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\chapter{Schwache Topologien}
In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum.
Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist.
Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber die Einheitskugel kompakt macht.
\section{Schwache und schwach$*$-Topologie}
Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
\begin{equation}\label{eq:11}
U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X
\end{equation}
\begin{definition}
Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass
\[
x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V
\]
gilt.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11}
bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$.
Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung).
Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne.
\end{bemerkung}
\begin{satz}
\begin{enumerate}
\item
$(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
\item
Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$.
\begin{warnung-nn}
Die Umkehrung gilt in der Regel nicht.
Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung).
\end{warnung-nn}
\end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
Übung.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
$(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
\end{bemerkung-nn}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "funkana-ebook"
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