abschnitt über endlich-dimensionale normierte Räume ergänzt

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index d58b433..c6134f3 100644
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@@ -1420,10 +1420,46 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
     Damit ist $(\id -T)S = \id$. Da sich analog $S(\id-T) = \id$ auch zeigen lässt, folgt die Behauptung.
 \end{proof}
 
+% ===%=%=%=%= HIER FEHLT WAS
+
+\section{Endlich-dimensionale normierte Räume}
+\begin{satz}
+    Sei $X$ ein normierter Vektorraum über $\K$ mit $\dim X = n < ∞$.
+    Dann ist $X$ algebraisch und topologisch isomorph zum $\K^n$ versehen mit der Norm
+    \[
+        \norm{ξ}_1 = \sum_{i=1}^n|ξ_i|.
+    \]
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}
+    Seien $X$ und $Y$ normierte Räume gleicher Dimension $n ∈ ℕ$.
+    Dann sind $X$ und $Y$ algebraisch und topologisch isomorph.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $X$ ein linearer Raum der Dimension $n ∈ ℕ$, $\norm-_a$ und $\norm-_b$ zwei Normen auf $X$.
+    Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-b$ äquivalent.
+\end{korollar}
+
+\begin{satz}
+    Sei $X$ ein endlich-dimenisionaler normierter Raum.
+    Dann besitzt $X$ die Heine"=Borel"=Eigenschaft, das heißt, Teilmengen von $X$ sind genau dann kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt sind.
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $M ⊂ X$ ein linearer Unterraum.
+    Ist $\dim M < ∞$, so ist $M$ abgeschlossen.
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Eine analoge Aussage gilt auch im topologischen linearen Raum, ist aber schwerer zu zeigen \cite[Theorem 1.12]{MR0365062}.
+\end{bemerkung-nn}
 
 \begin{lemma}
-    3.7.6
+    Sei $X$ normierter Raum und $M \subsetneqq$ ein abgeschlossener Unterraum.
+    Dann existiert für jedes $Θ ∈ (0,1)$ ein Element $x_Θ ∈ X$ mit $\norm{x_Θ} = 1$ und $\norm{x-x_Θ} ≥ Θ$ für alle $x ∈ M$.
 \end{lemma}
+
 \begin{bemerkung-nn}
     Mit $\Theta  = 1$ geht es nicht immer. Gegenbeispiel: Sei $X = C[0,1] ∩ \{ x(0) =
     0 \}$ und  $M = \{ x ∈ X : g∫_0^1 x(t) dt = 0 \}$.
@@ -1442,7 +1478,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{satz}
-    7.7
+    Sei $X$ ein normierter Raum. Dann besitzt $X$ genau dann die Heine"=Borel"=Eigenschaft, wenn $\dim X < ∞$ ist.
 \end{satz}
 \begin{proof}
     „⇐“ war Korollar 7.4.
@@ -1474,6 +1510,8 @@ Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch
 \end{proof}
 
 
+
+
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "funkana-ebook"