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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index d100444..babd6de 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -26,6 +26,7 @@ \DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} \DeclareMathOperator{\conv}{conv} \DeclareMathOperator{\im}{im} +\DeclareMathOperator{\id}{id} \let\Re\relax \DeclareMathOperator{\Re}{Re} \let\Im\relax @@ -1853,8 +1853,201 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische Also $A$ präkompakt. \end{proof} +Hier fehlt eine Vorlesung. + +\section{?} + +\begin{satz} + 3.6.4. +\end{satz} +Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. +\begin{proof} + $(1) \iff (2)$ schon gezeigt. + + $(3) \iff (4)$ klar durch die Charakterisierung von beschränkten Mengen in + normierten Räumen und Ausnutzung der Linearität. + + $(2) \Rightarrow (4)$. Sei $T$ stetig in $x^*$. Wähle $ε > 0$, so dass $T(\cl B_ε(x^*)) ⊂ B_1(T(x^*))$. + Dann gilt für alle $x ∈ \cl B _1 (0)$ + \[ + x^* + ε x ∈ \cl B_ε(x^*) + \] + und $T(x^*) + εT(x) = T(x^* + εx) ∈ B_1(T(x^*))$, das heißt $ε T(x) ∈ B_1(0)$ oder $\norm{T(x)}_Y \le \frac 1 {ε} =: M$ + + $(4) \Rightarrow (5)$. Für $x \ne 0$ gilt + \[ + \norm{T(x)} \le \norm x \norm{T\left( \frac x {\norm x} \right)} \le M \norm x, + \] + also gilt die Aussage mit $C := M$. + + $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt + \[ + \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \xrightarrow[x → x_1]{} 0. + \] + Damit ist $T$ stetig in $x_1$. +\end{proof} + +\begin{korollar} + Sei die Situation wie in 6.4 Ist $T$ zusätzlich bijektiv, so ist $T$ genau dann ein Homöomorphismus, wenn es Konstanten $m, M > 0$ gibt mit + \[ + m \norm x \le \norm {T(x)} \le M \norm {x} + \] + für alle $x ∈ X$ +\end{korollar} +\begin{beweis} + klar. +\end{beweis} + +\begin{warnung-nn} + $T$ linear, bijektiv und stetig impliziert selbst in normierten Räumen noch nicht, dass auch die Inverse Abbildung $T^{-1}$ auch stetig ist, wie wir in der Übung sehen werden. + Sind $X$ und $Y$ aber Banachräume, so gilt dies aber (Satz von der offenen Abbildung). +\end{warnung-nn} + +Nun zur Charakterisierung von Stetigkeit in metrischen linearen Räumen. + +\begin{satz} + Sei $T: X → Y$ linear, $X$, $Y$ lineare metrische Räume. + Dann ist $T$ genau dann stetig, wenn $T$ beschränkt ist. +\end{satz} + +In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. + +\begin{satz} + 3.6.7 +\end{satz} +\begin{proof} + Nur „$\Leftarrow$“: Nach 6.6 reicht es, Beschränktheit von $T$ zu zeigen, also dass, wenn $B ⊂ X$ beschränkt ist, auch $TN?) ⊂ Y$ beschränkt ist. + $B ⊂ X$ ist genau dann beschränkt, wenn für alle $k ∈ ℕ$ $C_k > 0$ existieren mit $p_k(x) \le C_k$ für alle $x ∈ B$. + Nach Voraussetzung ist dann aber auch für alle $x ∈ B$ + \[ + q_m(Tx) \le M_m(C_{n_1} + … + C_{n_k}) =: K_m, + \] + was nach 5.2 heißt, dass $T(B)$ beschränkt in $Y$ ist. +\end{proof} + +\begin{definition} + Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet $\L(X, Y) := \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}. + Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' := \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{Dualraum von $X$}. +\end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + \begin{enumerate} + \item + $\L(X,Y)$ ist wieder ein linearer Raum. + \item + Metrische lineare Räume haben Dualräume, die im Allgemeinen nicht mehr metrisierbar sind. + \item + $X' = \{ 0\}$ ist möglich, wie wir in der Übung sehen werden + \item + Ist $X$ jedoch normierbar, so folgt aus den Hahn-Banach-Sätzen, dass $X'$ nichttrivial ist. + \item + Falls $X$ und $Y$ normierte Räume sind, dann wird $\L(X, Y)$ ebenfalls zu einem normierten Raum mit der Operatornorm + \[ + \norm T := \norm T _{\L(X,Y)} := \sup \{\norm x _X \le 1\} \norm {Tx}_Y = \inf \{ C ≥ 0: ∀x ∈ X: \norm {Tx} \le C \norm x \}. + \] + Das heißt, wir haben + \begin{equation} + \label{eq:61} + ∀x ∈ X: \norm {Tx}_Y \le \norm T \norm x _X + \end{equation} + Also haben wir + \[ + \norm{(T_1 + T_2)x} = \norm{T_1x + T_2x} \le \norm{T_1x} + \norm{T_2x} \le \left( \norm{T_1} + \norm{T_2} \right) \norm{x}, + \] + und somit $T_1 + T_2 ∈ \L(X,Y)$ und $\norm{T_1 + T_2} \le \norm{T_1} + \norm{T_2}$ nach \eqref{eq:61}. + \item + Auf $\L(ℝ^n,ℝ^m)$ ergeben sich die bekannten Matrixnormen. + \end{enumerate} +\end{bemerkung-nn} + +\begin{satz} + Seien $X, Y$ normierte Räume, $Y$ vollständig. Dann ist $\L(X,Y)$ ein Banachraum. + Insbesondere ist $X'$ immer ein Banachraum. + + Sei $Z$ ebenfalls ein normierter Raum. + Ist $T ∈ \L(X,Y)$, $S ∈ \L(Y,Z)$, so ist $ST ∈ \L(X,Z)$ und $\norm{ST}_{\L(X,Z)} \le \norm S \norm T$. +\end{satz} + +\begin{proof} + Es ist nur noch die Vollständigkeit zu zeigen. + Sei dazu $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X,Y)$. + Das heißt, für jedes $ε > 0$ existiert ein $N_0$ mit $\norm {T_n - T_m} < ε$ für $n, m > N_0$. + Also mit \eqref{eq:61} $\norm {T_n x - T_mx} \le \norm {T_n - T_m} \norm x < ε \norm x$ für alle $x ∈ X$ und $n,m > N_0$. + Insbesondere ist $(T_nx)_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $Y$. Da $Y$ vollständig ist, besitzt diese Folge einen Grenzwert $y_x ∈ Y$. + Wir definieren eine Abbildung + \[ + T: X → Y, x ↦ y_x. + \] + Dann ist $T$ linear, weil alle $T_n$ linear sind. Also ist nur die Stetigkeit von $T$ und die Konvergenz von $(T_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $T$ zu zeigen. + Für die Stetigkeit bekommt man unter Verwendung der Dreicksunglechung direkt + \[ + \left| \norm {T_n} - \norm{T_m} \right| \le \norm {T_n - T_m} < ε \quad ∀ n, m ≥ N_0, + \] + also eine Cauchyfolge $\left( \norm{T_n} \right)_{n ∈ ℕ}$ in $ℝ$, die wegen der Vollständigkeit von $ℝ$ konvergent, also insbesondere auch beschränkt ist. + Damit gibt es $M > 0$ mit $\norm {T_n} \le M$ für alle $n ∈ ℕ$, also mit~\eqref{eq:61} + \[ + \norm{Tx} \xleftarrow[n → ∞]{} \norm{T_nx } \le M \norm x, ∀ x ∈ X, + \] + also die stetigkeit von $T$. + Jetzt zur Konvergenz: + Für $\norm x \le$ 1 gilt + \[ + \norm {T_n x - T_m x } < ε, \quad ∀n, m ≥ N_0, + \] + also durch Grenzwertbildung $n → ∞$ + \[ + \norm {T_n x - T x } < ε, \quad ∀n ≥ N_0, + \] + und mit~\eqref{eq:61} + \[ + \norm {T_n -T} = \sup_{\norm x \le 1} \norm {T_n x - T_x} < ε, \quad ∀ n ≥ N_0, + \] + das heißt $T_n → T$ wie gewünscht. + + Für den Zusatz haben wir + \[ + \norm {S(Tx)} ≤ \norm S \norm {Tx} \le \norm S \norm T \norm x. + \] + Da das für alle $x ∈ X$ gilt, haben wir $\norm {ST} ≤ \norm S \norm T$. +\end{proof} + + +\begin{korollar} + Ist $X$ ein Banachraum, dann ist $\L(X) := \L(X,X)$ eine \emph{Banachalgebra}, das heißt ein vollständiger normierter Vektorraum mit einer Multiplikation, so dass für $T, S ∈ \L(X)$ gilt: + \[ + \norm {TS} \le \norm T \norm S. + \] +\end{korollar} + +\begin{bemerkung} + Ist $T ∈ \L(X,Y)$, so ist $\ker T$ als Urbild der abgeschlossenen Menge $\{ 0\}$ stets abgeschlossen in $X$. + Das Bild hingegen $R(T) := \im T$ ist im Allgemeinen jedoch nicht abgeschlossen. + Wann sind Elemente in $\L(X)$ invertierbar? +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + Sei $X$ ein Banachraum und $\T ∈ \L(X)$ mit $\limsup\limits_{m → ∞} \norm{T}^{1/m} < 1$. Dann ist $(\id - T)^{-1} ∈ \L(X)$ und es gilt + \[ + (\id-T)^{-1} = \ lim_{m → ∞} \sum_{n = 0}^m T^n =: \sum_{n = 0}^∞ T^n ∈ \L(X). + \] + mit Konvergenz in $\L(X)$. +\end{satz} +\begin{proof} + Wähle $m_0$ und $Θ < 1$ mit $\norm {T^n} < Θ^n$ für $n ≥ m_0$. + Für $S_k \sum_{n=0}^k T^n$ gilt dann für $m_0 \le k < l$ + \[ + \norm{ S_l - S_k} = \norm { \sum_{n=k+1}^l T^n} \le \sum_{n=k+1}^l \norm{ T^k} \le \sum_{n=k+1}^l Θ^n < ε, \quad k, l ≥ N_0. + \] + Damit ist $(S_k)_{k ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $\L(X)$ und somit konvergent. + Sei $S$ der Grenzwert. Dann gilt für jedes $x ∈ X$ auch $S_k x \xrightarrow[k → ∞]{\norm\cdot_{X}} Sx$, also damit ist für alle $x∈ X$ + \[ + (\id - T) Sx = \lim_{k → ∞} (\id -T) S_k x = \lim_{k → ∞} \sum_{n=0}^k (T^n -T^{n-1})x = \lim_{k→∞} x - T^{k+1}x = x. + \] + Damit ist $(\id -T)S = \id$. Da sich analog $S(\id-T) = \id$ auch zeigen lässt, folgt die Behauptung. +\end{proof} + + \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" -%%% End: +%%% End:
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