diff options
| -rw-r--r-- | funkana.tex | 2 | ||||
| -rw-r--r-- | inhalt.tex | 281 | ||||
| -rw-r--r-- | pdf/funkana.pdf | bin | 84253 -> 117552 bytes |
3 files changed, 283 insertions, 0 deletions
diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 3104858..c8d04ff 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -11,6 +11,8 @@ \def\L{\mathcal{L}} \def\T{\mathcal T} \def\U{\mathcal{U}} +\def\iff{\Leftrightarrow} +\def\gdw{\Longleftrightarrow} \newcommand\cl[1]{\overline{#1}} \newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)} \DeclareMathOperator{\End}{End} @@ -378,6 +378,287 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol \end{enumerate} \end{bemerkung} + +%%%%% VORLESUNG VOM DONNERSTAG, 19. OKTOBER FEHLT + +\section{Metrische Räume} +\begin{lemma}[Eigenschaften metrischer Räume] + Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. + \begin{enumerate} + \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis + \[ + \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}. + \] + + \item + Es gilt + \[ + \lim_{n \to ∞} x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→∞} d(x,x_n) = 0. + \] + \item + Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $ε > 0$ existiert mit $B_ε(x_0) ⊂ M$. + \item + $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel $B_ε(x_0)$ mit $x_0 ∈ X, ε > 0$ eine Kugel $B_δ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ mit $B_θ(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. + \item + Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume. + Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik + \[ + d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\} + \] + oder auch mit + \[ + d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}. + \] + Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie) + \item + Homöomorphismen $f: X → Y$ (für metrische Räume $X, Y$), die die Metrik respektieren, das heißt + \[ + d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X + \] + heißen \emph{Isometrien}. + \item + Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben. + Man betrachte hierzu die Menge $X := \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik. + Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist. + \end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{proof} +Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist. +\end{proof} + +Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. +\begin{satz} + Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt) + \item + Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt) + \item + Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt) + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{bemerkung} + Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}. + Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie. + Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt. +\end{bemerkung} + +\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} +\begin{definition} + Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $ε > 0$ ein $N = N(ε)$ existiert mit $d(x_m,x_n) < ε$ für alle $n,m \ge N$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Jede Konvergente Folge $(X_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge. +\end{lemma} + +\begin{definition} + Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert. +\end{definition} + +Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$), +jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. + +\begin{satz} + Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten. + Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$. +\end{satz} +\begin{proof} + Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow{n → ∞} 0$. + Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt + \[ + \tilde X := \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\} + \] + und + \[ + \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) := \lim_{n → ∞} d(x_n,y_n). + \] + Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da + \[ + |d(x_n,x_m) - d(y_m,y_m) | \le \underbrace{d(x_n,x_m)}_{→ 0} + \underbrace{d(y_n,y_m)}_{→ 0}. + \] + Da $ℝ$ bekanntlich vollständig ist, existiert somit der Grenzwert. + Ferner ist $\tilde d$ Repräsentatenunabhängig, also wohldefiniert: + Seien $(\tilde x_n)$ und $(\tilde y_n)$ andere Repräsentaten. Dann ist + \[ + d(x_n,y_n) \le \underbrace{d(x_n,\tilde x_n)}_{→ 0} + d(\tilde x_n,\tilde y_n) + \underbrace{d(\tilde y_n, y_n)}_{→ 0}. + \] + Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist. + Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten. +\end{proof} + +\begin{bemerkung-nn} + Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle. +\end{bemerkung-nn} + + +\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz} + Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien + $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞) $ Folgen mit der Eigenschaft + \begin{enumerate} + \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$ + \item $\lim_{n \to ∞} r_n = 0$. + \end{enumerate} + Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ \cl B_{r_n} (x_n)}$. +\end{satz} +\begin{proof} + + Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt + \[ + \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n). + \] + Also + \[ + d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow{n → ∞} 0. + \] + Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$. + Außerdem gilt + \[ + d(xp,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → ∞)} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}. + \] + Damit folgt für $p → ∞$ + \[ + d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ + \] + also $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$. + Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$. + Dann folgt + \[ + d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow{n → ∞} 0. + \] + Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder \emph{mager}, falls sie + die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}. +\end{definition} + +Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem. + + +\begin{satz}[Baire]\label{baire} + Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst) +\end{satz} +\begin{proof} + Sei $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt + \[ + M ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} M_n + \] + mit $M_n ⊂ X$ nirgends dicht. Wähle $x_0 ∈ M$. Da $M$ offen ist, gibt es ein $r = r_0 > 0$ mit $B_{r_0}(x_0) ⊂ M$. + Da $M_1$ nirgends dicht ist, gibt es $r_1 > 0$ und $x_1 ∈ X$ mit + \[ + B_{r_1}(x_1) ⊂ B_{r_0/2} (x_0) + \] + und $B_{r_1}(x_1) ∩ M_1 = \emptyset$. + Analog finden wir, da $M_2$ nirgends dicht ist, $r_2 > 0$ und $x_2 ∈ X$ mit + \[ + B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1) + \] + und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$. + Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow{n → ∞} 0$. + Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein + \[ + \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M. + \] + Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie. +\end{proof} + +% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire} +% Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum +% \begin{enumerate} +% \item +% Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$. +% Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht. +% \item +% Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist +% $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$. +% \item +% Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit +% $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ +% \ne \emptyset$. +% \end{enumerate} +% \end{satz} +% \begin{proof} +% \begin{enumerate} +% \item +% Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne +% \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik +% $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ +% und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv +% Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden +% Eigenschaften: +% \begin{enumerate}[label=(\roman*)] +% \item +% $0 < r_n < \frac 1 n$ +% \item +% $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ +% \end{enumerate} +% Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen +% ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > ε > 0$ mit $B_ε(x_n) ⊂ U_n ∩ +% B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac ε 2$ ist wie gewünscht. Für $m +% \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, +% dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit +% konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > +% N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass +% \begin{align*} +% x &= \lim_{m → ∞} x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\ +% & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W, +% \end{align*} +% also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$. + +% Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es +% $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt +% mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen +% $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: +% \begin{enumerate}[label=(\roman*)] +% \item +% $B_k ⊂ B_{k-1}$ +% \item +% $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$. +% \end{enumerate} +% Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und +% der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und +% nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch +% eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$. +% Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge +% $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft. +% Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ +% abgeschlossen, somit folgt +% \[ +% \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k +% \] +% sowie +% \[ +% \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W. +% \] +% Insgesamt also +% \[ +% \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W. +% \] +% \item +% Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und +% dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und +% somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n +% ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$. +% \item +% Das ist eine direkte Konsequenz aus (b). +% \end{enumerate} +% \end{proof} + + +\chapter{Topologische lineare Räume} +Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorherigen beiden Kapiteln, also die Topologie und den linearen Raum zusammenzuführen. +\begin{definition} + Ein linearer Raum $X$ über dem Körper $\K$ mit Topologie $\T$ heißt \emph{topologischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen ($+ : X×X → X$ und $\cdot: \K×X → X$) stetig sind. +\end{definition} + +\begin{bemerkung-nn} + Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden. + Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt. +\end{bemerkung-nn} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex 0fcbec3..3c326b3 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf |