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+\chapter{Topologische lineare Räume}
+Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorherigen beiden Kapiteln, also die Topologie und den linearen Raum zusammenzuführen.
+\begin{definition}
+    Ein linearer Raum $X$ über dem Körper $\K$ mit Topologie $\T$ heißt \emph{topologischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen ($+ : X×X → X$ und $\cdot: \K×X → X$) stetig sind.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden.
+    Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\section{Normierte Räume}
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
+    heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha  ∈ K$ gilt:
+    \begin{enumerate}
+    \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit)
+    \item
+        $\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$ (Homogenität)
+    \item
+        $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ (Dreiecksungleichung)
+    \end{enumerate}
+    $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Durch $d(x,y) \coloneq \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum.
+    Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}.
+
+    Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiele}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < \infty $ ist ein normierter Raum,
+        genauso wie mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
+        Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen.
+        Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen.
+    \item
+        Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum.
+        Außerdem wird durch
+        \[
+            \norm x \coloneq ∫_a^b |x(t)| dt
+        \]
+        ebenfalls eine Norm definiert.
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit
+        \[
+            \norm{x}_{\infty } \coloneq \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)|
+        \]
+        auch zu einem normierten Raum.
+    \item
+        $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit 
+        \[
+            \norm x \coloneq \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p}
+        \]
+        ein normierter Raum, wobei $1 \le p < \infty $.
+    \item
+        $\ell^p$ mit
+        \[
+            \norm x _{p} \coloneq \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
+        \]
+        ist ebenfalls ein normierter Raum, wobei $1 \le p < \infty $.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiele}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Für beliebige Folgen $(x_n)_{n ∈ ℕ},(y_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (\alpha _n)_{n ∈ ℕ}$ mit $\lim x_n = x$, $\lim y_n = y$, $\lim \alpha _n = \alpha $ gelten
+    \[
+        \norm{(x_n + y_n) - (x+y)} \le \norm{x-x_n} + \norm{y -y_n}
+    \]
+    sowie
+    \[
+        \norm{\alpha _nx_n - \alpha x} \le |\alpha _n| \norm{x_n-x} + \norm{x} |\alpha _n - \alpha |
+    \]
+    und
+    \[
+        |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x}
+    \]
+    nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
+    Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Jeder normierte Raum versehen mit der Normtopologie ist ein topologischer linearer Raum.
+    Deshalb ist auch keine Unterscheidung zwischen normierten Räumen und normierten topologischen linearen Räumen nötig.
+\end{korollar}
+
+\section{Topologische lineare Räume}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Hierbei sei stets die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie.
+    Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $\alpha  ⊂ \K$ nun
+    \[
+        M_1 + M_2 \coloneq s(M_1,M_2) \coloneq \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\},
+    \]
+    \[
+        A \cdot M \coloneq m(A,M) \coloneq \{ \alpha x: \alpha  ∈ A, x ∈ M\}.
+    \]
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{lemma}
+    Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item Die Addition $s$ ist stetig.
+    \item
+        Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    $s$ ist stetig in $(x,y)$ genau dann, wenn zu jeder Umgebung $O_{x,y} ∈ \T_X$
+    von $(x,y)$ existiert eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$.
+    Nach Definition der Produkttopologie existieren dann Umgebungen $O_x ∈ \U_x$ und $O_y ∈ \U_y$ mit $O_x × O_y ⊂ U$.
+    Damit ist
+    \[
+        O_x + O_y = s(O_x, O_y) = s(O_x × O_y) ⊂ s(U) ⊂ O_{x+y}.
+    \]
+    Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation:
+\end{proof}
+\begin{lemma}
+    Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item Die Addition $m$ ist stetig.
+    \item
+        Für beliebiges $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{\alpha x} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_\alpha  ∈ \T$ von $y$ mit $O_\alpha  × O_x ⊂ O_{\alpha x}$.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $\alpha =0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also:
+Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass
+\[
+    ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0.
+\]
+Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
+\begin{korollar}
+    Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
+    \[
+       β_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
+    \]
+\end{korollar}
+
+\begin{definition-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator
+        \[
+            T_{x_0} \coloneq X → X, x ↦ x + x_0.
+        \]
+    \item
+        Zu $\alpha _0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator
+        \[
+            M_{\alpha _0} \coloneq X → X, x ↦ \alpha _0\cdot x.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{definition-nn}
+
+\begin{lemma}
+    Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Das ist klar.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[Invarianzprinzip]
+    Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Das ist klar.
+\end{proof}
+
+\section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume}
+\begin{definition}
+    Eine Metrik $d: X × X → ℝ$ auf einem linearen Raum $X$ heißt \emph{translationsinvariant}, falls gilt:
+    \[
+        ∀x,y,z ∈ X: d(x,y) = d(x+z, y+z),
+    \]
+    oder äquivalent dazu:
+    \[
+        ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0).
+k    \]
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn!
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}
+    Ein metrischer Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Mertik $d$ heißt \emph{metrischer linearer Raum}, falls
+    die Vektorraumoperationen stetig sind (in der von der Metrik induzierten Topologie).
+\end{definition}
+
+
+\begin{lemma}
+    Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter metrik, dann ist die Addition immer stetig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$  und $\lim d(y_n,y) = 0$.
+    Dazu ist
+    \[
+        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
+    \]
+\end{proof}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik
+    \[
+        d(x,y) \coloneq \min\{ 1, \sup_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}.
+    \]
+    Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist.
+\end{beispiel-nn}
+Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $\epsilon -\delta$ -Kriterium)
+\[
+    ∀\epsilon  > 0 ∃ \delta  > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: 
+    \begin{rcases}
+        |β - \alpha | < r \\
+        d(x,y) < \delta 
+    \end{rcases}
+    \implies d(βy,\alpha x) < \epsilon 
+\]
+
+
+\begin{lemma}
+    \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
+    Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $\alpha  ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (\alpha _n)_{n ∈ ℕ)} ⊂ \K$ gilt
+    \begin{gather*}
+        \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
+        \alpha x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0 \\
+        \alpha _nx_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0
+    \end{gather*}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    „$⇒$”: Skalare Multiplikation ist im metrischen linearen Raum stetig, also folgen die Aussagen sofort.
+
+    „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen
+    \[
+        \begin{rcases}
+            \alpha _n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha  ∈ \K \\
+            x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} x ∈ X
+        \end{rcases}
+    \implies \alpha _n x_n \xrightarrow[n → \infty ]{} \alpha x.
+    \]
+
+    Sei dazu $z_n \coloneq x_n - x ∈ X$, $γ_n \coloneq \alpha _n - \alpha  ∈ \K$. Dann ist
+    \[
+        γ_n z_n + γ_n x + \alpha  z_n = (\alpha _n - \alpha )(x_n-x) + (\alpha _n-\alpha ) x + \alpha (x_n-x)
+        = \alpha _n x_n - \alpha ×.
+    \]
+    Somit ist
+    \begin{align*}
+        d(\alpha _nx_n,\alpha x) &= d(\alpha nx_n - \alpha x,0) = d(γ_nz_n + γnx + \alpha z_n, 0) \\
+        &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} +
+\underbrace{d(\alpha z_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → \infty } 0.
+    \end{align*}
+    Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir  fertig.
+\end{proof}
+
+
+\begin{definition}
+    Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen
+    Raum $X$, falls gilt:
+    \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)]
+    \item
+        $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
+    \item
+        $|-x| = |x|$ für alle $x ∈ X$
+    \item
+        $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$
+    \item
+        $|\alpha x_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $\alpha  ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
+    \item
+        $|\alpha _nx| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ für $x ∈ X$, falls $|\alpha _n| → 0$
+    \item
+        $|\alpha _nx_n| \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|\alpha _nx_n| → 0$
+    \end{enumerate}
+    $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) \coloneq |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht.
+    \item
+        Ist $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum mit translationsinvarianter Metrik $d$, so ist
+        $(X,|\cdot|)$ mit $|x| \coloneq d(x,0)$ ein quasi-normierter Raum.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Das folgt direkt aus den Axiomen und \cref{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}.
+\end{proof}
+
+
+Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
+
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein linearer Raum.
+    Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt:
+    \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)]
+    \item
+        $∀x ∈ X: p(x) \ge 0$ (positiv)
+    \item
+        $∀ x ∈ X, \alpha  ∈ \K: p(\alpha x) = |\alpha | p(x)$ (Homogenität)
+    \item
+        $∀ x, y ∈ X: p(x+y) \le p(x) + p(y)$ (Dreiecksungleichung)
+    \end{enumerate}
+    $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung}
+    Jeder semi-normierte Raum $(X,p)$ erzeugt einen normierten Raum $(X/N,p)$, wobei $N = \{ x ∈ X: p(x) = 0\}$ ein linearer Unterraum ist.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    \label{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}
+    Es seien $p_n: X → ℝ, n ∈ ℕ$ abzählbar viele Semi-Normen auf einem linearen Raum mit der Eigenschaft
+    \begin{equation}
+        p_n(x) = 0  \text{ für alle n ∈ ℕ } \implies x = 0. \label{eq:seminorm-folge-blub}
+    \end{equation}
+    Dann ist
+    \[
+        d(x,y) \coloneq \sum_{n = 1}^\infty  2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+    \]
+    eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht.
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+    $p_n: X → ℝ$ sind auf $(X,d)$ stetig. Das folgt aus (für $x_i → x_0$ in $X$)
+    \[
+        |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \xrightarrow{} 0
+    \]
+    und einer Übungsaufgabe.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    \label{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}
+    Sei $(X,d)$ der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gegebene metrische lineare Raum (mit der von der Metrik erzeugten Topologie).
+    Dann bilden die Mengen ($\epsilon _n > 0$)
+    \[
+        U (p_n,\epsilon _n) \coloneq \bigcup B^{p_n}_{\epsilon _n}(0)
+        = \{ x ∈ X: p_n(x) < \epsilon _n\}
+    \]
+    und deren endliche Durchschnitte eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Nach dem Invarianzprinzip ist damit durch $\bigcup B^{p_n}_{\epsilon _n}$ die ganze Topologie bestimmt.
+    Mit anderen Worten: Die Topologie welche über die Metrik bestimmt ist, ist dieselbe wie die, welche von den
+    $U(p_n,\epsilon _n)$ und endlichen Schnitten davon erzeugt wird.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{proof}[\cref{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}]
+    Zunächst ist $U (p_n,\epsilon _n) ∈ \T$:
+    Sei $n ∈ ℕ$  und $\epsilon _n > 0$ fest und $y ∈ U(p_n,\epsilon _n)$ beliebig gegeben.
+    Dann ist $p_n(y) < \epsilon _n$. Dann wähle $ρ = ρ(y) > 0$, so dass $p_n(y) + ρ < \epsilon _n$.
+    Dann gilt für $r \coloneq 2^{-n} \frac{ρ}{1+ρ} > 0$:
+    \[
+        x ∈ B_r(y) \implies p_n(x+r) < ρ.
+    \]
+    Dazu ist 
+    \[
+        \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} \le 2^n \underbrace{d(x,y)}_{< r} < 2^n r = \frac{ρ}{1+ρ},
+    \]
+    also $p_n(x-y) < ρ$. Mit diesem $r$ gilt $B_r(y) ⊂ U(p_n,\epsilon _n)$:
+    Sei $x ∈ B_r(y)$. Dann gilt
+    \[
+        p_n(x) \le \underbrace{p_n(x-y)}_{< ρ} + p_n(y) < p_n(y) + ρ = \epsilon _n
+    \]
+    wie gewünscht.
+    
+
+    Sei $ B_r(0), r > 0$ gegeben.
+    Wähle $n_0 ∈ ℕ$ mit
+    \[
+        \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < \frac r 2.
+    \]
+
+    mit $\epsilon  \coloneq \frac r 2 $ gilt dann
+    \[
+        \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_(,\epsilon ) ⊂ B_r(0).
+    \]
+    Sei dazu $x ∈ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_n,\epsilon )$ beliebig.
+    Dann ist
+    \[
+        d(x,0) \le \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} + \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < \epsilon  \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} + \frac r 2 < \epsilon  + \frac r 2 = r,
+    \]
+    somit also $x ∈ B_r(0)$.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+    Die Mengen $U(p_n,\epsilon _n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt
+    \[
+        x, y ∈ U(p_n,\epsilon _n),\alpha  ∈ [0,1] \implies \alpha x+(1-\alpha )y ∈ U(p_n,\epsilon _n)
+    \]
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+    Es ist
+    \[
+        p_n(\alpha x + (1-\alpha )y) \le |\alpha | \underbrace{p_n(x)}_{< \epsilon _n} + |1-\alpha |\underbrace{p_n(y)}_{< \epsilon _n} = \epsilon _n.
+    \]
+\end{proof}
+
+Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis von $0$, die nur aus konvexen elementen besteht.
+
+\begin{definition}
+    Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$, in dem jedes $x ∈ X$ eine Umgebungsbasis besitzt, die nur aus konvexen Mengen besteht, heißt \emph{lokalkonvex}.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $X$ ein linearer Raum mit Semi-Normen $p_i, i ∈ I$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist, mit der Eigenschaft
+    \[
+        p_i(x) = 0 \text { für alle } i ∈ I \implies x = 0.
+    \]
+    Dann sind die Mengen
+    \[
+        U(p_i,\epsilon _i) = \{ x ∈ X: p_{(x) < \epsilon _i}\}, \quad \epsilon _i > 0, i ∈ I
+    \]
+    und deren endliche Schnitte eine konvexe Umgebungsbasis von $0 ∈ X$.
+    Die dadurch gewonne Topologie $\T$ macht $X$ zu einem \emph{lokalkonvexen Hausdorff"=Raum}.
+\end{satz}
+
+\section{Beispiele}
+Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit untersuchen.
+
+\begin{definition}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet"=Raum}.
+    \item
+        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach"=Raum}.
+
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume]
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < \infty $ ist normierter Raum mit
+        \[
+            \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^\infty  |x_i|^p \right)^{1/p}.
+        \]
+    \item 
+        $(\ell^\infty ,\norm\cdot_\infty)$, ist normierter Raum mit $\norm x _\infty  = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
+    \item 
+        $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung}
+    Für $0 < p < q \le \infty $ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^\infty $.
+\end{bemerkung}
+\begin{beweis}
+    Sei $x ∈ \ell^p$ mit $|x| = 1 = \sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^p$.
+    Dann ist für alle $i ∈ ℕ$ $|x_i|^p \le 1$, also auch $|x_i| < 1$.
+    Dann folgt auch $\sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^q < 1$, also $x ∈ \ell^q$ und $\sup_{i ∈ ℕ} |x_i| \le 1$, also $x ∈ \ell^\infty $.
+\end{beweis}
+
+
+\begin{satz}
+    Für $1 \le p \le \infty $ ist $(\ell^p,\norm\cdot_p)$ ein Banachraum.
+    Für $0 < p < \infty $ ist $(\ell^p,|\cdot|_p)$ ein Fréchet-Raum.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Nur für $1 \le p < \infty $.
+    Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$  eine Cauchy-Folge, also
+    $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $\epsilon  > 0$ gibt es ein $n_0$ mit
+    \[
+        ∀n,m > n_0: \norm{x_n-x_m}_p = \left( \sum_{k=1}^\infty  |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < \epsilon .
+    \]
+    Sei $k_0 ∈ ℕ$ beliebig. Dann ist $(ξ_k^n)_{n ∈ ℕ}$
+    eine Cauchy-Folge in $\K$, besitzt also einen Grenzwert $ξ_{k_0}$.
+    Setze nun $x \coloneq (ξ_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \K^\infty  = s$. Wir vermuten $x$ als Grenzwert unserer Cauchy-Folge.
+    Also müssen wir zeigen, dass $x ∈ \ell^p$, und dass unsere Folge tatsächlich gegen $x$ konvergiert.
+
+    Es gilt
+    \[
+        \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< \epsilon } + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
+    \]
+    Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n|p < \sum_{k =1}^\infty  |ξ_k^n|^p \le M^p < \infty .
+    \]
+    Also haben wir
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^p| \le M^p \quad ∀ n ∈ ℕ,
+    \]
+    also durch Grenzwertbildung $N → \infty $ auch $\norm{x}_p^p \le M^p$ bzw. $x ∈ \ell^p$.
+
+
+    Ferner haben wir
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n-ξ_k^m|^p < \epsilon ^p \quad ∀ N ∈ ℕ, n, m \ge n_0(\epsilon ).
+    \]
+    Für $n → \infty $ folgt
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k-ξ_k^m|^p < \epsilon ^p \quad ∀N ∈ ℕ, m \ge n_0, 
+    \]
+    und mit $N → \infty $
+    \[
+        \sum_{k=1}^\infty  |ξ_k-ξ_k^m|^p < \epsilon ^p \quad ∀m \ge n_0, 
+    \]
+    also die Konvergenz.
+\end{proof}
+\begin{beispiel-nn}
+    Betrachte den Folgenraum $S = \K^\infty  = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$.
+    Dann ist 
+    \[
+        p_n(x) \coloneq |ξ_n|, \quad p_n: \K^\infty  → ℝ
+    \]
+    eine abzählbare Familie von Halbnormen mit
+    \[
+        p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^\infty 
+    \]
+    Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^\infty , d)$ mit
+    \[
+        d(x,y) \coloneq \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+    \]
+    ein metrischer linearer Raum ist.
+    Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt
+    \begin{align*}
+        x_k \xrightarrow[k→\infty ]{} 0
+        &\gdw d(x_n,0) \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 \\
+        &\gdw p_n(x_k) \xrightarrow[k→\infty ]{} ∀ n ∈ ℕ \\
+        &\gdw |ξ_n^k| \xrightarrow[k→\infty ]{} 0 ∀ n ∈ ℕ.
+    \end{align*}
+
+    Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^\infty $  auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht.
+    Also
+    \[
+        x_k \xrightarrow[k → \infty ]{\text{glm}} 0 ∈ \K^\infty  \gdw ∀\epsilon  > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < \epsilon  ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ.
+    \]
+    Wenn $\K^\infty $ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x  ∈ \K^\infty $
+    \[
+        \alpha _k \xrightarrow[k → \infty ]{} 0 \text{ in } \K \implies \alpha _k x \xrightarrow[k→\infty ]{} \text{ in } X = \K^\infty .
+    \]
+    Wähle dazu die Nullfolge $(\alpha _k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist
+    \[
+        \alpha _k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^\infty 
+    \]
+    zwar eine Nullfolge in $\K^\infty$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$.
+    Man kann zeigen, dass $\K^\infty $ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist.
+    Ist $\K^\infty $ auch normierbar?
+    Also gibt es auf $\K^\infty $ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$?
+    Auch  das ist nicht möglich:
+\end{beispiel-nn}
+\begin{lemma}
+    \label{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme}
+    In $(\K^\infty ,d)$ gilt:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $B_1(0) = \K^\infty $
+    \item
+        Betrachte den linearen Unterraum $M_{n_0} \coloneq \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $ξ_n = 0$ für $n = 1,…,n_0 \}$.
+        Dann gibt es für jeden Radius $r > 0$  ein $n_0 ∈ ℕ$, so dass $M_{n_0} ⊂ B_{r}(0)$.
+        Das heißt, jede noch so kleine Metrikkugel enthält einen nichttrivialen Unterraum.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Das ist trivial.
+    \item
+        Sei $r > 0$ gegeben.
+        Wähle nun $n_0$, so dass $\sum_{n=n_0+1}^\infty  2^{-n} < r$.
+        Dann gilt
+        \[
+            ∀ x ∈ M_{n_0}: d(x,0) =
+            \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} =
+            \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} \le
+            \sum_{n=n_0}^\infty  2^{-n} < r.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Wäre nun die Topologie auf $(\K^\infty ,d)$ nun auch von einer Norm erzeugt, dann wären die Normkugeln
+\[
+    B_r^{\norm\cdot}(0) = \{ x ∈ \K^\infty : \norm x < \tilde r \}
+\]
+auch eine Umgebungsbasis der Null.
+Das heißt insbesondere würden wir zu jedem $\tilde r$ ein $r$ finden, so dass $0 ∈ B_r^d(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot} (0)$.
+Mit \cref{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme} folgt also
+\[
+    M_{n_0} ⊂ B_r(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot}(0)
+\]
+für ein geeignetes $n_0$.
+Sei nun ein $0  \ne x ∈ M_{n_0}$. Dann ist, da $M_{n_0}$ ein Unterraum ist, auch $\alpha x ∈ M_{n_0}$ für alle $\alpha  ∈ \K$.
+Das heißt,
+\[
+    |\alpha | \cdot \norm x = \norm{\alpha x} < \tilde r \text{ für alle } \alpha  ∈ \K,
+\]
+was bereits $\alpha  = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
+
+
+\begin{beispiel-nn}[Räume beschränkter Funktionen]
+    Sei $S$  eine beliebige Menge und $B(S) \coloneq \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$.
+    Dann wird $B(S)$ mit
+    \[
+        \norm f _{B(S)} \coloneq \sup_{x ∈ S} |f(x)| < \infty ,
+    \]
+    der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum.
+    Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{lemma-nn}
+    \label{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $Y ⊂ X$. Es gilt
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Wenn $(X,d)$ vollständig ist und $Y$ abgeschlossen, dann ist auch $(Y,d|_{Y×Y}$ vollständig.
+    \item
+        Wenn $(Y,d|_{Y×Y}$ vollständig ist, so ist $Y$ abgeschlossen in $(X,d)$.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma-nn}
+\begin{proof}
+    Übungsaufgabe.
+\end{proof}
+
+
+\begin{beispiel-nn}[Räume stetiger Funktionen]
+    Sei $K ⊂ ℝ^n$ kompakt, also nach Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt.
+    Dann ist
+    \[
+        C(k) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \}
+    \]
+    ein normierter Raum mit
+    \[
+        \norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{\infty } = \max_{t ∈ K} |f(t)|,
+    \]
+    der Maximumsnorm.
+    Dieses Maximum wird tatsächlich immer angenommen, da $K$ kompakt ist (Satz von Minimum und Maximum).
+    Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf  $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$.
+    Da jede stetige Funktion auf kompakten Teilmengen von metrischen Räumen auch gleichmäßig stetig ist, das heißt
+    \[
+        ∀ \epsilon  > 0 ∃ \delta  > 0: \left( |t_1-t_2| < \delta  \implies |f(t_1)-f(t_2)| < \epsilon  \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K
+    \]
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{lemma}
+    $C(K)$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $(B(K), \norm\cdot_{B(K)})$ und somit insbesondere auch (mit \cref{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen}) vollständig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine konvergente (in $(B(K),\norm\cdot_{B(K)})$) Folge in $C(K)$.
+    Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → \infty ]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$.
+    Wir müssen zeigen, dass $f$ bereits stetig ist.
+    Für beliebige $t₁, t_2 ∈ K$ gilt
+    \[
+        |f(t_1)-f(t_2) | \le \underbrace{|f_i(t_1)-f_i(t_2)|}_{< \epsilon /3 \text{ für } |t_1-t_2| < \delta ^{(i)}(\epsilon )} + 2 \underbrace{\norm{f_i - f}_{B(K)}}_{< \epsilon /3 \text{ für } i > i_0}  < \epsilon .
+    \]
+    Damit ist $f$ auch gleichmäßig stetig, also insbesondere auch stetig und in $C(K)$.
+\end{proof}
+Das heißt, die Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(K)$ überträgt sich auf die Grenzfunktion und Konvergenz in $(C(K),\norm\cdot_{\infty })$ ist „gleichmäßig auf $K$“.
+Wegen  dieser Eigenschaft ist die Maximumsnorm $\norm\cdot_\infty $ auch die natürliche Norm auf $C(K)$.
+Andere mögliche Normen (und damit andere Topologien) auf $C(K)$ wären z.B.
+\[
+    \norm{f}_p = \left(  \int_K |f(t)|^p dt \right)^{1/p}, \quad 1 \le p < \infty .
+\]
+Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit für die Grenzfunktion.
+
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und analog
+    \[
+        C(\Omega) \coloneq \{ f: \Omega → \K, f \text { stetig }\}.
+    \]
+    Hier können Funktionen aber auch unbeschränkt sein. Also braucht $\sup |f|$ nicht mehr zu existieren.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}
+    Es sei $(K_m)_{m ∈ ℕ}$ eine \emph{Ausschöpfung} von $\Omega$ mit kompakten Mengen $K_= ⊂ \Omega$, das heißt, es gelte
+    \[
+        \begin{cases}
+            \Omega = \bigcup_{m ∈ ℕ} K_m, \quad K_m ⊂ K_{m+1}, \\
+            K ⊂ \Omega \text { kompakt } \implies K ⊂ K_m \text { f ür ein } m ∈ ℕ
+        \end{cases}
+    \]
+\end{definition}
+Man nehme z.B.
+\[
+    K_m = \{ x ∈ \Omega ⊂ ℝ^n: \norm{x} \le m, \operatorname{dist}(x,∂\Omega) \ge 1/m\},
+\]
+wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) \coloneq \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$.
+
+Dann ist $C(\Omega)$ mit der Metrik
+\[
+    d(f,0) = \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{\norm{f}_{C(K_m)}}{1+\norm{f}_{C(K_m)}}
+\]
+ein Fréchetraum, also ein metrisierbarer linearer Raum nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, da
+\[
+    \norm{f}_{C(K_m)} = 0 ∀ m ∈ ℕ \implies f = 0 ∈ C(\Omega).
+\]
+
+Es gilt in diesem Raum
+\[
+    d(f_i,f) \xrightarrow[i → \infty ]{} 0 \gdw
+    \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → \infty ]{} ∀m  ∈ ℕ,
+\]
+was ja gerade gleichmäßige Konvergenz auf jeder Kompakten Menge $K ⊂ \Omega$ bedeutet.
+Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion $f ∈ C(\Omega)$, da Stetigkeit nur eine lokale Eigenschaft ist.
+
+Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)}$ nicht normierbar ist.
+
+\begin{beispiel-nn}[Räume differenzierbarer Funktionen]
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Betrachte die Menge $C^\ell(K) = \{ f: K → ℝ, D^\alpha  f$ existiert und ist stetig für$|\alpha | < \ell \}$ der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf einer kompakten Menge $K ⊂ ℝ^n$ mit $\ell ∈ ℕ_0$
+        Dabei ist $\alpha  = (\alpha _1,…,\alpha _n) ∈ ℕ_0^n$ ein Multiindex, $|\alpha | = \sum_{i=1}^n \alpha _i$ und
+        \[
+            D^\alpha  f = \frac{∂^{|\alpha |} f}{∂x_1^{\alpha _1}\cdots∂x_n^{\alpha _n}}.
+        \]
+        Dann wird $C^\ell(K)$ mit der Norm
+        \[
+            \norm{f}_{C^\ell(K)} = \max_{|\alpha | \le l} \max_{x ∈ K} | D^\alpha  f(x)|
+        \]
+        zu einem Banachraum. Die meisten Eigenschaften sind klar, die Vollständigkeit folgt unmittelbar aus der Vollständigkeit von $C(K)$
+        Konvergenz in $C^\ell(K)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf ganz $K$.
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und
+        $\C^\ell(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^\alpha  f$ existiert und ist stetig für$|\alpha | < \ell \}$
+        der Raum der $\ell$-mal stetig differenzierbaren Funtktionen auf $\Omega$ mit $\ell ∈ ℕ_0$.
+        $C^\ell(\Omega)$ wird mit der Metrik
+        \[
+            d(f,g) \coloneq \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m,l}(f-g)}{1+p_{m,l}(f-g)}, \quad p_{m,l}(f) = \max_{|\alpha | \le \ell} \norm{D^\alpha  f}_{C(K_m)},
+        \]
+        wobei die $K_m$ Ausschöpfungen von $\Omega$ mit kompakten Mengen sind, zu einem Fréchetraum.
+        Konvergenz in $C^\ell(\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $\ell$ auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
+        Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$.
+    \item
+        Wir betrachten nun einige Unterräume von $\C^\ell(\Omega)$:
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+        $\C^\ell_B(\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^\alpha  f$ existiert, ist beschränkt und ist stetig für$|\alpha | < \ell \}$
+        wird zum normierten Raum mit 
+        \[
+            \norm{f}_{C^\ell_B(\Omega)} = \max_{|\alpha | \le l} \sup_{x ∈ \Omega} | D^\alpha  f(x)|
+        \]
+        Zwar gilt $C^\ell_B(\Omega) ⊂ C^\ell(\Omega)$ (als Mengen), jedoch besitzt $C^\ell_B(\Omega)$ nicht die Relativtopologie von $\C^\ell(\Omega)$, wie wir in einer Übung sehen werden.
+        \begin{definition}
+            \begin{enumerate}
+            \item 
+                Für $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $f: \Omega → ℝ$ heißt
+                \[
+                    \supp f \coloneq \cl{ \{ x ∈ \Omega, f(x) \ne 0 \}}
+                \]
+                der \emph{Träger} oder \emph{Support} von $f$.
+            \item
+                Wir sagen für eine Menge $M ⊂ \Omega$ \emph{$M$ liegt kompakt in $\Omega$}, wenn $\cl M $ kompakt ist und $\cl M ⊂ \Omega$. Wir schreiben dafür $M ⊂⊂ \Omega$.
+            \end{enumerate}
+        \end{definition}
+    \item
+        $C_0^\ell(\Omega) = \{ f ∈ C^\ell(\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$
+        Funktionen mit $\supp f ⊂⊂ M $ haben Luft zum Rand von $\Omega$:
+        \[
+            \operatorname{dist}(\supp(f), ∂\Omega) > 0,
+        \]
+        denn sowohl $\supp f$ als auch $∂\Omega$ sind abgeschlossen.
+        Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Topologien für $C_0^\ell(\Omega)$ zu wählen:
+        \begin{enumerate}
+        \item
+            $C_0^\ell(\Omega) ⊂ C^\ell(M)$ mit Spurtopologie von der Metrik.
+        \item
+            $C_0^\ell(\Omega) ⊂ C_B^\ell(M)$ mit Spurtopologie von der Norm.
+        \end{enumerate}
+        Diese Topologien sind jedoch nicht identisch.
+        \end{enumerate}
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und 
+        $C^\infty (\Omega) = \{ f: \Omega → ℝ, D^\alpha f $ existiert und ist stetig für alle $\alpha  ∈ ℕ_0^n \} = \bigcap_{\ell ∈ ℕ}C^\ell(\Omega)$.
+        Wir definieren die Topologie wieder über eine Metrik durch Seminormen
+        \[
+            d(f,g) \coloneq \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{p_{m}(f-g)}{1+p_{m}(f-g)}, \quad p_{m}(f) = \max_{|\alpha | \le m} \norm{D^\alpha  f}_{C(K_m)}.
+        \]
+        Mit dieser Metrik wird $C^\ell(\Omega)$ zum Fréchetraum.
+        Konvergenz in $C^\infty (\Omega)$ bedeutet gerade gleichmäßige Konvergenz aller partiellen Ableitungen auf jedem Kompaktum, das in $\Omega$ enthalten ist.
+        Auch dieser Raum ist nicht normierbar mit einem analogem Argument wie bei den stetigen Funktionen auf $\Omega$.
+    \item
+        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und $C_0^\infty (\Omega) = \{ f ∈ C^\infty (\Omega) : \supp f ⊂⊂ M \}$ der \emph{Raum der Testfunktionen}.
+        Ein Beispiel für so eine Funktion ist
+        \[
+            f(x) =
+            \begin{cases}
+                c \exp \left( - \frac{1}{{1-|x|^2}} \right), & |x| < 1 \\
+                0, & |x| \ge 1
+            \end{cases},
+        \]
+        wobei $\Omega = B^{\norm\cdot_\infty}_2(0)$, $|\cdot| = \norm\cdot_2$ und $c ∈ ℝ$ konstant.
+        Offensichtlich ist $C_0^\infty (\Omega) ⊂ C^\infty (\Omega)$.
+        Wenn man auf $C_0^\infty (\Omega)$ jedoch die Spurtopologie wählt, bekommt man später Probleme (bestimmte Funktionale auf $C_0^\infty (\Omega)$ sind nicht mehr stetig, wie wir in einer Übungsaufgabe sehen werden.
+        Man nennt Funktionale auf $C_0^\infty (\Omega)$ auch Distributionen).
+        Außerdem wäre der $C_0^\infty (\Omega)$ mit dieser Metrik nicht vollständig -- der Träger der Grenzfunktion muss nicht mehr beschränkt sein.
+        \begin{definition-nn}
+            Sei $M ⊂ X$ und $X$ ein linearer Raum. Dann heißt
+            \[
+                \conv (M) \coloneq \{ x: ∃\alpha _i > 0, x_i ∈ M, i ∈ \{1,…,k\}: \sum_{i=1}^k \alpha _i = 1, \sum_{i=1}^k \alpha _i x_i = x \}
+            \]
+            die \emph{konvexe Hülle} von $M$.
+        \end{definition-nn}
+        Aus Gründen, die erst später zu verstehen sind, wählt man auf $C^\infty _0(\Omega)$ folgende lokalkonvxe Topologie:
+        Setze
+        \[
+            p(\xi) \coloneq \sum_{k ∈ ℕ} 2^{-k} \frac{\norm \xi _{C^k(\Omega)}}{1 + \norm \xi _{C^k(\Omega)}}, \quad \xi ∈ C_0^\infty (\Omega)
+        \]
+        Sei $(D_j)_{j ∈ ℕ}$ eine Ausschöpfung von $\Omega$ mit offenen Mengen, also $D_j ⊂ D_{j+1}, D_j ⊂⊂ \Omega, \bigcup_{j ∈ ℕ} D_j = \Omega$.
+        Eine mögliche Wahl wäre beispielsweise $D_j = K_j^\circ$, wobei die $K_j$ wie oben sind.
+        Für $\epsilon  = (\epsilon _j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , \epsilon _j > 0$ für alle $ℕ$ definieren wir eine Umgebungsbasis der $0 ∈ C_0^\infty (\Omega)$  durch alle Mengen
+        \[
+            U_\epsilon  \coloneq \conv \left[ \bigcup_{j ∈ ℕ}  \{ \xi ∈ C^\infty _0 : p(\xi) < \epsilon _j \} \right] ⊂ C_0^\infty (\Omega).
+        \]
+        mit $\epsilon  = (\epsilon _j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , \epsilon _j > 0$ und endliche Schnitte davon. Andere Umgebungen umgeben sich durch Translation.
+        Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^\infty (\Omega)$  auch $\D(\Omega)$.
+        Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist.
+        Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig.
+        \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$]
+            Es gilt
+            \[
+                O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon =(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , e_j > 0: e+U_\epsilon  ⊂ O.
+            \]
+            Das heißt, die Topologie $\T_\D$ und die Topologie
+            \[
+                \tilde T_\D = \{ O ⊂ C_0^\infty (\Omega): ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon  = (\epsilon _j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , \epsilon _j > 0: \epsilon + U_\epsilon  ⊂ O \}
+            \]
+            sind gleich.
+        \end{lemma}
+        \begin{proof}
+            Übung.
+        \end{proof}
+        \begin{korollar}
+            Die Mengen $U_\epsilon$ sind bereits eine Umgebungsbasis der Null.
+            Nach Definition sind sie aber auch Konvex, das heißt $(\D(\Omega),\T_\D)$ ist ein lokalkonvexer Hausdorff-Raum.
+        \end{korollar}
+        \begin{satz}
+            $ξ_m \xrightarrow[m → \infty ]{} 0 \gdw$
+            \[
+                \begin{cases}
+                    (i), & \text{Es existiert $D$ offen mit $D ⊂⊂ \Omega$ und
+                        $ξ_m ∈ C_0^\infty (D)$ für alle $m ∈ ℕ$} \\
+                    (ii), & \text{Für jedes $k ∈ ℕ$ gilt:
+                        $\norm{ξ_m}_{C^k(\cl{\Omega})} \xrightarrow[m → \infty ]{} 0$}
+                \end{cases}
+            \]
+        \end{satz}
+        \begin{proof}
+            Zeige nur „$\Leftarrow$“. Sei dazu $(ξ_m)_{m ∈ ℕ}$ eine Folge mit (i) und (ii). 
+            Wähle nun $D_j$ von oben mit $D ⊂ D_j$ ($j$ ist fest).
+            Sei nun $\epsilon =(\epsilon _i)_{i ∈ ℕ}, \epsilon _i > 0$ gegeben. Dann müssen wir zeigen, dass für alle $m > m_0$ schon $ξ_m ∈ U_\epsilon $  gilt.
+            Zunächst sind nach (i) $ξ_m ∈ C^\infty _0(D_j)$ .
+            Außerdem gilt
+            \[
+                p(\xi_m) \le \underbrace{\sum_{k=1}^N 2^{-k} \frac{ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} } {1+ \norm{\xi_m}_{C^k(\cl \Omega)} }}_{\text{wegen (i)} < \epsilon _j/2 \text{ für $m \ge m_0(\epsilon _j,N)$}}  + \underbrace{\sum_{k=N+1} 2^{-k}}_{<\epsilon _j/2 \text{ für $n$ groß genug}} < \epsilon _j.
+            \]
+        \end{proof}
+    \end{enumerate}
+    \end{beispiel-nn}
+    \begin{beispiel-nn}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]
+        Betrachten wir nun Lebesgue-integrierbare Funktionen.
+        Bereits eingeführt wurden die Räume $\L^p(\Omega)$ und $L^p(\Omega)$, $0 < p < \infty $, wobei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen.
+        Diese sind für $1 \le p < \infty $ normiert, und für $0 < p < 1$ quasi-normiert.
+        Für $p = \infty $ setzen wir
+        \[
+            \L^\infty (\Omega)  \coloneq \{ f: \Omega → ℝ ∪ \{ -\infty , \infty  \}, f \text{ messbar und fast überall beschränkt} \}.
+        \]
+        Damit haben wir offenbar
+        \[
+            C(\Omega) ∩ B(\Omega) ⊂ \L^\infty (\omega).
+        \]
+        Sei
+        \[
+            \norm f _{\L^\infty (\Omega)} \coloneq \supess_{t ∈ \Omega} |f(t)| \coloneq \inf_{M ⊂ \Omega \text{ NM}} \sup_{t ∈ \Omega \setminus M} |f(t)|.
+        \]
+        Dann gilt für $f ∈ \L^\infty (\Omega)$
+        \[
+            \norm f = 0 \gdw f = 0 \text{ fast überall}
+        \]
+        Mit $N \coloneq \{ f ∈ \L^\infty (\Omega) : \norm f = 0 \}$ wird
+        \[
+            L^\infty (\Omega) \coloneq \left( \L^\infty (\Omega)/N, \norm\cdot_{L^\infty (\Omega)} \right)
+        \]
+        zu einem normiertem Raum.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Es gilt die \emph{Hölder'sche Ungleichung}. Für $f ∈ L^p(\Omega)$, $g
+        ∈ L^q(\Omega)$,$\frac 1 p + \frac 1 q = 1$ ist
+        \[
+            \norm{f g }_{L^1(\Omega)} \le \norm{f}_{L^p(\Omega)} \norm g _{L^q(\Omega)}.
+        \]
+    \item
+        Für $\Omega$ messbar und beschränkt gilt
+        \[
+            L^∞(\Omega) ⊂ L^p(\Omega) ⊂ L^q(\Omega), \quad 0 < q < p \le ∞.
+        \]
+    \item
+        $C_0^∞(\Omega)$ ist nicht abgeschlossen in $(L^p(\Omega),\norm-_p)$.
+        Für $1 ≤ p < ∞$ gilt sogar
+        \[
+            \cl{C_0^∞(\Omega)}^{\norm-_{L^p(\Omega)}} = L^p(\Omega),
+        \]
+        das heißt, $C_0^∞(\Omega)$ liegt dicht in $L^p(\Omega)$.
+    \item
+        Satz von Riesz-Fischer: $(L^p(\Omega),\norm-_{L^p(\Omega)})$ ist für $1
+        ≤ p ≤ ∞$ ein Banach"=Raum.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{lemma}
+    $L^p(0,1)$ ist für $0 < p < 1$ nicht lokalkonvex. Tatsächlich sind
+    $\emptyset$ und $L^p(0,1)$ die einzigen offenen konvexen Mengen.
+\end{lemma}
+
+\begin{beispiel}[Sobolev-Räume]
+    Wir kennen aus der Analysis bereits die partielle Integration: Für alle $f, h ∈ C^1(\cl \Omega)$, wobei $\Omega$  beschränkt und $∂M$ hinreichend glatt, gilt
+    \[
+        ∫_\Omega f(t) \cdot \left[ \frac ∂ {∂t_i} h(t) \right] \dd t = ∫_{∂\Omega} f(t) h(t) \nu_i \dd S(t) - ∫_\Omega \left[ \frac ∂ {∂t_i} f(t) \right] h(t) \dd t,
+    \]
+    wobei $\nu = (\nu_1, …, \nu_n)^T$ die äußere Einheitsnormale ist.
+
+    \begin{bemerkung-nn}
+        Ist $f$ oder $h ∈ \C_0^∞(\Omega)$, so verschwinden die Randterme.
+    \end{bemerkung-nn}
+
+    \begin{definition}\label{03-definiton-schwache-ableitung}
+        Sei $f ∈ L^p(\Omega)$. Dann heißt $g ∈ L^p(\Omega)$  \emph{verallgemeinerte Ableitung} oder \emph{schwache Ableitung} von $f$ nach $t_i$ für ein $i ∈ \{1,…,n\}$, falls für alle $\phi ∈ C_0^∞(\Omega)$ gilt:
+        \[
+            ∫_\Omega f(t) \frac {∂\phi}{∂t_i}(t) \dd t = - ∫_\Omega g(t) \phi(t) \dd t.
+        \]
+    \end{definition}
+
+    \begin{lemma}
+        Verallgemeinerte Ableitungen sind eindeutig bestimmt.
+    \end{lemma}
+
+    \begin{bemerkung-nn}
+        \begin{enumerate}
+        \item Wir schreiben dafür $d_{t_i} f \coloneq g$.
+        \item
+            Für beschränktes $\Omega$ und $f ∈ C^1(\cl \Omega)$ ist \cref{03-definiton-schwache-ableitung} mit der klassischen Ableitung $g := D_{t_i} f ∈ C^0(\cl \Omega) ⊂ L^p(\cl \Omega)$ erfüllt.
+            Also haben wir in dieser Situation
+            \[
+                d_{t_i} f = D_{t_i} f.
+            \]
+            Also stimmen die klassische und die schwache Ableitung überein.
+        \item
+            Induktiv kann man höhere (schwache) Ableitungen definieren.
+        \end{enumerate}
+    \end{bemerkung-nn}
+
+    \begin{definition}
+        Sei $k ∈ N_0, 1 ≤ p < ∞$. Dann ist der \emph{Sobolev"=Raum} $W^{k,p}(Ω) := \{ f ∈ L^p(Ω): f$ besitzt verallgemeinerte Ableitungen $d^αf ∈ L^p(Ω)$ für alle $α ∈ ℕ_0^n$ mit $0 ≤ |α| ≤ k \}$.
+    \end{definition}
+
+    \begin{lemma}[Leibniz'sche Regel]
+        Sei $1 ≤ p < ∞$ und $Ω ⊂ ℝ^n$ offen. Dann gilt für alle $f ∈ W^{k,p}(Ω)$ und für alle $α ∈ ℕ_0^n$ mit $0 ≤ |α| ≤ k$:
+        \[
+            ∀\phi ∈ C_0^∞(Ω): ∫_Ω d^α f(t) \phi(t) \dd t = (-1)^{|α|} ∫_Ω f(t) D^α \phi(t) \dd t
+        \]
+    \end{lemma}
+
+    \begin{bemerkung-nn}
+        Ist umgekehrt $(f^α)_{0 ≤ |α| <= k} ⊂ L^p(Ω)$ eine Familie von Funktionen, für die 
+        \[
+            ∀\phi ∈ C_0^∞(Ω): ∫_Ω d^α f(t) \phi(t) \dd t = (-1)^{|α|} ∫_Ω f(t) D^α \phi(t) \dd t
+        \]
+        gilt, so ist $f^0 ∈ W^{k,p}(Ω)$ und $d^αf^0 = f^α$.
+    \end{bemerkung-nn}
+
+    \begin{satz}
+        $W^{k,p}(Ω)$ ist mit der Norm
+        \[
+            \norm{f}_{W^{k,p}(Ω)} := \left( \sum_{0 ≤ |α| ≤ k} \norm{d^α f}^p_{L^p(\Omega)}\right)^{1/p}
+        \]
+        ein Banachraum.
+    \end{satz}
+\end{beispiel}
+
+Seien $f_n → f ∈ L^p(\Omega), h ∈ C_0^\infty (\Omega)$.
+Dann
+\[
+    \lim_{n → \infty } ∫_\Omega f_n(t) h(t) \dd t = ∫_\Omega f(t) h(t) \dd t,
+\]
+denn
+\begin{align*}
+  ∫_\Omega (f_n(t) - f(t)) h(t) \dd t &\le ∫_{\supp h} M |f_n(t) - f(t)| \dd t
+\\ & \stackrel{\mathclap{\text{Hölder}}}{\le} \; M [ \supp(h)]^{1/q}
+\norm{f_n-f}_{L^p(\Omega)} → 0.
+\end{align*}
+
+\section{Beschränkte und kompakte Mengen in metrischen linearen Räumen}
+
+Wir wissen bereits nach dem Satz von Heine-Borel, dass eine Teilmenge $K ⊂ ℝ^n$  genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
+Beschränktheit bedeutet hier Beschränktheit in einer (beliebigen, da alle äquivalent) Norm.
+
+Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrischen (topologischen) linearen Räumen finden.
+
+\begin{problem-nn}
+    Die natürliche Übertragung $d(x,0) \le M$, $x ∈ B$ definiert \emph{keine} Beschränktheit.
+    Gründe dafür sind:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        In einigen metrischen Räumen gilt ohnehin $d(x,0) \le 1$ für alle $x ∈ X$.
+    \item
+        Ist $d$ eine Metrik auf $X$. Dann ist $\tilde d \coloneq \frac d {1+d} \le 1$ eine zu $d$ äquivalente Metrik auf $X$, wie wir in Topologie gesehen haben.
+    \end{enumerate}
+\end{problem-nn}
+
+\begin{definition}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum, $B ⊂ X$ heißt \emph{beschränkt}, falls zu jeder offenen Umgebung $U$ von $0 ∈ X$ ein $\alpha  > 0$ existiert, so dass $B ⊂ \alpha U = \{\alpha u: u ∈ U\}$, das heißt jede Nullumgebung lässt sich so weit „aufblasen“, dass sie $B$ überdeckt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Der Begriff „Beschränktheit“ hängt also von der Topologie ab.
+\end{bemerkung-nn}
+
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum, dessen Metrik gemäß \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} von abzählbar vielen Seminormen $(p_n)_{n ∈ ℕ}$ induziert ist.
+    Dann ist eine Teilmenge $B ⊂ X$ genau dann beschränkt, wenn für jedes $k ∈ ℕ$ ein $M_k > 0$ existiert mit $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    „⇒“: Sei $k ∈ ℕ$ gegeben.
+    Setze $r_k \coloneq \frac 1 {2^{k+1}}$ und $U \coloneq B_{r_k}(0)$.
+    Da $B$ beschränkt ist, gibt es $\alpha  = \alpha _k > 0$, dass
+    \begin{align*}
+    & B ⊂ \alpha U = \alpha  B_{r_k}(0) \\
+      \gdw & \alpha ^{-1} B ⊂ B_{r_k} (0) \\
+      \gdw &d(\alpha ^{-1} x, 0) < r_k ∀ x ∈ B
+    \end{align*}
+    Dann gilt schon $p_k(x) \le M_k \coloneq \alpha _k$ für alle $x ∈ B$, denn
+    \[
+        \frac 1 {2^{k+1}} = r_k > d(\alpha _k^{-1} x, 0
+        \ge 2^k \frac {p_k(\alpha _k^{-1}x)}{1+p_k(\alpha _k^{-1} x)}
+        = 2^{-k} \frac{\alpha _k^{-1} p_k(x)}{1+\alpha _k^{-1} p_k(x)}.
+    \]
+    Also mit $\eta \coloneq \alpha _k^{-1} p_k(x)$ gilt $\frac 1 2 > \frac \eta {1+\eta}$, also $\eta < 1$ oder $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$.
+
+    „⇐“:
+    Sei also $p_k(x) \le M_k$ für alle $x ∈ B$ und $k ∈ ℕ$.
+    Wir müssen nun zeigen, dass es für jedes $r > 0$ ein $\alpha  > 0$ gibt mit $B ⊂ \alpha B_r(0)$, also $\alpha ^{-1} B ⊂ B_r(0)$.
+    Sei also $r > 0$ gegeben.
+    Wähle nun $m_0 ∈ ℕ$ mit $\sum_{n=m_0+1}^\infty  2^{-n} < r/2$.
+    Wähle $\alpha  > 0$ mit $\sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{\alpha ^{-1} M_k}{1+\alpha ^{-1} M_k} < r/2$.
+    Dann gilt für alle $x ∈ B$
+    \begin{align*}
+        d(\alpha ^{-1} x, 0) &=
+        \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{\alpha ^{-1} p_n(x)}{1+\alpha ^{-1} p_n(x)} \\
+        &\le \sum_{n=1}^{m_0} 2^{-n} \frac{\alpha ^{-1} p_n(x)}{1+\alpha ^{-1} p_n(x)} + \sum_{n=m_0+1}^\infty  2^{-n}  < r/2 + r/2 = r.
+    \end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter linearer Raum, 
+    Dann ist eine Teilmenge $B ⊂ X$ genau dann beschränkt, wenn $M > 0$ existiert mit $\norm{x} \le M$ für alle $x ∈ B$.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Wähle $p_1(x) = \norm x$ und $p_k \equiv 0$ für $k \ge 2$ und verwende den vorherigen Satz.
+\end{proof}
+
+
+\begin{bemerkung}
+    Kugeln $B_r(0)$ in $(X,d)$, wobei $d$ wie in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, sinid also immer unbeschränkt,
+    weil nichttriviale Unterräume $M_{n_0} ⊂ B_r(x)$ existieren.
+    Insbesondere ist dies gültig in den Räumen $\K^\infty , C(\Omega), C^\ell(\Omega)$ und $C^\infty (\Omega)$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}
+    Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$ heißt \emph{lokalbeschränkt}, falls $0 ∈ X$ eine beschränkte Umgebung besitzt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Normierte Räume sind lokalbeschränkt und lokalkonvex. Es gilt aber auch die Umkehrung:
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}[Kolmogorov]
+    Ein topologischer linearer Raum $(X, \T)$ ist genau dann normierbar, das heißt, die Topologie wird von einer Norm induziert,
+    wenn $(X,\T)$ lokalkonvex und lokalbeschränkt ist.
+\end{satz}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Die Räume $\K^\infty , C(\Omega), C^\ell(\Omega)$ und $C^\infty (\Omega)$ sind nicht lokalbeschränkt, aber lokalkonvex. Somit sind sie auch nicht normierbar.
+    Auch $L^p(0,1)$ mit $0 < p < 1$ ist nicht lokalkonvex, aber lokalbeschränkt, also nicht normierbar.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum.
+    Eine Umgebung $U$ der Null heißt \emph{kreisförmig} oder \emph{balanced}, falls
+    \[
+        t U ⊂ U, \quad |t| < 1
+    \]
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum.
+    Dann besitzt die Null eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{warnung-nn}
+    Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind).
+    Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$.
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer Raum und $V ∈ \T$ eine Umgebung der 0.
+    Dann gilt
+    \[
+        X = \bigcup_{n ∈ ℕ} n V.
+    \]
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    „$\supset$“: klar.
+
+    „⊂“: Sei $x ∈ X$. Setze $β_n = 1/n, n ∈ ℕ$. Dann gilt
+    \[
+        β_n x \xrightarrow[n → \infty ]{} 0,
+    \]
+    also $β_n ∈ V$ für $n \ge n_0$. Damit haben wir aber $x ∈ n_0 V$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt.
+    Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt.
+\end{satz}
+\begin{definition-nn}
+    Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}.
+\end{definition-nn}
+\begin{warnung-nn}
+    Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
+\end{warnung-nn}
+\begin{proof}
+    Nach einer Übungsaufgabe ist $K$ bereits abgeschlossen.
+    Also müssen wir nur zeigen, dass $K$ auch beschränkt ist.
+    Sei $V ∈ \T$ eine Nullumgebung.
+    Sei $W ⊂ \T$ eine kreisförmige Umgebung der $0$, die ganz in $V$ enthalten ist.
+    Da
+    \[
+        K ⊂ X = \bigcup_{n ∈ ℕ} n W
+    \]
+    eine offene Überdeckung von $K$ ist, besitzt diese wegen $K$ kompakt eine endliche Teilüberdeckung
+    \[
+        K ⊂ \bigcup_{i=1}^s n_i W \stackrel{(*)}= n_s W, \quad n_1 < n_2 < … < n_s,
+    \]
+    also folgt die Behauptung mit $\alpha  = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
+\end{proof}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Ohne die Hausdorff-Eigenschaft gilt dies nicht. Gegenbeispiel: $X = ℝ$ mit der Klumpentopologie.
+    Dann ist jede Teilmenge von $ℝ$ kompakt, aber nur $\emptyset$ und $ℝ$ sind abgeschlossen.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist.
+    \item
+        In einem metrischen Raum $(X,d)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{präkompakt}, falls für jedes $\epsilon  > 0$ die Menge $A$ von endlich vielen Bällen mit Radius $\epsilon $ überdeckt werden kann.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\emptyset \ne A ⊂ X$. Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $A$ ist kompakt.
+    \item
+        $A$ ist folgenkompakt.
+    \item
+        $(A,d|_{A×A})$ ist vollständig und $A$ präkompakt.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    $(a) \iff (b)$ wurde bereits gezeigt. Wir zeigen nur $(b) ⇒ (c)$:
+    Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ A$ eine Cauchy-Folge. Nach (b) besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ einen Häufungspunkt $x^*$.
+    Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig.
+
+    Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $\epsilon  > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $\epsilon $-Kugeln besitzt.
+    Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > \epsilon $ für $k \ne j$.
+    Dann besitzt $(x_k)_{k ∈ K}$ offensichtlich keine Cauchy-Teilfolge, also auch keinen Häufungspunkt.
+    Also $A$ präkompakt.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Ist $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $A ⊂ X$, dann ist $A$ genau dann präkompakt, wenn $A$ relativ kompakt ist.
+\end{korollar}
+
+
+\begin{satz}[Ascoli-Arzela]
+    Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $C(S,ℝ^m)$ mit der Norm
+    \[
+        \norm{f}_∞ \coloneq \max_{x ∈ S} |f(x)|_{ℝ^m}
+    \]
+    ausgestattet. Sei $A ⊂ C(S;ℝ^m)$. Dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item $A$ ist präkompakt.
+    \item
+        $A$ ist beschränkt und gleichgradig stetig, das heißt,
+        \[
+            \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \xrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Fréchet, Kolmogorov]
+    Sei $1 ≤ p < ∞$. Dann ist $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ genau dann präkompakt, wenn
+    \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+    \item
+        $A$ ist beschränkt.
+    \item
+        $A$ ist im Mittel gleichgradig stetig, das heißt
+        \[
+            \sup_{f ∈ A} \norm{f(\cdot + h) - f}_{L^p(ℝ^n)} \xrightarrow[|h| → 0]{} 0.
+        \]
+    \item
+        \[
+            \sup_{f ∈ A} \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} \xrightarrow[R → ∞]{} 0.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Der Satz gilt auch für Teilmengen $Ω$ von $ℝ^n$ mit den offensichtlichen Anpassungen. Ist $Ω$ beschränkt, so wird (iii) überflüssig.
+\end{bemerkung-nn}
+
+
+\section{Stetige lineare Operatoren}
+
+\begin{satz}
+    3.6.4.    
+\end{satz}
+Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
+\begin{proof}
+    $(1) \iff (2)$ schon gezeigt.
+
+    $(3) \iff (4)$ klar durch die Charakterisierung von beschränkten Mengen in
+    normierten Räumen und Ausnutzung der Linearität.
+
+    $(2) \Rightarrow (4)$. Sei $T$ stetig in $x^*$. Wähle $\epsilon  > 0$, so dass $T(\cl B_\epsilon (x^*)) ⊂ B_1(T(x^*))$.
+    Dann gilt für alle $x ∈ \cl B _1 (0)$
+    \[
+        x^* + \epsilon  x ∈ \cl B_\epsilon (x^*)
+    \]
+    und $T(x^*) + \epsilon T(x) = T(x^* + \epsilon x) ∈ B_1(T(x^*))$, das heißt $\epsilon  T(x) ∈ B_1(0)$ oder $\norm{T(x)}_Y \le \frac 1 {\epsilon } =: M$
+
+    $(4) \Rightarrow (5)$. Für $x \ne 0$ gilt
+    \[
+        \norm{T(x)} \le \norm x \norm{T\left( \frac x {\norm x} \right)} \le M \norm x,
+    \]
+    also gilt die Aussage mit $C \coloneq M$.
+
+    $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt
+    \[
+        \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \xrightarrow[x → x_1]{} 0.
+    \]
+    Damit ist $T$ stetig in $x_1$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+    Sei die Situation wie in 6.4 Ist $T$ zusätzlich bijektiv, so ist $T$ genau dann ein Homöomorphismus, wenn es Konstanten $m, M > 0$ gibt mit
+    \[
+        m \norm x \le \norm {T(x)} \le M \norm {x}
+    \]
+    für alle $x ∈ X$
+\end{korollar}
+\begin{beweis}
+    klar.
+\end{beweis}
+
+\begin{warnung-nn}
+    $T$ linear, bijektiv und stetig impliziert selbst in normierten Räumen noch nicht, dass auch die Inverse Abbildung $T^{-1}$ auch stetig ist, wie wir in der Übung sehen werden.
+    Sind $X$ und $Y$ aber Banachräume, so gilt dies aber (Satz von der offenen Abbildung).
+\end{warnung-nn}
+
+Nun zur Charakterisierung von Stetigkeit in metrischen linearen Räumen.
+
+\begin{satz}
+    Sei $T: X → Y$ linear, $X$, $Y$ lineare metrische Räume.
+    Dann ist $T$ genau dann stetig, wenn $T$ beschränkt ist.
+\end{satz}
+
+In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
+
+\begin{satz}
+    3.6.7
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Nur „$\Leftarrow$“: Nach 6.6 reicht es, Beschränktheit von $T$ zu zeigen, also dass, wenn $B ⊂ X$ beschränkt ist, auch $T(B) ⊂ Y$ beschränkt ist.
+    $B ⊂ X$ ist genau dann beschränkt, wenn für alle $k ∈ ℕ$ $C_k > 0$ existieren mit $p_k(x) \le C_k$ für alle $x ∈ B$.
+    Nach Voraussetzung ist dann aber auch für alle $x ∈ B$
+    \[
+        q_m(Tx) \le M_m(C_{n_1} + … + C_{n_k}) =: K_m,
+    \]
+    was nach 5.2 heißt, dass $T(B)$ beschränkt in $Y$ ist.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet $\L(X, Y) \coloneq \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}.
+    Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' \coloneq \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{Dualraum von $X$}.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung-nn}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $\L(X,Y)$ ist wieder ein linearer Raum.
+    \item
+        Metrische lineare Räume haben Dualräume, die im Allgemeinen nicht mehr metrisierbar sind.
+    \item
+        $X' = \{ 0\}$ ist möglich, wie wir in der Übung sehen werden
+    \item
+        Ist  $X$ jedoch normierbar, so folgt aus den Hahn-Banach-Sätzen, dass $X'$ nichttrivial ist.
+    \item
+        Falls $X$ und $Y$ normierte Räume sind, dann wird $\L(X, Y)$ ebenfalls zu einem normierten Raum mit der Operatornorm
+        \begin{align*}
+            \norm T &\coloneq \norm T _{\L(X,Y)} \coloneq \sup \{\norm x _X \le 1\} \norm {Tx}_Y \\ &= \inf \{ C \ge 0: ∀x ∈ X: \norm {Tx} \le C \norm x \}.
+        \end{align*}
+        Das heißt, wir haben
+        \begin{equation}
+            \label{eq:61}
+            ∀x ∈ X: \norm {Tx}_Y \le \norm T \norm x _X
+        \end{equation}
+        Also haben wir
+        \[
+            \norm{(T_1 + T_2)x} = \norm{T_1x + T_2x} \le \norm{T_1x} + \norm{T_2x} \le \left( \norm{T_1} + \norm{T_2} \right) \norm{x},
+        \]
+        und somit $T_1 + T_2 ∈ \L(X,Y)$ und $\norm{T_1 + T_2} \le \norm{T_1} + \norm{T_2}$ nach \eqref{eq:61}.
+    \item
+        Auf $\L(ℝ^n,ℝ^m)$ ergeben sich die bekannten Matrixnormen.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{satz}
+    Seien $X, Y$ normierte Räume, $Y$ vollständig. Dann ist $\L(X,Y)$ ein Banachraum.
+    Insbesondere ist $X'$ immer ein Banachraum.
+
+    Sei $Z$ ebenfalls ein normierter Raum.
+    Ist $T ∈ \L(X,Y)$, $S ∈ \L(Y,Z)$, so ist $ST ∈ \L(X,Z)$ und $\norm{ST}_{\L(X,Z)} \le \norm S \norm T$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Es ist nur noch die Vollständigkeit zu zeigen.
+    Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X,Y)$.
+    Das heißt, für jedes $\epsilon  > 0$ existiert ein $N_0$ mit $\norm {T_n - T_m} < \epsilon $ für $n, m > N_0$.
+    Also mit \eqref{eq:61} $\norm {T_n x - T_mx} \le \norm {T_n - T_m} \norm x < \epsilon  \norm x$ für alle $x ∈ X$ und $n,m > N_0$.
+    Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$.
+    Wir definieren eine Abbildung
+    \[
+        T: X → Y, x ↦ y_x.
+    \]
+    Dann ist $T$ linear, weil alle $T_n$ linear sind. Also ist nur die Stetigkeit von $T$ und die Konvergenz von $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $T$ zu zeigen.
+    Für die Stetigkeit bekommt man unter Verwendung der Dreicksunglechung direkt
+    \[
+        \left| \norm {T_n} - \norm{T_m} \right| \le \norm {T_n - T_m} < \epsilon  \quad ∀ n, m \ge N_0,
+    \]
+    also eine Cauchyfolge $\left( \norm{T_n} \right)_{n ∈ ℕ}$ in $ℝ$, die wegen der Vollständigkeit von $ℝ$ konvergent, also insbesondere auch beschränkt ist.
+    Damit gibt es $M > 0$ mit $\norm {T_n} \le M$ für alle $n ∈ ℕ$, also mit~\eqref{eq:61}
+    \[
+        \norm{Tx} \xleftarrow[n → \infty ]{} \norm{T_nx } \le M \norm x, ∀ x ∈ X,
+    \]
+    also die stetigkeit von $T$.
+    Jetzt zur Konvergenz:
+    Für $\norm x \le$ 1 gilt
+    \[
+        \norm {T_n x - T_m x } < \epsilon , \quad ∀n, m \ge N_0,
+    \]
+    also durch Grenzwertbildung $n → \infty $
+    \[
+        \norm {T_n x - T x } < \epsilon , \quad ∀n \ge N_0,
+    \]
+    und mit~\eqref{eq:61}
+    \[
+        \norm {T_n -T} = \sup_{\norm x \le 1} \norm {T_n x - T_x} < \epsilon , \quad ∀ n \ge N_0,
+    \]
+    das heißt $T_n → T$ wie gewünscht.
+
+    Für den Zusatz haben wir
+    \[
+        \norm {S(Tx)} \le \norm S \norm {Tx} \le \norm S \norm T \norm x.
+    \]
+    Da das für alle $x ∈ X$ gilt, haben wir $\norm {ST} \le \norm S \norm T$.
+\end{proof}
+
+
+\begin{korollar}
+    Ist $X$ ein Banachraum, dann ist $\L(X) \coloneq \L(X,X)$ eine \emph{Banachalgebra}, das heißt ein vollständiger normierter Vektorraum mit einer Multiplikation, so dass für $T, S ∈ \L(X)$ gilt:
+    \[
+        \norm {TS} \le \norm T \norm S.
+    \]
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung}
+    Ist $T ∈ \L(X,Y)$, so ist $\ker T$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{ 0\}$ stets abgeschlossen in $X$.
+    Das Bild hingegen $R(T) \coloneq \im T$ ist im Allgemeinen jedoch nicht abgeschlossen.
+    Wann sind Elemente in $\L(X)$ invertierbar?
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    Sei $X$ ein Banachraum und $T ∈ \L(X)$ mit $\limsup\limits_{m → \infty } \norm{T}^{1/m} < 1$. Dann ist $(\id - T)^{-1} ∈ \L(X)$ und es gilt
+    \[
+        (\id-T)^{-1} = \lim_{m → \infty } \sum_{n = 0}^m T^n =: \sum_{n = 0}^\infty  T^n ∈ \L(X).
+    \]
+    mit Konvergenz in $\L(X)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Wähle $m_0$ und $\Theta  < 1$ mit $\norm {T^n} < \Theta ^n$  für $n \ge m_0$.
+    Für $S_k = \sum_{n=0}^k T^n$ gilt dann für $m_0 \le k < l$
+    \[
+        \norm{ S_l - S_k} = \norm { \sum_{n=k+1}^l T^n} \le \sum_{n=k+1}^l \norm{ T^k} \le \sum_{n=k+1}^l \Theta ^n < \epsilon , \quad k, l \ge N_0.
+    \]
+    Damit ist $(S_k)_{k ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X)$ und somit konvergent.
+    Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \xrightarrow[k → \infty ]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$
+    \[
+        (\id - T) Sx = \lim_{k → \infty } (\id -T) S_k x = \lim_{k → \infty } \sum_{n=0}^k (T^n -T^{n-1})x = \lim_{k→\infty } x - T^{k+1}x = x.
+    \]
+    Damit ist $(\id -T)S = \id$. Da sich analog $S(\id-T) = \id$ auch zeigen lässt, folgt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+
+\begin{lemma}
+    3.7.6
+\end{lemma}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Mit $\Theta  = 1$ geht es nicht immer. Gegenbeispiel: Sei $X = C[0,1] ∩ \{ x(0) =
+    0 \}$ und  $M = \{ x ∈ X : g∫_0^1 x(t) dt = 0 \}$.
+    Dann ist $M$ ein abgeschlossener linearer Unterraum, weil $T: X → ℝ, ∫_0^1 \cdot$ stetig ist und somit $M = T^{-1}(\{0\})$ als Urbild einer abgeschlossenen Menge in $ℝ$  abgeschlossen ist.
+    Angenommen, ($\Theta =1$), es existierte ein $x_\Theta  = x ∈ X$ mit $\norm x_1 = $ und $\norm {x-x_1} \ge 1 $ für alle $x ∈ M$.
+    Dann setze
+    \[
+        c(y) \coloneq \frac{∫_0^1 x_1(t) dt}{∫_0^1 y(t) dt} ∈ ℝ
+    \]
+    für alle $y \not\in M$. Man beachte, dass dies wohldefiniert ist. 
+    Dann ist $x_1 - c(y)y ∈ M$, also $1 \le \norm{ x_1 - c(y)y - x_1} = |c(y)|\norm y$.
+    Dann $∫_0^1 x_1 c(y)y\; dt = 0 $ oder $\frac {1}{|c(y)} \le \norm y $ oder $\left| ∫_0^1 y(t)\;dt \right| \le \left| ∫_0^1x_1(t)\;dt \right| \norm y$ für alle $y ∈ X \setminus M)$.
+    Wähle $y_n(t) = t^{1/n} ∈ X$, also $\norm {y_n} = 1$.
+    Es gilt $\left| ∫_0^1 y_n(t) dt \right| \le \left| ∫_0^1 x_1(t) dt \right| \le 1$ für alle $n ∈ ℕ$, also
+    $∫_0^1 x_1(t) dt = 1$ und $x_1(t) \le 1$, was aber bereits impliziert, dass $x_1$ identisch 1 ist. Damit ist $x_1 \not\in X$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{satz}
+    7.7
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    „⇐“ war Korollar 7.4.
+
+    „⇒“. Angenommen, $\dim X = \infty.$ Sei $S^1 \coloneq \{ x ∈ X: \norm x = 1\}$.
+    Da $S^1$ abgeschlossen und beschränkt ist, ist $S^1$ nach Annahme kompakt.
+    Wähle $x_1 ∈ S^1$ und $M_1 \coloneq \lspan \{ x_1 \} \subsetneq X$.
+    $M_1$ ist ein abgeschlossener Unterraum nach Korollar 7.5.
+    Nach Ries existiert ein $x_2 ∈ S_1$ mit $\norm {x_2-x_1} \ge \Theta  \coloneq \frac 1 2 $.
+    Setze nun $M_2 \coloneq \lspan \{x_1,x_2\}$.
+    Da $M_2$ ein abgeschlossener Unterraum ist, existiert ein $x_3 ∈ S_1$ mit $\norm {x_3 - x} \ge \Theta $ für alle $x ∈ M_2$, also insbesondere $\norm {x_3-x_1} \ge \Theta  = \frac 1 2$ und $\norm {x_3-x_2} \ge \Theta  = \frac 1 2$.
+    Iterativ (da $\dim X = \infty  $) existiert $x_n ∈ S_1$ mit $\norm {x_m - x_n} \ge \frac 1 2$ für $m \ge n$.
+    Somit haben wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ ohne Häufungspunkt in $S^1$ gefunden im Widerspruch zu $S^1$ kompakt.
+\end{proof}
+
+Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch die abgeschlossenen Kugeln kompakt.
+
+
+\begin{definition}
+    Ein topologischer linearer Raum $X$ heißt \emph{lokalkompakt}, wenn $0 ∈ X$ eine Umgebung $U$ besitzt, deren Abschluss kompakt ist.
+\end{definition}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $X$ normiert, $\dim X = \infty $. Dann ist $X$ nicht lokalkompakt.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Angenommen, dass doch. Dann gibt es $r > 0$, so dass $S_r = \{ x ∈ X : \norm x = r\} ⊂ \cl U$.
+    Da $\cl U$ nach Annahme kompakt ist und $S_r$ abgeschlossen, ist $S_r$ ebenfalls kompakt. Das ist ein Widerspruch.
+\end{proof}
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End: