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@@ -2674,6 +2674,214 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung-nn}
 
+%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG
+
+\begin{satz}[5.3.1]
+    Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$.
+
+    Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit
+    \[
+        f(x_0) > 1 ∧ ∀ x ∈ M: f(x) ≤ 1.
+    \]
+\end{satz}
+Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + ε\}$ für $0 < ε < f(x_0) < 1$ trennt also $x_0$ und $M$.
+
+\begin{proof}
+    Setze $2r := \inf_{y ∈ M} \norm{y - x_0}$  (positiv, da $M$ abgeschlossen).
+    Sei $N := \cl{M + \cl{B_r(0)}} = \cl{\{ z = y + u: y ∈ M, u ∈ \cl{B_r(0)}\}} ⊂ X$.
+    Dann ist (i) $N$ abgeschlossen und (ii) $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, da $0 ∈ M$, insbesondere ist $0 ∈ N^\circ$.
+    (iii) ist $N$ konvex: Es genügt, zu zeigen, dass $A = M + B_r(0)$ konvex ist, denn dann ist auch $\cl A$ konvex.
+    Sei $x _i = y_i + v_i, y_i ∈ M, v_i ∈ \cl{B_r(0)}, i=1,2$ und $α ∈ (0,1)$. Dann ist
+    \[
+        αx_1 + (1-α)x_2 = \underbrace{[αy_1 + (1-α)y_2]}_{∈ M} + \underbrace{[αu_1+(1-α)v_2]}_{∈ \cl{B_r(0)}}.
+    \]
+    (iv) ist $x_0 \not\in N$.
+    Angenommen, $x_0 ∈ N$. Dann existiert eine Folge $z_n = y_n + u_n$ in $A$ mit $z_n → x_0 (n→∞)$.
+    Dann ist für $n_0$ hinreichend groß
+    \[
+        \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} ≥ |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{≥ 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{≤ r}| ≥ r.
+    \]
+
+    Verwende nun das Minkowski-Funktional
+    \[
+        p_N(x) := \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
+    \]
+    Dieses hat die Eigenschaften
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $p_N(αx) = αp_n(x),\quad α ≥ 0, x ∈ X$ (positiv homogen)
+    \item
+        $p_N(x+y) ≤ p_N(x) + p_N(y), \quad x, y ∈ X$ (subadditiv)
+    \item
+        $p_N(x) ≤ 1 \iff x ∈ N$
+    \item
+        Ist zusätzlich $\cl{B_r(0)} ⊂ N$, so gilt $p_nNx) ≤ r^{-1}\norm x$ für alle $x ∈ X$.
+    \end{enumerate}
+    Sei nun $X_0 := \lspan\{x_0\}$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ linear definiert durch $f_0(x_0) := p_N(x_0)$.
+    Wir behauptung, dass $f_0 (x) ≤ p_N(x)$ für alle $x  = λx_0 ∈ X_0$.
+    Falls $λ ≥ 0$, so ist $f_0(x) = f_0(λx_0) = λp_N(x_0) = p_N(λx_0) = p_N(x)$.
+    Falls $λ < 0$, so ist wegen $p_n ≥ 0$ ohnehin $f_0(λx_0) = λp_N(x_0) ≤ 0 ≤ p_N(λx_0)$.
+    Da $p_N$ die Bedingungen (i) und (ii) aus Hahn-Banach erfüllt,
+    gibt es eine lineare Fortsetzung $f$ von $f_0$ mit $f(x) ≤ p_N(x)$ für alle $x ∈ X$.
+
+    Nun ist $f$ stetig, also $f ∈ X'$, denn für alle $x ∈ X$ gilt
+    \begin{multline*}
+        |f(x) = \max\{f(x), -f(x)\}  = \max\{f(x),f(-x)\} ≤ \max\{p_N(x),p_N(-x)\}  \\
+        ≤ \max\left\{\frac{\norm{x}}{r},\frac{\norm{-x}}{r}\right\} = \frac{\norm x}{r}.
+    \end{multline*}
+
+    Außerdem erfüllt $f$ die Gleichung 3.1 (?), denn
+    \[
+        f(x_0) = f_0(x_0) = p_n(x_0) > 1
+    \]
+    und für $x ∈ M ⊂ N$ gilt
+    \[
+        f(x) ≤ p_N(x) ≤ 1.
+    \]
+\end{proof}
+
+\section{Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum}
+Zunächst zur Motivation: Sei $X$ ein normierter linearer Raum.
+Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum.
+Aber dann existiert auch $X'' := (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
+Unser ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
+
+\begin{definition}
+    Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch
+    \[
+        J_0(x) [x'] = \langle \langle J_0(x), x' \rangle \rangle_{X''×X'} := \langle \langle x', x \rangle \rangle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K
+    \]
+    für $x ∈ X, x' ∈ X'$.
+
+    Offensichtlich gilt für $x ∈ X$ fest $J_0(x): X' → \K$ linear, aber $J_0(x)$ ist auch stetig bzw beschränkt:
+    Dazu ist
+    \[
+        |J_0(x)[x']| = | \langle  \langle x',x \rangle \rangle ≤ \norm{x'}_{X'} \underbrace{\norm{x}_X}_{=: M}.
+    \]
+    Also ist $J_0(x) ∈ X''$, also insbesondere $J_0$ wohldefiniert.
+    Wegen der linearität von $J_0$ in $x$ schreiben wir statt $J_0(x)$ auch $J_0 x$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist eine normerhaltende lineare Einbettung von $X$ in seinen Bidualraum $X''$.
+\end{satz}
+
+\begin{warnung-nn}
+    $J_0$ ist in der Regel nicht surjektiv.
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{proof}
+    Zur Injektivität: Seien $x_1, x_2 ∈ X$ mit $J_0x_1 = J_0x_2$.
+    Dann ist für jedes $x' ∈ X'$
+    \[
+        \langle \langle x',x_1 \rangle \rangle = J_0 x_1[x'] = J_0x_2[x'] = \langle \langle x', x_2 \rangle \rangle,
+    \]
+    also wegen Linearität von $x'$
+    \[
+        \langle \langle x', x_1-x_2 \rangle \rangle = 0.
+    \]
+    Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$.
+
+    Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$.
+    „≤“: Aus (4.1) folgt bereits
+    \[
+        \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} ≤ 1} |J_0(x)[x'] ≤ \norm{x}_X.
+    \]
+    „≥“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
+    $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$.
+    Also folgt
+    \[
+        \underbrace{|J_0x_0[x_0']|}_{≤ \norm{J_0x_0}_{X''}} = \langle  \langle x_0', x_0 \rangle \rangle = \norm{x_0}.
+    \]
+    Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} ≥ \norm{x}$.
+\end{proof}
+
+
+\begin{definition}
+    Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Ein unvollständiger normierter Raum hätte offensichtlich keine Chance, reflexiv zu sein.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{warnung-nn}
+    „vermöge $J_0$“ in der Definition ist wesentlich, denn es gibt Beispiele mit $X \cong X''$, aber $J_0$ ist nicht surjektiv. %% werner, I 4.7
+\end{warnung-nn}
+
+\begin{satz}
+    Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Offensichtlich sind $H$ und $H''$ isometrisch isomorph:
+    Denn $H$ und $H'$ sind bereits konjugiert linear isomorph via $J_H, X → X'$ (Kapitel IV, \S 5, aus Ries'schem Darstellungssatz).
+    Mit dem gleichen Argument sind $H'$ und $H''$ konjugiert linear isomorph via $J_{H'}$, also $H$ und $H''$ linear isometrisch durch $J_{H'} \circ J_H$.
+    Dies genügt aber nicht für den Nachweis der Reflexivität.
+    Dafür müssen wir zu $x'' ∈ H''$ ein $x ∈ H$ finden mit $J_0x = x''$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Wozu Reflexivität gut ist, werden wir später im Kapitel über schwache Topologien genauer sehen.
+    Beispielsweise ist $\cl{B_1(0)}$ im reflexiven Banachraum $X$ schwach folgenkompakt, das heißt jede Folge in $\cl{B_1(0)}$ hat eine schwach konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $\cl{B_1(0)}$.
+    Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{definition}
+    Eine Folge  $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \rightharpoonup x$ für $n → ∞$), wenn
+    \[
+        \lim_{n → ∞} x'[x_n] = x'[x]
+    \]
+    für alle $x' ∈ X'$ gilt.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Der Grenzwert (so er denn existiert) ist eindeutig. Denn ist $x'[x] = x'[\tilde x]$ für alle $x' ∈ X'$, so folgt $x = \tilde x$ mit Folgerung 2.3 (2).
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
+    \[
+        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X (i → ∞)
+    \]
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not \to 0 (i → ∞)$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{proof}
+    Der kanonische Isomorphismus $J_X: X  → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert
+    \[
+        X' = \{ x' : x' ∈ X'\} = \{ J_X(y) : y ∈ X\}.
+    \]
+    Zu zeigen ist $\lim\limits_{i → ∞}x'[\hat e_i] = x'[0]$ für alle $x' ∈ X'$, also äquivalent
+    $\lim\limits_{i → ∞} J_x(y)[\hat e_i] = J_x(y)[0]$ für alle $y ∈ X$ bzw. $\lim\limits_{i → ∞} \langle y, \hat e_i \rangle = \langle y, 0 \rangle$ für alle $y ∈ X$.
+
+    Sei also $y ∈ X$ fest gewählt. Dann ist $y = \sum_{i=1}^∞α_i \hat e_i$ mit $α_i = \langle  \hat e_i, y \rangle$.
+    Es gilt $\sum_{i=1}^∞ |α_i|^2 < ∞$ (vgl Def 4.2.12).
+    Damit folgt $α_i = \langle  \hat e_i, y \rangle → 0 (i → ∞)$, weil $α ∈ \ell^2$. Damit folgt die Schache Konvergenz von $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$.
+\end{proof}
+
+
+\begin{satz}
+    Sei $M$ ein abgeschlossener Unterraum eines Banachraums $(X, \norm -)$.
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Ist $X$ reflexiv, so ist auch $(M, \norm -)$ reflexiv.
+    \item
+        Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$.
+    \end{enumerate}
+
+\end{satz}
+
+
+
+
+
 \end{document}
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