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@@ -2046,6 +2046,176 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
 \end{proof}
 
 
+\begin{lemma}
+    3.7.6
+\end{lemma}
+\begin{bemerkung-nn}
+    Mit $Θ = 1$ geht es nicht immer. Gegenbeispiel: Sei $X = C[0,1] ∩ \{ x(0) =
+    0 \}$ und  $M = \{ x ∈ X : g∫_0^1 x(t) dt = 0 \}$.
+    Dann ist $M$ ein abgeschlossener linearer Unterraum, weil $T: X → ℝ, ∫_0^1 \cdot$ stetig ist und somit $M = T^{-1}(\{0\})$ als Urbild einer abgeschlossenen Menge in $ℝ$  abgeschlossen ist.
+    Angenommen, ($Θ=1$), es existierte ein $x_Θ = x_ ∈ X$ mit $\norm x_1 = $ und $\norm {x-x_1} \ge 1 $ für alle $x ∈ M$.
+    Dann setze
+    \[
+        c(y) := \frac{∫_0^1 x_1(t) dt}{∫_0^1 y(t) dt} ∈ ℝ
+    \]
+    für alle $y \not\in M$. Man beachte, dass dies wohldefiniert ist. 
+    Dann ist $x_1 - c(y)y ∈ M$, also $1 \le \norm{ x_1 - c(y)y - x_1} = |c(y)|\norm y$.
+    Dann $∫_0^1 x_1 c(y)y\; dt = 0 $ oder $\frac {1}{|c(y)} \le \norm y $ oder $\left| ∫_0^1 y(t)\;dt \right| \le \left| ∫_0^1x_1(t)\;dt \right| \norm y$ für alle $y ∈ X \setminus M)$.
+    Wähle $y_n(t) = t^{1/n} ∈ X$, also $\norm {y_n} = 1$.
+    Es gilt $\left| ∫_0^1 y_n(t) dt \right| \le \left| ∫_0^1 x_1(t) dt \right| \le 1$ für alle $n ∈ ℕ$, also
+    $∫_0^1 x_1(t) dt = 1$ und $x_1(t) \le 1$, was aber bereits impliziert, dass $x_1$ identisch 1 ist. Damit ist $x_1 \not\in X$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{satz}
+    7.7
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    „⇐“ war Korollar 7.4.
+
+    „⇒“. Angenommen, $\dim X = \infty.$ Sei $S^1 := \{ x ∈ X: \norm x = 1\}$.
+    Da $S^1$ abgeschlossen und beschränkt ist, ist $S^1$ nach Annahme kompakt.
+    Wähle $x_1 ∈ S^1$ und $M_1 := \lspan \{ x_1 \} \subsetneq X$.
+    $M_1$ ist ein abgeschlossener Unterraum nach Korollar 7.5.
+    Nach Ries existiert ein $x_2 ∈ S_1$ mit $\norm {x_2-x_1} \ge Θ := \frac 1 2 $.
+    Setze nun $M_2 := \lspan \{x_1,x_2\}$.
+    Da $M_2$ ein abgeschlossener Unterraum ist, existiert ein $x_3 ∈ S_1$ mit $\norm {x_3 - x} \ge Θ$ für alle $x ∈ M_2$, also insbesondere $\norm {x_3-x_1} \ge Θ = \frac 1 2$ und $\norm {x_3-x_2} \ge Θ = \frac 1 2$.
+    Iterativ (da $\dim X = ∞ $) existiert $x_n ∈ S_1$ mit $\norm {x_m - x_n} \ge \frac 1 2$ für $m \ge n$.
+    Somit haben wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ ohne Häufungspunkt in $S^1$ gefunden im Widerspruch zu $S^1$ kompakt.
+\end{proof}
+
+Damit sind in unendlich-dimensionalen normierten Räumen weder die Sphären noch die abgeschlossenen Kugeln kompakt.
+
+
+\begin{definition}
+    Ein topologischer linearer Raum $X$ heißt \emph{lokalkompakt}, wenn $0 ∈ X$ eine Umgebung $U$ besitzt, deren Abschluss kompakt ist.
+\end{definition}
+
+\begin{korollar}
+    Sei $X$ normiert, $\dim X = ∞$. Dann ist $X$ nicht lokalkompakt.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+    Angenommen, dass doch. Dann gibt es $r > 0$, so dass $S_r = \{ x ∈ X : \norm x = r\} ⊂ \cl U$.
+    Da $\cl U$ nach Annahme kompakt ist und $S_r$ abgeschlossen, ist $S_r$ ebenfalls kompakt. Das ist ein Widerspruch.
+\end{proof}
+
+
+\chapter{Unitäre Räume und Hilberträume}
+\section{Grundbegriffe}
+Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
+
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$.
+    Eine Abbildung $\langle \cdot, \cdot \rangle: X × X → \K$ heißt \emph{Skalarprodukt} auf $X$, falls gilt
+    \begin{enumerate}[label=(U\arabic*)]
+    \item 
+        $\langle x, x \rangle > 0$ für alle $0 \ne x ∈ X$.
+    \item
+        $\langle  x, y \rangle = \cl {\langle  y, x \rangle}$ für alle $x, y ∈ X$.
+    \item
+        $\langle x, αy + β z \rangle = α \langle  x, y \rangle + β \langle  x,z \rangle$ für alle $α, β ∈ \K$, $x,y,z ∈ X$.
+    \end{enumerate}
+    $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Skalarproduktraum}, \emph{unitärer Raum} oder \emph{Prähilbertraum}.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Offenbar ist $\langle -,- \rangle$ in der ersten Komponente konjugiert linear.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X, \langle  -,- \rangle)$ ein unitärer Raum. Dann gelten die folgenden Aussagen:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Durch $\norm x := \sqrt{\langle  x, x \rangle}$ wird eine Norm definiert.
+        Dadurch wird jeder unitäre Raum auf natürliche Art und Weise normiert und trägt dadurch die induzierte natürliche Topologie.
+    \item
+        $|\langle  x,y \rangle| \le \norm x \norm y$ mit Gleichheit genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig (Cauchy-Schwarz-Ungleichung).
+    \item
+        $\norm {x+y}^2 + \norm{x-y}^2 = 2(\norm x^2 + \norm y^2)$ (Parallelogrammgleichung),
+    \item
+        Für $\K = ℝ$ gilt
+        \[
+            \langle  x,y  \rangle = \frac 1 4 \left( \norm { x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right),
+        \]
+        für $\K = ℂ$
+        \[
+            \langle  x, y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 - i \norm{x+iy}^2 + i\norm{x-iy}^2 \right).
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Einfaches Nachrechnen unter Verwendung von (b)
+    \item
+    Für $y = 0$ ist die Behauptung klar. Sei also $y \ne 0, α ∈ ℂ$.
+    Dann
+    \[
+        \langle  x + αy, x+αy \rangle = \langle  x, x \rangle + \cl \alpha \langle  y, x \rangle + α \langle  x,y \rangle + |α|^2 \langle y,y \rangle.
+    \]
+    Speziell für $\cl \alpha := - \frac{\langle  x,y \rangle}{\langle y,y \rangle}$ ergibt sich
+    \[
+        0 \le \langle x + αy, x+α+ \rangle = \langle  x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} + \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle} = \langle x,x \rangle - \frac{|\langle x,y \rangle^2|}{\langle y,y \rangle}.
+    \]
+    Durch Umstellen ergibt sich
+    \[
+        \langle  x, x \rangle \ge \frac{|\langle x,y \rangle|^2}{\langle y,y \rangle} \gdw |\langle x,y \rangle|^2 \le \norm x ^2 \norm y^2.
+    \]
+    Die CSU erhält man durch Wurzel ziehen.
+    Gleichheit gilt genau dann, wenn
+    \[
+        \langle  x+ α y, x+αy \rangle = 0 \gdw x + αy = 0,
+    \]
+    also wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind.
+    \item
+        Es gilt
+        \[
+            \norm {x \pm y}^2 = \norm x^2 \pm 2\Re(\langle x,y \rangle) + \norm y ^2.
+        \]
+        Addieren dieser Gleichungen für $+$ und $-$ ergibt die Behauptung.
+    \item
+        Es gilt
+        \[
+            \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 = (\norm x^2 + 2 \Re \langle x,y\rangle + \norm y^2)  - (\norm x^2 - 2 \Re \langle x,y \rangle + \norm y^2) = 4 \Re \langle  x,y \rangle.
+        \]
+        Analog haben wir
+        \[
+            -i \norm{x+iy}^2 + i \norm{x-iy}^2 = … = 4i \Im \langle x,y \rangle,
+        \]
+        was die Behauptung impliziert.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum, der die Parallelogrammgleichung erfüllt.
+    Dann definieren
+        \[
+            \langle  x,y  \rangle = \frac 1 4 \left( \norm { x+y}^2 - \norm{x-y}^2 \right),
+        \]
+        und
+        \[
+            \langle  x, y \rangle = \frac 1 4 \left( \norm {x+y}^2 - \norm{x-y}^2 - i \norm{x+iy}^2 + i\norm{x-iy}^2 \right).
+        \]
+        Skalarprodukte auf $X$ (für $\K = ℝ$ bzw $ℂ$).
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Stupides nachrechnen (oder so ähnlich).
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+    \begin{enumerate}
+    \item Die Paralellogramgleichung ist also charakteristisch für unitäre Räume.
+    \item
+        $(C(S),\norm\cdot_∞)$ mit $S ⊂ ℝ^n$ kompakt erfüllt dies nicht.
+    \item
+        Die Abbildung $\langle -,- \rangle$ in unitären Räumen ist stetig in beiden Komponenten als unmittelbare Konsequenz aus der Stetigkeit der Norm.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}
+    Ein bezüglich der Norm $\norm - := \sqrt{ \langle -,- \rangle}$ vollständiger unitärer Raum $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Hilbertraum}.
+\end{definition}
+
+
 \end{document}
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