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@@ -11,6 +11,8 @@
 \def\L{\mathcal{L}}
 \def\T{\mathcal T}
 \def\U{\mathcal{U}}
+\def\iff{\Leftrightarrow}
+\def\gdw{\Longleftrightarrow}
 \newcommand\cl[1]{\overline{#1}}
 \newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)}
 \DeclareMathOperator{\End}{End}
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index d910123..b02e2cf 100644
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@@ -378,6 +378,287 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
 
+
+%%%%% VORLESUNG VOM DONNERSTAG, 19. OKTOBER FEHLT
+
+\section{Metrische Räume}
+\begin{lemma}[Eigenschaften metrischer Räume]
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
+    \begin{enumerate}
+    \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis
+        \[
+            \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}.
+        \]
+
+    \item
+        Es gilt
+        \[
+            \lim_{n \to ∞} x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→∞} d(x,x_n) = 0.
+        \]
+    \item
+        Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $ε > 0$ existiert mit $B_ε(x_0) ⊂ M$.
+    \item
+        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder  Kugel $B_ε(x_0)$ mit $x_0 ∈ X, ε > 0$ eine Kugel $B_δ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ mit $B_θ(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
+    \item
+        Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume.
+        Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik
+        \[
+            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\}
+        \]
+        oder auch mit 
+        \[
+            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}.
+        \]
+        Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie)
+    \item
+        Homöomorphismen $f: X → Y$ (für metrische Räume $X, Y$), die die Metrik respektieren, das heißt
+        \[
+            d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X
+        \]
+        heißen \emph{Isometrien}.
+    \item
+        Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
+        Man betrachte hierzu die Menge $X := \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
+        Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist.
+\end{proof}
+
+Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
+\begin{satz}
+    Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt)
+    \item
+        Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen  Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt)
+    \item
+        Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt)
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+    Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}.
+    Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie.
+    Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
+\end{bemerkung}
+
+\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
+\begin{definition}
+    Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $ε > 0$ ein $N = N(ε)$ existiert mit $d(x_m,x_n) < ε$ für alle $n,m \ge N$.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}
+    Jede Konvergente Folge $(X_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
+\end{lemma}
+
+\begin{definition}
+    Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert.
+\end{definition}
+
+Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$),
+jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
+
+\begin{satz}
+    Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten.
+    Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow{n → ∞} 0$.
+    Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt
+    \[
+        \tilde X := \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
+    \]
+    und
+    \[
+        \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) := \lim_{n → ∞} d(x_n,y_n).
+    \]
+    Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da
+    \[
+        |d(x_n,x_m) - d(y_m,y_m) | \le \underbrace{d(x_n,x_m)}_{→ 0} + \underbrace{d(y_n,y_m)}_{→ 0}.
+    \]
+    Da $ℝ$ bekanntlich vollständig ist, existiert somit der Grenzwert.
+    Ferner ist $\tilde d$ Repräsentatenunabhängig, also wohldefiniert:
+    Seien $(\tilde x_n)$ und $(\tilde y_n)$ andere Repräsentaten. Dann ist
+    \[
+        d(x_n,y_n) \le \underbrace{d(x_n,\tilde x_n)}_{→ 0} + d(\tilde x_n,\tilde y_n) + \underbrace{d(\tilde y_n, y_n)}_{→ 0}.
+    \]
+    Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist.
+    Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
+\end{bemerkung-nn}
+
+
+\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz}
+    Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
+    $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞) $ Folgen mit der Eigenschaft
+    \begin{enumerate}
+    \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$
+    \item $\lim_{n \to ∞} r_n = 0$.
+    \end{enumerate}
+    Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ \cl B_{r_n} (x_n)}$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+
+    Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt
+    \[
+        \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n).
+    \]
+    Also
+    \[
+        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow{n → ∞} 0.
+    \]
+    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
+    Außerdem gilt
+    \[
+        d(xp,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → ∞)} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
+    \]
+    Damit folgt für $p → ∞$
+    \[
+        d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ
+    \]
+    also $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
+    Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
+    Dann folgt
+    \[
+        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow{n → ∞} 0.
+    \]
+    Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+    Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder  \emph{mager}, falls sie
+     die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}.
+\end{definition}
+
+Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.
+
+
+\begin{satz}[Baire]\label{baire}
+    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst)
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Sei  $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt
+    \[
+        M ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} M_n
+    \]
+    mit $M_n ⊂ X$ nirgends dicht. Wähle $x_0 ∈ M$. Da $M$ offen ist, gibt es ein $r = r_0 > 0$ mit $B_{r_0}(x_0) ⊂ M$.
+    Da $M_1$ nirgends dicht ist, gibt es $r_1 > 0$ und $x_1 ∈ X$ mit
+    \[
+        B_{r_1}(x_1) ⊂ B_{r_0/2} (x_0)
+    \]
+    und $B_{r_1}(x_1) ∩ M_1 = \emptyset$.
+    Analog finden wir, da $M_2$ nirgends dicht ist, $r_2 > 0$ und $x_2 ∈ X$ mit
+    \[
+        B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1)
+    \]
+    und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
+    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow{n → ∞} 0$.
+    Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein
+    \[
+        \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
+    \]
+    Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie.
+\end{proof}
+
+% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire}
+%     Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum
+%     \begin{enumerate}
+%     \item
+%         Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
+%         Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
+%     \item
+%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
+%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
+%     \item
+%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
+%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
+%         \ne \emptyset$.
+%     \end{enumerate}
+% \end{satz}
+% \begin{proof}
+%     \begin{enumerate}
+%     \item
+%         Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
+%         \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
+%         $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
+%         und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
+%         Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
+%         Eigenschaften:
+%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+%         \item
+%             $0 < r_n < \frac 1 n$
+%         \item
+%             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
+%         \end{enumerate}
+%         Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
+%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > ε > 0$ mit $B_ε(x_n) ⊂ U_n ∩
+%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac ε 2$ ist wie gewünscht. Für $m
+%         \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
+%         dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
+%         konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
+%         N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
+%         \begin{align*}
+%           x &= \lim_{m → ∞} x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
+%           & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
+%           \end{align*}
+%         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
+
+%         Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
+%         $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
+%         mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
+%         $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
+%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+%         \item
+%             $B_k ⊂ B_{k-1}$
+%         \item
+%             $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
+%         \end{enumerate}
+%         Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
+%         der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
+%         nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
+%         eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
+%         Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
+%         $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
+%         Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
+%         abgeschlossen, somit folgt 
+%         \[
+%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
+%         \]
+%         sowie
+%         \[
+%             \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
+%         \]
+%         Insgesamt also
+%         \[
+%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
+%         \]
+%     \item
+%         Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
+%         dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
+%         somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
+%         ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
+%     \item
+%         Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
+%     \end{enumerate}
+% \end{proof}
+
+
+\chapter{Topologische lineare Räume}
+Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorherigen beiden Kapiteln, also die Topologie und den linearen Raum zusammenzuführen.
+\begin{definition}
+    Ein linearer Raum $X$ über dem Körper $\K$ mit Topologie $\T$ heißt \emph{topologischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen ($+ : X×X → X$ und $\cdot: \K×X → X$) stetig sind.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden.
+    Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt.
+\end{bemerkung-nn}
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "funkana"
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index 0fcbec3..3c326b3 100644
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+++ b/pdf/funkana.pdf