\chapter[Konsequenzen aus dem Satz von Baire]{Konsequenzen aus dem\\  Satz von Baire}

In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von
Baire ziehen.
Dieses Resultat (\cref{satz:bct-2.3.7}) sagt aus, dass jede nichtleere offene
Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ von zweiter Kategorie ist,
also nicht von erster Kategorie (oder mager) ist.
Eine Menge $M ⊂ X$ heißt \emph{mager}, falls $M ⊂ \bigcup_{n=1} M_n$ mit $M_n$
nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$.

Zunächst folgendes Elementares Resultat:
\begin{korollar-nn}[Übung 13]
    In einem vollständigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
\end{korollar-nn}

Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
\begin{korollar-nn}[Übung 69]
    Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum mit $\dim X = ∞$. Dann ist
    jede Hamelbasis von $X$ überabzählbar
\end{korollar-nn}
\begin{beweisidee}
    Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$.
    Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$,
    wobei $\lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
    Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind.
    Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie.
\end{beweisidee}

\section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit}
Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm \cdot _{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm \cdot _{Y})$
ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten
Raumes $(\L(X,Y),\snorm \cdot _{\L(X,Y)})$ studieren.

\begin{satz}[{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}]
    \label{satz:gleichmaessige-beschraenktheit-7.1.1}
    \index{beschränkt!gleichmäßig}
    \index{beschränkt!punktweise}
    \index{Prinzip!der gleichmäßigen Beschränktheit}
    Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$  eine Familie von stetigen Operatoren,
    die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so
    dass
    \[
        \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
    \]
    für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt},
    das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit
    \[
        \snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ μ
    \]
    für alle $λ ∈ Λ$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Wir verwenden den Satz von Baire in einem Widerspruchsbeweis.
    Wir setzen $M_k := \{ x ∈ X: m(x) ≤ k \} ⊂ X, k ∈ ℕ$.

    Wir werden gleich zeigen, dass wenn $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht gleichmäßig
    beschränkt ist, $M_k$ nirgends dicht ist.
    Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager,
    also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht.
    Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der
    $M_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
    direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein
    kann. Das ist ein Widerspruch.

    Nun zum Beweis dieser Aussage.
    Wir müssen zeigen, dass $\cl{M_k}^\circ$ leer ist.
    Das ist äquivalent dazu, dass es zu jeder Kugel $B_ε(x_0)$ eine Kugel 
    $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ gibt mit $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$.
    Sei also $B_ε(x_9)$ mit $x_0 ∈ X$, $ε > 0$ eine beliebige Kugel in $X$.
    Dann gibt es ein $x_1 ∈ B_ε(x_0)$, so dass $x_1 \not\in M_k$:
    Angenommen, es würde nicht so ein $x_1$ geben. 
    Dann ist $B_ε(x_0) ⊂ M_k$, also $\sup_{λ ∈  Λ} \snorm{A_λx} ≤ k$ für alle $x ∈ \cl{B_ε(x_0)}$.
    Für $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ gilt dann immer
    \[
        x_0 + \frac{ε}{\snorm{x}}x ∈ \cl{B_ε(x_0)},
    \]
    also
    \begin{align*}
        \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx}_Y &= \sup_{λ ∈ Λ} \norm{ \frac{\snorm x}{ε} \left( A_λx_0 + \frac{ε} {\norm x} A_λ x \right) - \frac{\norm x}{ε} A_λ x_0} \\
        &≤ \frac{\norm{x}}{ε} \left( \sup_{λ ∈ Λ} \norm{A_λ\left( x_0 + \frac{ε}{\norm x} x \right)} + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx_0} \right) ≤ \frac{\norm{x}}{ε} 2k.
    \end{align*}
    Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist.


    Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0)$ mit $x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
    Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$.
    Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$.
    Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet.
\end{proof}

\begin{korollar}
    \label{kor:7.1.2}
    blub.
\end{korollar}
\begin{proof}
    Zu (b):
\end{proof}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "funkana"
%%% End: