sei $P := \{ p_{x'}: X → ℝ: x' ∈ X', p_{x'}(x) := | \lAngle x', x \rAngle |\}$. Dann ist $P$ eine Familie von Halbnormen auf $X$, die die Bedingung (I) aus dem Satz 3.3.15 erfüllt, % TODO, das heißt, wenn $p_{x'}(x) m = 0 $ für alle $x' ∈ X'$, dann ist bereits $x = 0$ dank Hahn-Banach. Damit ist $(X, \T_w)$ sogar ein \emph{lokalkonvexer} Hausdorff"=Raum (insbesondere sind die $U(x',ε)$ und endliche Schnitte davon eine konvexe Umgebungsbasis der Null). \end{bemerkung} \begin{bemerkung} Es gilt $\T_w = \T_s \iff \dim X < ∞$, das heißt in der Regel ist $\T_w \subsetneq \T_s$, also es gibt echt weniger schwach offene Mengen als stark offene (Beispiel in der Übung). Deswegen gibt es auch \emph{mehr} schwach konvergente Folgen. \end{bemerkung} \begin{satz} Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X$. Dann konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in der schwachen Topologie gegen $x_0 ∈ X$ genau dann, wenn $\lim\limits_{n → ∞} \lAngle x', x \rAngle = \lAngle x', x_0 \rAngle$ für alle $x' ∈ X'$ gilt. \end{satz} \begin{proof} Übung. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \xrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$. Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \xrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$. \end{bemerkung-nn} Nach Satz 1.6 sind alle $x' ∈ X'$ als Abbildungen \[ x': (X, \T_w) → \K \] folgenstetig. Nach Definition ist aber auch $x': (X, \T_s) → \K$ stetig. Tatsächlich ist $\T_w$ die gröbste Topologie auf $X$, das heißt die mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle $x' ∈ X'$ stetig sind. Beachte \[ U(x', ε) = (x')^{-1}(B_ε(0)), \] und $B_ε(0)$ ist eine offene Menge in $\K$, also wird die Topologie gerade durch die Urbilder einer Umgebungsbasis unter den $x'$ erzeugt, das heißt nach Konstruktion ist sie gerade so gemacht, dass alle $x'$ stetig werden, aber es werden nicht mehr offene Mengen hinzugenommen. $\T_w$ ist also die Initialtopologie bezüglich aller $x'$. \subsection*{Schwach$*$-Topologie auf $X'$} Zu $X'$ (also einem Banachraum) existiert auch $X'' = (X')'$ und ist wieder ein Banachraum. Damit existiert auf $X'$ eine schwache Topologie $(X',\T_{w,X'})$ mit Umgebungsbasis \[ U(x'',ε) ⊂ X' \] zu $x'' ∈ X''$ fest und $ε > 0$ und endlichen Schnitten davon. $X'$ lässt sich aber auch noch anders topologisieren. Sei $x ∈ X$ fest und $ε > 0$ gegeben. Dann definiere \[ U'(x, ε) \coloneq \{ x' ∈ X': |\lAngle x', x \rAngle| < ε\} ⊂ X'. \] \begin{definition} Eine Menge $V' ⊂ X'$ heißt offen bezüglich der \emph{scwhach$*$-Topologie}, falls zu jedem $x_0' ∈ V'$ endlich viele $x_1,…,x_k ∈ X$, $ε_1,…,ε_n > 0$ existieren, so dass \[ x_0' + \bigcap_{i=1}^n U'(x_i, ε_i) ⊂ V'. \] Wir schreiben für diese Topologie $(X',\T_{w*,X'})$. \end{definition} \begin{satz} $X'$ ist bezüglich der schwach$*$"=Topologie ein topologischer linearer Raum, der Hausdorffsch ist. Die $U'(x, ε)$ und endliche Schnitte davon sind Umgebungsbasis der Null in $X'$ für $\T_{w*,X'}$. \end{satz} \begin{proof} ähnlich wie bei der schwachen Topologie. \end{proof} \begin{warnung-nn} Eine „schwach$*$-Topologie“ auf $X$ geht offenbar \emph{nicht}. \end{warnung-nn} \begin{bemerkung} Die schwach$*$ ist eine weitere Abschwächung der schwachen Topologie. Betrachte dazu den kanonischen Isomorphismus \[ J_0: X → X'', \quad ∀x ∈ X': \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle. \] Definitionsgemäß ist $J_0$ genau dann surjektiv, wenn $X$ reflexiv ist. Dann ist \[ U'(x,ε) = \{ x' ∈ X' : |\lAngle J_0 x, x' \rAngle| < ε\} = U(J_0 x, ε). \] Damit $U'(x,ε) ∈ \T_{w,X'}$, also \[ \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'} \] \end{bemerkung} \begin{korollar-nn} Falls $X$ reflexiv ist, so stimmen $\T_{w*,x'}$ und $\T_{w,X'}$ überein. \end{korollar-nn} \begin{proof} klar. \end{proof} Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 \begin{satz} Sei $(x'_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X'$. Dann konvergiert $(x_n')_{n ∈ ℕ}$ in $(X',\T_{w^*,X'})$ gegen $x_0' ∈ X'$ genau dann, wenn $\lim_{n → ∞} \lAngle x_n', x \rAngle = \lAngle x_0', x \rAngle$ für alle $x ∈ X$. Wir schreiben dafür $x_n' \xrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$. \end{satz} \begin{proof} Übung. \end{proof} \begin{bemerkung} \begin{enumerate} \item Grenzwerte von schwach (schwach$*$) konvergenten Folgen sind eindeutig bestimmt. \item Normkonvergenz implizierte schwache Konvergenz impliziert schwach$*$-Konvergenz. \end{enumerate} \end{bemerkung} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Für die schwache Topologie: Falls $x'[x_0] = x'[\tilde x_0]$ für alle $x' ∈ X$, so impliziert Hahn-Banach bereits $x_0 = \tilde x_0$. \item Folgt direkt aus den entsprechenden Inklusionen der Topologien. \end{enumerate} \end{proof} \begin{satz} \begin{enumerate} \item Aus $x_k' \xrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt \[ \norm{x'}_{X'} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'}. \] \item Aus $x_k \xrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt \[ \norm{x}_{X} ≤ \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}. \] \end{enumerate} \end{satz} \begin{proof} \begin{enumerate} \item Für alle $ ∈ X $ gilt: \[ |\lAngle x', x \rAngle| \xleftarrow[n → ∞]{} | \lAngle x_k' x \rAngle | \le \norm{x}_{X} \norm{x'_k}_{X'}, \] also \[ | \lAngle x', x \rAngle | \le \underbrace{\left( \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'} \right)}_{\eqcolon M} \norm{x}_X, \] das heißt $\norm{x'}_{X'} ≤ M$, was die Behauptung impliziert. \item Gelte $x_k \xrightharpoonup[k→∞]{} x$ Wie gerade folgt für alle $x' ∈ X'$ \[ | \lAngle x', x \rAngle | ≤ \norm{x'} \left( \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_X \right). \] nach Kapitel, Kor 2.1 (Existenz von nichttrivialen Funktionalen) existiert zu $x ∈ X$ fest ein $x' ∈X'$ mit \[ \lAngle x', x \rAngle = \norm{x}, \quad \norm{x'}_{X'} = 1, \] woraus \[ \norm{x}_{X} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X} \] folgt, was die Behauptung war. \end{enumerate} \end{proof} \section{Schwach- und schwach$*$-kompakte Einheitskugeln} \begin{satz} Sei $(X,\norm-)$ separabel. Dann ist die (stark) abgeschlossene Einheitskugel $\cl{B_1}(0) = \{ x' ∈ X': \norm{x'} ≤ 1\} ⊂ X'$ schwach$*$-folgenkompakt. \end{satz} \begin{proof} Sei $\{x_n\}_{n ∈ ℕ}$ eine dichte Teilmenge von $X$. Sei $(x'_{k ∈ ℕ})$ eine Folge in $X'$ mit $\norm{x'_k}_{X'} ≤ 1$ für alle $k ∈ ℕ$. Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge). Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$. Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ gilt \[ \lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle \;\;\text{existiert}: \] Dazu gibt es wegen (*) zu $x_1$ eine Teilfolge $(x_{k,1}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ mit \[ (\lAngle x'_{k,1}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. \] Analog können wir zu $x_2$ eine Teilfolge $(x_{k,2}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,1})_{k ∈ ℕ}$ finden mit \[ (\lAngle x'_{k,2}, x_2 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K \] und weiterhin \[ (\lAngle x'_{k,2}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. \] Induktiv: Zu $x_m$, $m ∈ ℕ$ existiert eine Teilfolge $(x'_{k,m})_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,m-1})_{k ∈ ℕ}$, so dass \[ ∀j ≤ m : (\lAngle x'_{k,m}, x_j \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. \] Für die Diagonalfolge $(x'_{m,m})_{m ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ gilt also \[ ∀n ∈ ℕ : (\lAngle x'_{m,m}, x_n \rAngle)_{m ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K. \] Setze nun $x'_{k_m} \coloneq x"_{m,m}$. Sei nun O.B.d.A $x'_{k_m} = x'_k$. Nun konstruieren wir ein $x'$ mit der gewünschten Eigenschaft. Setze $Y := \lspan \{ x_n: n ∈ ℕ\} ⊂ X$. Dann liegt $Y$ immer noch dicht in $X$. Dann gilt für $y ∈ Y$ beliebig auch \[ \lim_{k → ∞} \lAngle x'_k, y \rAngle \;\;\text{existiert in } \K. \] Wir definieren $x' : Y → \K$ linear mit \[ \lAngle x', y \rAngle \coloneq \lim_{k→∞} \lAngle x'_k, y \rAngle. \] Wir behaupten $x' ∈ Y'$. Dazu ist \[ | \lAngle x', y \rAngle | = \lim_{k → ∞} |\lAngle x'_k, y \rAngle | ≤ \norm{y} \limsup_{k → ∞} \norm{x_k'}_{X'} ≤ \norm{y}. \] Damit ist $x'$ auf $Y$ beschränkt, also stetig. Außerdem gilt $\norm{x'}_{Y'} ≤ 1$. $x'$ lässt sich als dicht definierte stetige lineare Abbildung eindeutig fortsetzen (Kapitel 5, Satz 1.2) auf $\cl Y = X$. Also $x' ∈ X'$ und $\norm{x'}_{X'} = \norm{x'}_{Y'} ≤ 1$. Also $x' ∈ \cl{B_1(0)} ⊂ X'$. Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \xrightharpoonup[k→∞]{*} x'$. Sei dazu $x ∈ X$ beliebig und $y ∈ Y$ mit $\norm{x-y}_{X} < ε$ (geht weil $\cl Y = X$). Dann \[ | \lAngle x' - x'_k, x \rAngle | ≤ | \lAngle x' - x'_k, x-y \lAngle| + |\lAngle x'-x'_k, y \rAngle| ≤ 2 \norm{x-y} + ε < 3 ε. \] Also ist schwache Konvergenz gezeigt und die Behauptung folgt. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana-ebook" %%% End: