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diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index c7bfea4..262d130 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -1,12 +1,18 @@ \chapter{Die lineare Struktur} +\label{cha:die-lineare-struktur} +\index{Struktur!lineare} \section{Der lineare Raum} +\label{sec:der-lineare-raum} Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die -\begin{definition}[Vektorraum] +\begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum] + \label{defi:vektorraum-1.1.1} + \index{Raum!linearer} + \index{Vektorraum} Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung \[ \cdot : \K × X → X \] - heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt: + heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt: \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)] \item $\alpha x+y) = \alpha x + βy$ \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$ @@ -14,35 +20,34 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \item $1 \cdot x = x$ \end{enumerate} \end{definition} - \begin{bemerkung-nn} Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Raum!linearer Teil-} Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist. $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Aufspann} Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$. Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$ \[ \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}. \] \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Basis!Hamel-} $M = \{x_\lambda \}_{\lambda ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt, $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Dimension} Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$. Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $). \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Summe} Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist \[ X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\} @@ -50,22 +55,24 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die ebenfalls ein linearer Teilraum. Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}. \end{bemerkung-nn} - \begin{bemerkung-nn} + \index{Raum!Quotienten-} Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$. Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum. Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$. \end{bemerkung-nn} - -\begin{satz}\label{01-vr-besitzt-basis} +\begin{satz} + \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2} Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis. \end{satz} \begin{proof} - Folgt unmittelbar aus \cref{01-basisergaenzungssatz}. + Folgt unmittelbar aus \cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}. \end{proof} -\begin{satz}[Basisergänzungssatz]\label{01-basisergaenzungssatz} +\begin{satz}[Basisergänzungssatz] + \index{Satz!Basisergänzungs-} + \label{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} Sei $M ⊂ X$ eine linear unabhängige Teilmenge. Dann gibt es eine Basis $B$ von $X$ mit $M ⊂ B$. \end{satz} @@ -79,6 +86,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{proof} \section{Beispiele} +\label{sec:beispiele} +\index{$ℝ^n$} \begin{beispiel} Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum. \end{beispiel} @@ -94,6 +103,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{beispiel} \begin{beispiel}[Folgenräume] + \index{$\ell^p$} Es ist \[ \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \} @@ -114,8 +124,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die c_0 = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \right\}. \] \end{beispiel} - -\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] +\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] \index{$L^p$} + \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar} Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$. Dann ist \[ @@ -130,7 +140,11 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{beispiel} \section{Lineare Abbildungen} -\begin{definition} +\label{sec:lineare-abbildungen} +\begin{definition}[Lineare Abbildung] + \index{Funktion!linear} + \index{Abbildung!linear} + \label{defi-lineare-abbildung-1.3.1} Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt: \[ A(\alpha x_1 + βx_2) = \alpha A(x_1) + βA(x_2). @@ -138,8 +152,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}. Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$. \end{definition} - \begin{bemerkung} + \label{bem:lineare-abb-eigenschaften-1.3.2} Sei $A: X → Y$ linear. \begin{enumerate} \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei Injektivität. @@ -156,6 +170,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \item $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$ gibt. \item + \index{isomorph!linear} Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.} $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}. @@ -222,6 +237,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die \end{beispiel-nn} \section{Duale Räume} +\label{sec:duale-raume} $A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$) \[ x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}. @@ -246,12 +262,16 @@ So ist \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K \] bilinear. -\begin{definition} +\begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum] + \index{Raum!algebraischer Dual-} + \index{Raum!algebraischer Bidual-} + \label{defi:alg-dualraum-bidualraum-1.4.1} $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$. $X^{ff} \coloneq (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$. \end{definition} - \begin{beispiel-nn} + \index{$J$} + \index{Abbildung!kanonische} $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung \[ J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x'' @@ -262,12 +282,13 @@ bilinear. \] Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert. \end{beispiel-nn} - -\begin{definition} +\begin{definition}[algebraisch reflexiv] + \index{algebraisch reflexiv} + \label{defi:alg-reflexiv-1.4.2} Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist. \end{definition} - \begin{bemerkung} + \label{bem:X-alg-reflexiv-gdw-dim-endlich-1.4.3} $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < \infty $ ist. Im Fall $\dim X < \infty $ lässt sich leicht eine duale Basis angeben: @@ -282,6 +303,8 @@ bilinear. \end{bemerkung} \begin{definition}[Dualraum] + \index{Raum!Dual-} + \label{defi:dualraum-1.4.4} Zu einem linearen Raum $X$ ist \[ X' \coloneq \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex index 97c6b88..dad2256 100644 --- a/ch02-topologie.tex +++ b/ch02-topologie.tex @@ -1,63 +1,86 @@ \chapter{Topologie} +\label{cha:topologie} \section{Topologische Räume} -\begin{definition} - Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$. - $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. - Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten. +\label{sec:topologische-raume} +\begin{definition}[Topologischer Raum, offene Mengen] + \index{Raum!topologischer} + \index{Struktur!topologische} + \index{offen} + \index{Topologie} + \label{defi:top-raum-2.1.1} + Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$. + $\T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. + Insbesondere muss $\T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten. $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen} \end{definition} \begin{beispiele-nn} \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item + \index{Topologie!indiskrete} + \index{Topologie!Klumpen-} Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}. \item + \index{Topologie!diskrete} Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$. \item + \index{Topologie!natürliche} In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt. Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen. Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt. \item + \index{Topologie!cofinite} Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf $X$ wird definiert als \[ \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\} \] \item + \index{Raum!Sierpinski-} Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$. \end{enumerate} \end{beispiele-nn} - \begin{definition} + \label{defi:top-grundbegriffe-2.1.2} Sei $M ⊂ X$. \begin{enumerate} \item + \index{abgeschlossen} $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus M$ offen ist. \item + \index{Umgebung} $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen \[ \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}. \] + \index{Umgebungssystem} + \index{Umgebungsfilter} $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$. Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$. \item + \index{Häufungspunkt} $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$. \item + \index{Inneres} Das \emph{Innere von M} ist \[ \operatorname{int} M \coloneq M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\} \] die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist. \item + \index{Abschluss} Der \emph{Abschluss von} M ist \[ \operatorname{cl} M \coloneq \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\} \] die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält. \item + \index{kompakt} $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt. \item + \index{dicht} $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$. \item + \index{dicht!nirgends} $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$. \end{enumerate} \end{definition} @@ -70,21 +93,21 @@ $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$. \end{enumerate} \end{bemerkung} - - \begin{definition}[Hausdorff-Raum] + \index{Raum!Hausdorff-} + \label{defi:hausdorff-raum-2.1.4} Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum. Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$. Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom. \end{definition} - \begin{beispiele-nn} \begin{enumerate} \item Ein Pseudometrischer Raum $(X,d)$ ist Hausdorff"=Raum genau dann, wenn $d$ eine Metrik ist. \item + \index{Raum!Sierpinski-} Der Sierpinski"=Raum $(\{0,1\}),\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$ ist kein Hausdorff"=Raum. \item Sei $X = \prod_{i ∈ I} X_i$ ausgestattet mit dem Produkt $\T$ der Topologien @@ -96,6 +119,8 @@ \end{beispiele-nn} \begin{definition}[Konvergenz] + \index{Folge!konvergent} + \label{defi:konvergenz-2.1.5} Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$, falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$. @@ -113,8 +138,9 @@ Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$ Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen. \end{beweis} - \begin{definition}[Häufungspunkt] + \index{Häufungspunkt} + \label{defi:haeufungspunkt-2.1.6} $x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$, falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ ein $n \geq k \in \N$ existiert, so dass $x_{n} \in U$. @@ -127,8 +153,10 @@ \begin{bemerkung-nn} Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge. \end{bemerkung-nn} - \begin{definition}[Stetigkeit] + \index{stetig} + \index{Abbildung!stetige} + \label{defi:stetigkeit-2.1.7} Seien $(X, \T_X)$ und $(Y, \T_Y)$ topologische Räume, $f: X → Y$. \begin{enumerate} \item @@ -141,16 +169,19 @@ \begin{bemerkung-nn} $f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist. \end{bemerkung-nn} - \begin{definition}[Homöomorphismus] + \index{Homöomorphismus} + \label{defi:homoeomorphismus-2.1.8} Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig, und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig, dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}. $X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus existiert. \end{definition} - \begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen] + \index{Basis!der Topologie} + \index{Basis!Umgebungs-} + \label{defi:basis-top-umgebung-2.1.9} \begin{enumerate} \item Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls $T= \{\bigcup M: M \subset B\}$. @@ -165,8 +196,10 @@ existiert. Sei $x \in \R^n$ fest. Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x \end{beispiel-nn} - \begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie] + \index{Topologie!Relativ-} + \index{Topologie!Spur-} + \label{defi:relativtop-2.1.10} $M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$. \end{definition} @@ -174,8 +207,10 @@ existiert. $M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie. Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein. \end{bemerkung-nn} - \begin{definition} + \index{Topologie!feiner} + \index{Topologie!gröber} + \label{defi:top-feiner-groeber-2.1.11} Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$. Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$. @@ -191,7 +226,6 @@ existiert. Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$. \end{bemerkung-nn} - \begin{beispiel-nn} Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich. $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln @@ -199,8 +233,8 @@ existiert. $\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader $B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird. \end{beispiel-nn} - \begin{definition}[Produkttopologie] + \index{Topologie!Produkt-} Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume. Dann ist die Familie von Mengen \[ @@ -209,26 +243,31 @@ existiert. eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$. Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden. \end{definition} - \section{Metrische Räume} +\index{Raum!metrischer} +\label{sec:metrische-raume} \begin{definition}[Pseudometrik, Metrik] -\label{defi:metrik} + \index{Metrik} + \index{Pseudometrik} + \label{defi:metrik-2.2.1} Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den folgenden Axiomen genügt: - \begin{enumerate}[series=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*] - \item \label{defi:metrik:m1} + \begin{enumerate}[series=metrik,label=(M\arabic*)] + \item Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$. - \item \label{defi:metrik:m2:symmetrie} + \item \emph{Symmetrie:} Für alle $ x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$. - \item \label{defi:metrik:m3:dreiecksungleichung} + \item + \index{Dreiecksungleichung} \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y) \le d(x,y) + d(z,y)$. \end{enumerate} $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich - \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*] - \item \label{defi:metrik:m4:posdef} + \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(M\arabic*)] + \item $d(x,y) = 0 \implies x = y$ \end{enumerate} + \index{Kugel!offene} erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$ definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als \[ @@ -238,9 +277,11 @@ existiert. \[ \cl{B_r}(x) \coloneq \{y ∈ X: d(x,y) \le r\} \] + \index{Kugel!abgeschlossene} heißt \emph{abgeschlossene Kugel}. \end{definition} \begin{satz} + \label{satz:metrik-induziert-top-2.2.2} Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch \[ U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U @@ -272,6 +313,7 @@ existiert. \] \end{bemerkung-nn} \begin{satz} + \label{satz:metr-raum-ist-t2-2.2.3} Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Dann genügt $(X,\T_d)$ dem $T_2$-Axiom. \end{satz} @@ -290,7 +332,6 @@ existiert. \[ \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}. \] - \item Es gilt \[ @@ -319,6 +360,7 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X \] heißen \emph{Isometrien}. + \index{Isometrie} \item Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben. Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik. @@ -328,32 +370,39 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. \begin{noproof} Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist. \end{noproof} - Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \begin{satz} + \index{kompakt} + \label{satz:metr-raum-kompaktheit-aequ-charakt-2.2.4} Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent: \begin{enumerate} \item + \index{kompakt!überdeckungs!} $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt) \item Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt) \item + \index{kompakt!folgen-} Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt) \end{enumerate} \end{satz} - \begin{bemerkung} Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}. + \index{Abzählbarkeitsaxiom!erstes} Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie. + \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites} Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt. \end{bemerkung} \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} -\begin{definition} +\label{sec:vollst-metr-raum} +\begin{definition}[Cauchy-Folge] + \index{Folge!Cauchy-} + \label{defi-cauchy-folge-2.3.1} Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$. \end{definition} - \begin{lemma} + \label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2} Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge. \end{lemma} \begin{proof} @@ -363,15 +412,17 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε. \] \end{proof} - -\begin{definition} +\begin{definition}[vollständiger metrischer Raum] + \label{defi:vollst-metrisch-raum-2.3.3} + \index{Raum!vollständiger metrischer} + \index{vollständig} Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert. \end{definition} - Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$), jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. - \begin{satz} + \label{satz:metr-raum-vervollstd-2.3.4} + \index{Vervollständigung} Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten. Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$. \end{satz} @@ -397,15 +448,15 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. \] Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist. Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten. + \todo{Hier fehlt noch was.} \end{proof} - \begin{bemerkung-nn} Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle. Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog. \end{bemerkung-nn} - - -\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz} +\begin{satz}[Schachtelsatz] + \label{satz:schachtelsatz-2.3.5} + \index{Satz!Schachtel-} Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft \begin{enumerate} @@ -415,7 +466,6 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$. \end{satz} \begin{proof} - Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt \[ \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n). @@ -424,7 +474,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. \[ d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] - Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$. + Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$, da $X$ vollständig ist. Außerdem gilt \[ d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}. @@ -441,17 +491,20 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. \] Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$. \end{proof} - -\begin{definition} +\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie] + \label{defi:mager-2.3.6} + \index{mager} + \index{Kategorie!erste} + \index{Kategorie!zweite} Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder \emph{mager}, falls sie die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}. \end{definition} - Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem. - - -\begin{satz}[Baire]\label{baire} - Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst) +\begin{satz}[Baire] + \label{satz:bcd-2.3.7} + \index{Satz!von Baire} + \index{BCT} + Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst). \end{satz} \begin{proof} Sei $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt @@ -476,88 +529,89 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B \] Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie. \end{proof} - -% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire} -% Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum -% \begin{enumerate} -% \item -% Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$. -% Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht. -% \item -% Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist -% $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$. -% \item -% Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit -% $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ -% \ne \emptyset$. -% \end{enumerate} -% \end{satz} -% \begin{proof} -% \begin{enumerate} -% \item -% Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne -% \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik -% $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ -% und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv -% Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden -% Eigenschaften: -% \begin{enumerate}[label=(\roman*)] -% \item -% $0 < r_n < \frac 1 n$ -% \item -% $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ -% \end{enumerate} -% Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen -% ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ -% B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon 2$ ist wie gewünscht. Für $m -% \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, -% dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit -% konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > -% N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass -% \begin{align*} -% x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\ -% & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W, -% \end{align*} -% also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$. - -% Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es -% $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt -% mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen -% $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: -% \begin{enumerate}[label=(\roman*)] -% \item -% $B_k ⊂ B_{k-1}$ -% \item -% $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$. -% \end{enumerate} -% Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und -% der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und -% nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch -% eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$. -% Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge -% $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft. -% Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ -% abgeschlossen, somit folgt -% \[ -% \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k -% \] -% sowie -% \[ -% \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W. -% \] -% Insgesamt also -% \[ -% \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W. -% \] -% \item -% Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und -% dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und -% somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n -% ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$. -% \item -% Das ist eine direkte Konsequenz aus (b). -% \end{enumerate} -% \end{proof} +Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung: +\begin{satz}[Baire] + \label{satz:bct-2.3.8} + Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff"=Raum + \begin{enumerate} + \item + Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$. + Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht. + \item + Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist + $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$. + \item + Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit + $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ + \ne \emptyset$. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne + \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik + $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ + und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv + Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden + Eigenschaften: + \begin{enumerate}[label=(\roman*)] + \item + $0 < r_n < \frac 1 n$ + \item + $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ + \end{enumerate} + Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen + ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ + B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon 2$ ist wie gewünscht. Für $m + \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, + dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit + konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > + N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass + \begin{align*} + x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\ + & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W, + \end{align*} + also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$. + + Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es + $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt + mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen + $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: + \begin{enumerate}[label=(\roman*)] + \item + $B_k ⊂ B_{k-1}$ + \item + $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$. + \end{enumerate} + Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und + der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und + nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch + eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$. + Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge + $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft. + Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ + abgeschlossen, somit folgt + \[ + \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k + \] + sowie + \[ + \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W. + \] + Insgesamt also + \[ + \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W. + \] + \item + Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und + dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und + somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n + ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$. + \item + Das ist eine direkte Konsequenz aus (b). + \end{enumerate} +\end{proof} %%% Local Variables: diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index 661d7ee..8c23587 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -1,16 +1,22 @@ \chapter{Topologische lineare Räume} +\label{cha:topol-line-raume} Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorherigen beiden Kapiteln, also die Topologie und den linearen Raum zusammenzuführen. -\begin{definition} +\begin{definition}[topologischer linearer Raum] + \label{defi:top-linearer-raum-3.0.1} + \index{Raum!topologischer linearer} Ein linearer Raum $X$ über dem Körper $\K$ mit Topologie $\T$ heißt \emph{topologischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen ($+ : X×X → X$ und $\cdot: \K×X → X$) stetig sind. \end{definition} - \begin{bemerkung-nn} Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden. Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt. \end{bemerkung-nn} \section{Normierte Räume} -\begin{definition} +\label{sec:normierte-raume} +\begin{definition}[Norm] + \label{defi:norm-3.1.1} + \index{Norm} + \index{Raum!normierter} Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha ∈ K$ gilt: \begin{enumerate} diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index 2a7e625..c058649 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -296,9 +296,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \begin{satz} Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv \end{satz} -\begin{proof} +\begin{noproof} Übung. -\end{proof} +\end{noproof} \begin{bemerkung-nn} Offensichtlich sind $H$ und $H''$ isometrisch isomorph: @@ -329,12 +329,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \begin{beispiel-nn} Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt \[ - \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X (i → \infty ) + \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ) \] \end{beispiel-nn} \begin{bemerkung-nn} - $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0 (i → \infty )$. + $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge + ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} + \not\rightarrow 0\; (i → \infty )$. \end{bemerkung-nn} \begin{proof} @@ -361,6 +363,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$. \end{enumerate} \end{satz} +\begin{noproof} + Übung. +\end{noproof} \section{Darstellungssätze für einige Dualräume} \subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen} @@ -380,10 +385,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum. Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte} \end{proof} -Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$. -\begin{warnung-nn} - Aber $(L^∝(Ω))'$ ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$! -\end{warnung-nn} +Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∞(Ω)$. Aber $(L^∞(Ω))'$ hingegen ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$! \begin{bemerkung-nn} Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind. \end{bemerkung-nn} @@ -42,11 +42,14 @@ } \addbibresource{ref.bib} +\indexsetup{headers={\indexname}{\indexname}} +\makeindex \begin{document} \sloppy \maketitle \section*{Vorwort} +\label{sec:vorwort} Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat. Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld. @@ -73,5 +76,6 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf \nocite{*} \printbibliography +\printindex \end{document} diff --git a/motivation.tex b/motivation.tex index b7c631b..cc42a16 100644 --- a/motivation.tex +++ b/motivation.tex @@ -1,4 +1,5 @@ \section*{Motivation} \markboth{}{Motivation} +\label{sec:motivation} In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht. Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich. Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich"=dimensionalen Funktionenräumen. @@ -6,6 +7,8 @@ Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Unters Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt. \begin{problem-nn} + \index{Lagrange-Multiplikatoren} + \index{Nebenbedingungen} Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung: Wir wollen die Funktion \[ @@ -26,6 +29,7 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,\pi ])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt. \end{problem-nn} \begin{problem-nn} + \index{Fourierreihe} Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} = \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich \[ @@ -46,6 +50,7 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich"=dimensionalen. \end{problem-nn} \begin{problem-nn} + \index{Funktion!Green'sche} Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$) \[ u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0 @@ -65,4 +70,10 @@ Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten, \item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff) \end{enumerate} -Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.
\ No newline at end of file +Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten. + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% End: @@ -57,6 +57,14 @@ % fonts \setkomafont{disposition}{\rmfamily} +\RequirePackage[obeyDraft, + obeyFinal, + german, + colorinlistoftodos, + backgroundcolor=orange!30, + prependcaption, + textsize=small]{todonotes} + \setkomafont{chapter}{\Huge} \addtokomafont{chapterprefix}{\raggedleft} \renewcommand*{\chapterformat}{% @@ -81,6 +89,7 @@ \RequirePackage[amsmath, thmmarks, framed]{ntheorem} \RequirePackage[framemethod=tikz]{mdframed} +\RequirePackage[xindy]{imakeidx} \RequirePackage[unicode,colorlinks,bookmarksopen=true]{hyperref} \RequirePackage[capitalise, nameinlink]{cleveref} @@ -151,7 +160,7 @@ leftmargin=1em, linewidth=6pt, % linecolor=myurlcolor!20, - linecolor=black!30, + linecolor=green!30, leftline=true, rightline=false, bottomline=false, topline=false, innerleftmargin=1em, ]{#1}[defsatzusw]{#2} @@ -159,7 +168,7 @@ leftmargin=1em, linewidth=6pt, % linecolor=myurlcolor!20, - linecolor=black!20, + linecolor=green!30, leftline=true, rightline=false, bottomline=false, topline=false, innerleftmargin=1em, ]{#1-nn}{#2} |