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--- a/ch02-topologie.tex
+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -173,11 +173,12 @@
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{definition}[Homöomorphismus]
     \index{Homöomorphismus}
+    \index{isomorph!topologisch}
     \label{defi:homoeomorphismus-2.1.8}
 	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig,
 	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
 	dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}.
-	$X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus
+	$X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph} oder \emph{topologisch isomorph}, falls so ein Homöomorphismus
 existiert.
 \end{definition}
 \begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
@@ -237,13 +238,13 @@ existiert.
 \end{beispiel-nn}
 \begin{definition}[Produkttopologie]
     \index{Topologie!Produkt-}
-	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
-	Dann ist die Familie von Mengen
+    Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
+    Dann ist die Familie von Mengen
     \[
-	\{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y}
+        \{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y}
     \]
-	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
-	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
+    eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
+    Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
 \end{definition}
 \section{Metrische Räume}
 \index{Raum!metrischer}
@@ -325,7 +326,7 @@ existiert.
     Dann sind $B_{δ/2}(x)$ und $B_{δ/2}(y)$ disjunkte Umgebungen von $x$ bzw $y$:
     Sei $z ∈ B_{δ/2}(x)$. Dann ist
     \[
-        d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac δ 2 = \frac δ 2.
+        d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac {δ} 2 = \frac {δ} 2.
     \]
 \end{proof}
 \begin{lemma-nn}[Eigenschaften metrischer Räume]
@@ -343,9 +344,7 @@ existiert.
     \item
         Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $\epsilon  > 0$ existiert mit $B_\epsilon (x_0) ⊂ M$.
     \item
-        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel
-$B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂
-B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
+        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel $B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
     \item
         Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume.
         Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik
@@ -396,7 +395,6 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
     \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites}
     Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
 \end{bemerkung}
-
 \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
 \label{sec:vollst-metr-raum}
 \begin{definition}[Cauchy-Folge]
@@ -412,7 +410,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
     Sei etwa $\lim_{n→∞} x_n = x$. Sei $ε > 0$.
     Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $x$ konvergiert, gibt es $N ∈ ℕ$ mit $d(x_n,x)< ε/2$ für alle $n ≥ N$, also mit der Dreiecksungleichung
     \[
-        ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε.
+        ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac {ε} 2 + \frac {ε} 2 = ε.
     \]
 \end{proof}
 \begin{definition}[vollständiger metrischer Raum]
@@ -542,22 +540,21 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung:
         Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
         Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
     \item
-        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
-        $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
+        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen.
+        Dann ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
     \item
-        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
-        $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
-        \ne \emptyset$.
+        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$.
+        Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ \ne \emptyset$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 \begin{proof}
     \begin{enumerate}
     \item
-        Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
-        \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
-        $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
-        und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
-        Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
+        Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer.
+        Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne \emptyset$.
+        Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik $d$.
+        Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$.
+        Wir wählen nun induktiv Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
         Eigenschaften:
         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item
@@ -565,37 +562,31 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung:
         \item
             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
         \end{enumerate}
-        Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
-        ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
-        B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
-        \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
-        dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
-        konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
-        N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
+        Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht.
+        Für $m \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist.
+        Damit konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$.
+        Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > N$.
+        Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
         \begin{align*}
-          x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
-          & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
-          \end{align*}
+            x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
+            & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
+        \end{align*}
         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
 
-        Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
-        $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
-        mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
-        $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
+        Sei Nun $X$ lokalkompakt.
+        Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$.
+        Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$.
+        Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
         \item
             $B_k ⊂ B_{k-1}$
         \item
             $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
         \end{enumerate}
-        Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
-        der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
-        nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
-        eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
-        Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
-        $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
-        Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
-        abgeschlossen, somit folgt 
+        Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und nichtleer.
+        Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
+        Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
+        Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ abgeschlossen, somit folgt 
         \[
             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
         \]
@@ -608,10 +599,10 @@ Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung:
             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
         \]
     \item
-        Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
-        dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
-        somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
-        ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
+        Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$.
+        Dann ist $U_n$ offen und dicht.
+        Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und somit insbesondere nicht leer, ist.
+        Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
     \item
         Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
     \end{enumerate}