summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/ch05-hahn-banach.tex
blob: 88b7edbc87a37b3d27c0e95b616d0beacbd76902 (plain)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
\chapter{Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen}
\section{Fortsetzbarkeit linearer Funktionale}

Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben.

\begin{definition}
    Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls
    \begin{enumerate}
    \item $ M_0 ⊂ M$,
    \item $∀x ∈ M_0: A_0 x = Ax $.
    \end{enumerate}
    Wir schreiben dann $A = A|_{M_0}$.
\end{definition}

\begin{satz}
    Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
    Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear.
    Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$.
    Für diese gilt:
    \[
        \norm{A_0}_{\L(X_,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}.
    \]
\end{satz}
\begin{proof}
    Zeigen wir zunächst die Existenz der Fortsetzung.
    Da $X_0$ dicht in $X$ ist, existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n \ge1}$, die ganz in $X_0$ liegt und gegen $x$ konvergiert.
    Wir behaupten, dass $(A_0x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$ ist.
    Dazu beachte, dass
    \[
        \norm{A_0 x_n - A_0 x_m}_{Y} \le \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n-x_m} \xrightarrow[n,m → \infty ]{} 0.
    \]
    Da $Y$ ein Banachraum ist, ist $(A_0x_n)_{n\ge1}$ konvergiert, etwa gegen $y$.
    Wir setzen $Ax \coloneq y$.
    Zunächst ist $A$ wohldefiniert, denn wenn $(z_n)_{n \ge 1}$ eine weitere Folge mit $\lim_{n → \infty } z_n = x$ ist, dann gilt
    $z_n - x_n \xrightarrow[n→\infty ]{} 0$ und
    \begin{align*}
        \norm{A_0 z_n - y} &\le \norm{A_0 z_n - A_0 x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \\
        & \le  
        \norm{A_0} \norm{z_n - x_n} + \norm{A_0 x_n - y} \xrightarrow[n→\infty ]{} 0.
    \end{align*}
    Offensichtlich ist $A$ eine Fortsetzung von $A_0$.
    Dass $A$ linear ist, ist ebenfalls klar.
    Zur Stetigkeit ist
    \begin{align*}
        \norm{Ax}_Y &= \norm{\lim_{n → \infty } A_0 x_n}_Y = \lim_{n → \infty } \norm{A_0 x_n}_{Y} \\
        &\le
        \lim_{n → \infty } \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} \norm{x_n}_X = \norm{A_0} \norm{x}.
    \end{align*}
    Damit ist $A$ beschränkt, also auch stetig.

    Es gilt $\norm{A_0}_{\L(X_0,Y)} = \norm{A}_{\L(X,Y)}$:
    „$\ge$“ ist aus dem Vorherigen klar. Für die andere Ungleichung ist
    \[
        \norm{A}_{L(X,Y)} =
        \sup_{\norm{x \le 1}, x ∈ X} \norm{Ax}_{Y}
        \ge
        \sup_{\norm{x \le 1}, x ∈ X_0} \norm{Ax}_{Y} = \norm{A_0}_{\L(X_0,Y)}.
    \]

    Für die Eindeutigkeit sei $B: X → Y$ eine weitere stetige, lineare Fortsetzung von $A_0$.
    Wie oben existiert zu jedem $x ∈ X$ eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $\lim_{n → \infty } x_n = x$.
    Dann ist
    \[
        Ax_n = A_0 x_n = Bx_n \quad ∀ n ∈ ℕ
    \]
    und für $x ∈ X$
    \[
        \norm{B_x - A_x} \le \norm{B_x - Bx_n} + \norm{Bx_n - Ax_n} + \norm{Ax_n - Ax} \xrightarrow[n→\infty ]{} 0,
    \]
    da $A$ und $B$ stetig sind. Also $Bx = Ax$ für alle $x ∈ X$ und damit $B = A$.
\end{proof}

\begin{korollar}
    Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt:
    Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$.
\end{korollar}
\begin{proof}
    ~
\end{proof}

Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.


\begin{satz}
    Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit:
    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
    \item
        $p(\alpha x) = \alpha p(x)$ für alle $\alpha  \ge 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
    \item
        $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv)
    \end{enumerate}

    Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
    \[
        ∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x).
    \]
    Dann gibt es eine lineare Fortsetzung $f: X → ℝ$ von $f_0$, welche die Ungleichung respektiert, das heißt
    \[
        f|_{X_0} = f_0 \quad \text{und} \quad ∀x ∈ X: f(x) \le p(x).
    \]
\end{satz}
\begin{bemerkung-nn}
    Halbnormen  oder Normen $p$ Erfüllen die Voraussetzungen dieses Satzes.
\end{bemerkung-nn}
\begin{proof}
    Schritt 1.
    Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$  für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$).
    Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als
    $ y = y + \alpha x_1 $,  mit $y ∈ X_0$, $\alpha  ∈ ℝ$.
    Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig
    \[
        f(x) = f(y + \alpha (x_1)) \coloneq f_0(y) + \alpha c
    \]
    eine lineare Abbildung $X_1 → ℝ$, die $f_0$ fortsetzt.
    Wir müssen $c$ so wählen, dass $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈ X_1$, also $f_0(y) + \alpha c \le p(y+\alpha x_1)$ für alle $y ∈ X_0, \alpha  ∈ ℝ$.
    Mit (i) ist diese Bedingung äquivalent zu zwei anderen Bedingungen:
    \begin{enumerate}
    \item
        Für $a > 0$: $f_0(y/\alpha ) + c \le p(y/\alpha  + x_1)$.
    \item
        Für $\alpha  < 0$: $f_0(-y/\alpha ) - c \le p(-y/\alpha  - x_1)$ 
    \end{enumerate}
    für alle $y ∈ X_0$. Der Fall $\alpha  = 0$ ist nach Annahme ohnehin klar.
    Um diese Bedingungen erfüllen zu können, muss $c ∈ ℝ$ so gewählt werden, dass
    \[
        ∀y_1, y_2 ∈ X_0: f_0(y_1) - p(y_1 - x_1) \le c \le p(y_2 + x_2) - f_0(y_2).
    \]
    Das ist möglich, da
    \[
        f_0(y_1) + f_0(y_2) = f_0(y_1+y_2) \le p(y_1 + y_2) = p(y_1 - x_1 + y_2 + x_1) \le p(y_1 - x_1)+p(y_2+x_1).
    \]
    Folglich gilt
    \[
        \sup_{y_1 ∈ X_0} f_0(y_1-p(y_1-x_1)) \le \inf{y_2 ∈ X_0} p(y_2+x_1)-f_0(y_2).
    \]


    Schritt 2.
    Finde eine maximale Fortsetzung mit dem Lemma von Zorn.
    Betrachte dazu
    \[
        \{: X \supset D_g \supset X_0 → ℝ\}: g|_{X_0} = f_0 ∧ ∀x ∈ D_g: g(x) \le p(x) \}.
    \]
    Diese Menge ordnen wir mit $\succeq$ definiert durch
    \[
        h \succeq g \gdw h \text{ ist Fortsetzung von $g$}.
    \]
    Nach dem Lemma von Zorn existiert eine maximale Fortsetzung $g^*$ von $f_0$ mit $g^*(x) \le p(x)$ für alle $x ∈ X$.
    Wäre $D_{g^*}$ nicht $X$, so verfahre wie in Schritt 1 im Widerspruch zur Maximalität.
    Damit hat $g^*$ die gewünschten Eigenschaften.
\end{proof}

\begin{bemerkung-nn}
    \begin{enumerate}
    \item 
    Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial.
    \item 
        Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4
    \end{enumerate}
\end{bemerkung-nn}

%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG

\begin{satz}[5.3.1]
    Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$.

    Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit
    \[
        f(x_0) > 1 ∧ ∀ x ∈ M: f(x) \le 1.
    \]
\end{satz}
Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon  < f(x_0) < 1$ trennt also $x_0$ und $M$.

\begin{proof}
    Setze $2r \coloneq \inf_{y ∈ M} \norm{y - x_0}$  (positiv, da $M$ abgeschlossen).
    Sei $N \coloneq \cl{M + \cl{B_r(0)}} = \cl{\{ z = y + u: y ∈ M, u ∈ \cl{B_r(0)}\}} ⊂ X$.
    Dann ist (i) $N$ abgeschlossen und (ii) $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, da $0 ∈ M$, insbesondere ist $0 ∈ N^\circ$.
    (iii) ist $N$ konvex: Es genügt, zu zeigen, dass $A = M + B_r(0)$ konvex ist, denn dann ist auch $\cl A$ konvex.
    Sei $x _i = y_i + v_i, y_i ∈ M, v_i ∈ \cl{B_r(0)}, i=1,2$ und $\alpha  ∈ (0,1)$. Dann ist
    \[
        \alpha x_1 + (1-\alpha )x_2 = \underbrace{[\alpha y_1 + (1-\alpha )y_2]}_{∈ M} + \underbrace{[\alpha u_1+(1-\alpha )v_2]}_{\cl{B_r(0)}}.
    \]
    (iv) ist $x_0 \not\in N$.
    Angenommen, $x_0 ∈ N$. Dann existiert eine Folge $z_n = y_n + u_n$ in $A$ mit $z_n → x_0 (n→\infty )$.
    Dann ist für $n_0$ hinreichend groß
    \[
        \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r.
    \]

    Verwende nun das Minkowski-Funktional
    \[
        p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
    \]
    Dieses hat die Eigenschaften
    \begin{enumerate}
    \item
        $p_N(\alpha x) = \alpha p_n(x),\quad \alpha  \ge 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
    \item
        $p_N(x+y) \le p_N(x) + p_N(y), \quad x, y ∈ X$ (subadditiv)
    \item
        $p_N(x) \le 1 \iff x ∈ N$
    \item
        Ist zusätzlich $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, so gilt $p_nNx) \le r^{-1}\norm x$ für alle $x ∈ X$.
    \end{enumerate}
    Sei nun $X_0 \coloneq \lspan\{x_0\}$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ linear definiert durch $f_0(x_0) \coloneq p_N(x_0)$.
    Wir behauptung, dass $f_0 (x) \le p_N(x)$ für alle $x  = \lambda x_0 ∈ X_0$.
    Falls $\lambda  \ge 0$, so ist $f_0(x) = f_0(\lambda x_0) = \lambda p_N(x_0) = p_N(\lambda x_0) = p_N(x)$.
    Falls $\lambda  < 0$, so ist wegen $p_n \ge 0$ ohnehin $f_0(\lambda x_0) = \lambda p_N(x_0) \le 0 \le p_N(\lambda x_0)$.
    Da $p_N$ die Bedingungen (i) und (ii) aus Hahn-Banach erfüllt,
    gibt es eine lineare Fortsetzung $f$ von $f_0$ mit $f(x) \le p_N(x)$ für alle $x ∈ X$.

    Nun ist $f$ stetig, also $f ∈ X'$, denn für alle $x ∈ X$ gilt
    \begin{multline*}
        |f(x) = \max\{f(x), -f(x)\}  = \max\{f(x),f(-x)\} \le \max\{p_N(x),p_N(-x)\}  \\
        \le \max\left\{\frac{\norm{x}}{r},\frac{\norm{-x}}{r}\right\} = \frac{\norm x}{r}.
    \end{multline*}

    Außerdem erfüllt $f$ die Gleichung 3.1 (?), denn
    \[
        f(x_0) = f_0(x_0) = p_n(x_0) > 1
    \]
    und für $x ∈ M ⊂ N$ gilt
    \[
        f(x) \le p_N(x) \le 1.
    \]
\end{proof}

\section{Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum}
Zunächst zur Motivation: Sei $X$ ein normierter linearer Raum.
Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum.
Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.

\begin{definition}
    Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch
    \[
        J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x]\K
    \]
    für $x ∈ X, x' ∈ X'$.

    Offensichtlich gilt für $x ∈ X$ fest $J_0(x): X' → \K$ linear, aber $J_0(x)$ ist auch stetig bzw beschränkt:
    Dazu ist
    \[
        |J_0(x)[x']| = | \langle  \langle x',x \rAngle \le \norm{x'}_{X'} \underbrace{\norm{x}_X}_{=: M}.
    \]
    Also ist $J_0(x) ∈ X''$, also insbesondere $J_0$ wohldefiniert.
    Wegen der linearität von $J_0$ in $x$ schreiben wir statt $J_0(x)$ auch $J_0 x$.
\end{definition}

\begin{satz}
    Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist eine normerhaltende lineare Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum $X''$.
\end{satz}

\begin{warnung-nn}
    $J_0$ ist in der Regel nicht surjektiv.
\end{warnung-nn}

\begin{proof}
    Zur Injektivität: Seien $x_1, x_2 ∈ X$ mit $J_0x_1 = J_0x_2$.
    Dann ist für jedes $x' ∈ X'$
    \[
        \lAngle x',x_1 \rAngle = J_0 x_1[x'] = J_0x_2[x'] = \lAngle x', x_2 \rAngle,
    \]
    also wegen Linearität von $x'$
    \[
        \lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0.
    \]
    Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$.

    Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$.
    „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits
    \[
        \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X.
    \]
    „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
    $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$.
    Also folgt
    \[
        \underbrace{|J_0x_0[x_0']|}_{\le \norm{J_0x_0}_{X''}} = \lAngle  x_0', x_0 \rAngle = \norm{x_0}.
    \]
    Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$.
\end{proof}

\begin{definition}
    Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$.
\end{definition}

\begin{bemerkung-nn}
    Ein unvollständiger normierter Raum hätte offensichtlich keine Chance, reflexiv zu sein.
\end{bemerkung-nn}

\begin{warnung-nn}
    „vermöge $J_0$“ in der Definition ist wesentlich, denn es gibt Beispiele mit $X \cong X''$, aber $J_0$ ist nicht surjektiv. %% werner, I 4.7
\end{warnung-nn}

\begin{satz}
    Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv
\end{satz}
\begin{proof}
    Übung.
\end{proof}

\begin{bemerkung-nn}
    Offensichtlich sind $H$ und $H''$ isometrisch isomorph:
    Denn $H$ und $H'$ sind bereits konjugiert linear isomorph via $J_H, X → X'$ (Kapitel IV, \S 5, aus Ries'schem Darstellungssatz).
    Mit dem gleichen Argument sind $H'$ und $H''$ konjugiert linear isomorph via $J_{H'}$, also $H$ und $H''$ linear isometrisch durch $J_{H'} \circ J_H$.
    Dies genügt aber nicht für den Nachweis der Reflexivität.
    Dafür müssen wir zu $x'' ∈ H''$ ein $x ∈ H$ finden mit $J_0x = x''$.
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Wozu Reflexivität gut ist, werden wir später im Kapitel über schwache Topologien genauer sehen.
    Beispielsweise ist $\cl{B_1(0)}$ im reflexiven Banachraum $X$ schwach folgenkompakt, das heißt jede Folge in $\cl{B_1(0)}$ hat eine schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $\cl{B_1(0)}$.
    Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig.
\end{bemerkung-nn}

\begin{definition}
    Eine Folge  $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
    \[
        \lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x]
    \]
    für alle $x' ∈ X'$ gilt.
\end{definition}

\begin{bemerkung-nn}
    Der Grenzwert (so er denn existiert) ist eindeutig. Denn ist $x'[x] = x'[\tilde x]$ für alle $x' ∈ X'$, so folgt $x = \tilde x$ mit Folgerung 2.3 (2).
\end{bemerkung-nn}

\begin{beispiel-nn}
    Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
    \[
        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X (i → \infty )
    \]
\end{beispiel-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0 (i → \infty )$.
\end{bemerkung-nn}

\begin{proof}
    Der kanonische Isomorphismus $J_X: X  → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert
    \[
        X' = \{ x' : x' ∈ X'\} = \{ J_X(y) : y ∈ X\}.
    \]
    Zu zeigen ist $\lim\limits_{i → \infty }x'[\hat e_i] = x'[0]$ für alle $x' ∈ X'$, also äquivalent
    $\lim\limits_{i → \infty } J_x(y)[\hat e_i] = J_x(y)[0]$ für alle $y ∈ X$ bzw. $\lim\limits_{i → \infty } \langle y, \hat e_i \rangle = \langle y, 0 \rangle$ für alle $y ∈ X$.

    Sei also $y ∈ X$ fest gewählt. Dann ist $y = \sum_{i=1}^\infty \alpha _i \hat e_i$ mit $\alpha _i = \langle  \hat e_i, y \rangle$.
    Es gilt $\sum_{i=1}^\infty  |\alpha _i|^2 < \infty $ (vgl Def 4.2.12).
    Damit folgt $\alpha _i = \langle  \hat e_i, y \rangle0 (i → \infty )$, weil $\alpha\ell^2$.
    Damit folgt die Schwache Konvergenz von $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$.
\end{proof}


\begin{satz}
    Sei $M$ ein abgeschlossener Unterraum eines Banachraums $(X, \norm -)$.
    \begin{enumerate}
    \item
        Ist $X$ reflexiv, so ist auch $(M, \norm -)$ reflexiv.
    \item
        Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$.
    \end{enumerate}
\end{satz}

\section{Darstellungssätze für einige Dualräume}
\subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen}

\begin{satz}\label{ch05-darstellungssatz-Lp}
    Zu jedem $f ∈ (L^p(Ω))'$ , $1 ≤ p < ∞$ gibt es genau ein $u ∈ L^q(Ω)$, wobei
    $\frac 1 p + \frac 1 q = 1$, so dass sich $f$ als
    \[
        f[x] = \int_Ω x(t) \cdot u(t) \dd t, \quad (x ∈ L^p(Ω)),
    \]
    darstellen lässt und es gilt
    \[
        \norm{f}_{(L^p(Ω))'} = \norm{u}_{L^q(Ω)}.
    \]
\end{satz}
\begin{proof}
    Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum.
    Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte}
\end{proof}
Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$.
\begin{warnung-nn}
    Aber $(L^∝(Ω))'$ ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$!
\end{warnung-nn}
\begin{bemerkung-nn}
    Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind.
\end{bemerkung-nn}

\subsection*{Dualraum des $\ell^p$, $1 <p < ∞$ }
\begin{satz}
    Sei $1 < p < ∞$.
    Jedes $x' ∈ (\ell^p)'$ kann mit Hilfe von genau einer Folge $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^q$ (wobei $\frac 1 q + \frac 1 p = 1$) in der Form
    \[
        x'[x] = \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^p
    \]
    dargestellt werden. Umgekehtr definiert jedes $α ∈ \ell^q$ vermöge dieser Darstellung genau ein $x' ∈ (\ell^p)'$ Diese Zuordnung
    \[
        Z: (\ell^p)' → \ell^q, \; x' ↦ α 
    \]
    ist ein Normisomorphismus. Also sind $(\ell^p)'$ und $\ell^q$ isometrisch isomorph.
\end{satz}
\begin{proof}
    Sei $(e_i)_{i ∈ ℕ}$ die Schauderbasis von $\ell^p$. Dann lässt sich jedes $x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ}\ell^p$ als
    \[
        x = \sum_{i=1}^∝ ξ_i e_i
    \]
    mit Konvergenz in $\ell^p$ schreiben. Für $x' ∈ (\ell^p)'$ fest gilt daher
    \[
        x'[x] = \sum_{i=1}^∞ ξ_i x'[e_i]
    \]
    wegen Stetigkeit und Linearität, das heißt mit $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} := (x'[e_i])_{i ∈ ℕ}$ gilt daher, dass sich $x'$ in dieser Form darstellen lässt.
    Eindeutigkeit von $α$ ist klar: Ist auch
    \[
        x'[x] = \sum_{i=1}^∞ β_i ξ_i,
    \]
    dann ist schon $α_i = x'[e_i] = ε_i$.

    Bleibt noch zu zeigen, dass $α ∈ \ell^q$ ist.
    Setze dazu $(ξ_i^n) :=
    \begin{cases}
        |α_i|^{q-1} \cdot \frac{\cl{α_i}}{|α_i|}, & 1 ≤ i ≤ n, α_i \ne 0\\
        0,  & \text{sonst}
    \end{cases}
    $. Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ}\ell^p$
    \[
        \norm{x_n}_{\ell^p} = \left( \sum_{i=1}^∞ | ξ_i^{(n)}|^p \right)^{1/p} = \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/p}.
    \]
    Außerdem gilt für $x' ∈ (\ell^p)'$
    \[
        \norm{x'}_{(\ell^p)'} \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big| = \norm{x'}_{(\ell^p)'} \norm{x_n}_{\ell^p }\le |x'[x_n]| = | \sum_{i=1}^n ξ_i^{(n)} \underbrace{x'[e_i]}_{= α_i}| = \big| \sum_{i=1}^n |α_i|^q \big|,
    \]
    also wegen $1 - \frac 1 p = \frac 1 q$
    \[
        \left( \sum_{i=1}^n |α_i|^q \right)^{1/q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'} 
    \]
    für alle $n ∈ ℕ$. Damit ist $α ∈ \ell^q$ und $\norm{α}_{\ell^q}$ und $\norm{α}_{\ell^q} \le \norm{x'}_{(\ell^p)'}$.

    Umgekehtrt definiert jedes $α ∈ \ell^q$ durch
    \[
        x'[x] := \sum_{i=1}^∞ α_i ξ_i, \quad x = (ξ_i)_{i ∈ ℕ}
    \]
    ein lineares Funktional $x' : \ell^! → \K$ (wohldefiniert nach Hölder), welches stetig ist:
    \[
        |x'[x]| ≤ \sum_{i=1}^∞ |α_i ξ_i| ≤ \norm{α}_{\ell^q} \norm{x}_{\ell^p},
    \]
    also ist $x'$ ist beschränkt und somit stetig.
    Weiter gilt also für $Z(x') \coloneq α $
    \[
        \norm{Z(x')}_{\ell^q} = \norm{α}_{\ell^q} = \norm{x'}_{(\ell^p)'},
    \]
    das heißt, $Z$ ist eine Isometrie.
\end{proof}

\begin{korollar-nn}
    $\ell^p$ und $(\ell^p)''$ sind isometrisch isomorph.
    Diese Isometrie ist kanonisch (vermöge $J_0$) (vgl, Def 5.4.1, Übung).
    Also sind $\ell^p$, $ < p < ∞$ reflexiv, es gilt
    \[
        \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle \quad ∀ x' ∈ X'.
    \]
\end{korollar-nn}
\begin{warnung-nn}
    $\ell^1$ ist nicht reflexiv, ebenso $\ell^∞$ nicht.
\end{warnung-nn}

\begin{definition}
    Eine Funktion $v: [a,b] → ℝ$ heißt \emph{von beschränkter Variation}, falls ein $C > 0$ existiert, so dass für alle endlichen Zerlegungen
    \[
        Z: a = t_0 < t_1 < … < t_n = b
    \]
    von $[a,b]$ gilt:
    \[
        V_Z(v) := \sum_{j=1}^n |v(t_j) - v(t_j-1)| ≤ C < ∞
    \]
    Wir nennen
    \[
        \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) 
    \]
    die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$.
\end{definition}
\begin{beispiel-nn}
    Betrachte $v(x) = \cos(x), x ∈ [0, 2π]$. Dann ist mit der Zerlegung $Z: 0 < π < 2π$
    \[
        V_Z(v) = 2 \cdot 2 = 4 = \Var_{0,2π}(v).
    \]
\end{beispiel-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
    \[
        \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v)
    \]
    zum Banachraum.
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Jedes $v ∈ C^1[a,b]$ ist von beschränkter Variation dank des Mittelwertsatzes.
\end{bemerkung-nn}
\begin{warnung-nn}
    Für Elemente in $C[a,b]$ ist das nicht notwendigerweise so (Übung).
\end{warnung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Jedes $f ∈ \operatorname{BV}[a,b]$ lästs sich schreiben als $f = h-g$, wobei $h$ und $g$ jeweils monoton wachsende Funktionen sind.
    Daraus folgt, dass $f$ höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen besitzt (Übung).
\end{bemerkung-nn}

Ähnlich wie bei der Existenz des Riemann"=Integrals kann man zeigen:

\begin{lemma}
    5.5.5, riemann-steltjes integral ex für bv funkitonen
\end{lemma}

Mit Hilfte des Riemann"=Stieltjes"=Integral können lässt sich der Dualraum des $C[a,b]$ darstellen.

\begin{satz}
    Zu jedem $f  ∈ (C[a,b])'$ existiert eine Funktion $v$ von beschränkter Variation mit
    \[
        f[x] = ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t), \quad x ∈ C[a,b],
    \]
    wobei
    \[
        \norm{f}_{(C[a,b])'} = \Var_{a,b}(v).
    \]
\end{satz}

Genauer ist
\[
    \norm{f}_{(C[a,b])'} = \sup_{\norm{x}_∞ ≤ 1} | f[x] | =
    \sup_{\norm{x}_{}1} \Big| ∫_a^b x(t) \;\mathrm{dv}(t) \Big| =  … =
    \Var_{a,b}(v).
\]
Wähle dafür $x = ±1$ an den Zwischenpunkten des Riemann"=Stieltjes"=Integrals.

\begin{satz}
    Sei $\operatorname{NBV}[a,b]$ der Raum der Funktionen von Beschränkter Variation auf [a,b], für die gilt:
    \[
        v(a) = 0, \quad \lim_{h → 0+} v(t + h) = v(t), a ≤  t < b,
    \]
    Also zusätzlich rechtsseitige Stetigkeit gilt.
    Führt man auf $\operatorname{NBV}([a,b])$ eine Norm durch $\norm{v} = \Var_{a,b}(v)$ ein, so ist
    $(C[a,b])'$ vermittels 5.7/5.8 isometrisch isomorh zu $\operatorname{NBV}[a,b]$, das heißt $(C[a,b])' \cong \operatorname{NBV}[a,b]$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Zum Beispiel in \cite[Chapter III, Theorem 5.5]{MR564653}
\end{proof}

\begin{bemerkung-nn}
    $C[a,b]$ ist nicht reflexiv.
\end{bemerkung-nn}




%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "funkana-ebook"
%%% End: