ersten beiden Kapitel indiziert

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+++ b/ch01-lineare-struktur.tex
@@ -1,12 +1,18 @@
 \chapter{Die lineare Struktur}
+\label{cha:die-lineare-struktur}
+\index{Struktur!lineare}
 \section{Der lineare Raum}
+\label{sec:der-lineare-raum}
 Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
-\begin{definition}[Vektorraum]
+\begin{definition}[Vektorraum, linearer Raum]
+    \label{defi:vektorraum-1.1.1}
+    \index{Raum!linearer}
+    \index{Vektorraum}
     Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung
     \[
         \cdot : \K × X → X
     \]
-    heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
+    heißt $\K$-\emph{Vektorraum} oder \emph{linearer Raum}, falls für alle $\alpha , β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
     \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
     \item $\alpha  x+y) = \alpha x + βy$
     \item $(\alpha +β)x = \alpha x + βx$
@@ -14,35 +20,34 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \item $1 \cdot x = x$
     \end{enumerate}
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung-nn}
     Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Raum!linearer Teil-}
     Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $\alpha , β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $\alpha x + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
     $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Aufspann}
     Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
     Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
     \[
         \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, \alpha _1,…,\alpha _l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l \alpha _i m_i = x \right\}.
     \]
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Basis!Hamel-}
     $M = \{x_\lambda \}_{\lambda  ∈ \Lambda } ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
     $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_\lambda $ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Dimension}
     Besitzt $X$ eine Basis von $n < \infty $ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
     Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = \infty $).
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Summe}
     Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
     \[
         X_1 + X_2 \coloneq \left\{ \alpha x_1 + βx_2: \alpha , β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
@@ -50,22 +55,24 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     ebenfalls ein linearer Teilraum.
     Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{bemerkung-nn}
+    \index{Raum!Quotienten-}
     Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
     $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
     Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
     Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
 \end{bemerkung-nn}
-
-\begin{satz}\label{01-vr-besitzt-basis}
+\begin{satz}
+    \label{satz:vr-besitzt-basis-1.1.2}
     Jeder lineare Raum besitzt eine (Hamel-)Basis.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-    Folgt unmittelbar aus \cref{01-basisergaenzungssatz}.
+    Folgt unmittelbar aus \cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}.
 \end{proof}
 
-\begin{satz}[Basisergänzungssatz]\label{01-basisergaenzungssatz}
+\begin{satz}[Basisergänzungssatz]
+    \index{Satz!Basisergänzungs-}
+    \label{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3}
     Sei $M ⊂ X$ eine linear unabhängige Teilmenge.
     Dann gibt es eine Basis $B$ von $X$ mit $M ⊂ B$.
 \end{satz}
@@ -79,6 +86,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{proof}
 
 \section{Beispiele}
+\label{sec:beispiele}
+\index{$ℝ^n$}
 \begin{beispiel}
     Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
 \end{beispiel}
@@ -94,6 +103,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{beispiel}
 
 \begin{beispiel}[Folgenräume]
+    \index{$\ell^p$}
     Es ist
     \[
         \ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \}
@@ -114,8 +124,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
         c_0 = \left\{ (ξ_n)_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^∞: \lim_{n → ∞} ξ_n = 0 \right\}.
     \]
 \end{beispiel}
-
-\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen]
+\begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] \index{$L^p$}
+    \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar}
     Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$.
     Dann ist
     \[
@@ -130,7 +140,11 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{beispiel}
 
 \section{Lineare Abbildungen}
-\begin{definition}
+\label{sec:lineare-abbildungen}
+\begin{definition}[Lineare Abbildung]
+    \index{Funktion!linear}
+    \index{Abbildung!linear}
+    \label{defi-lineare-abbildung-1.3.1}
     Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $\alpha , β ∈ \K$ gilt:
     \[
     A(\alpha x_1 + βx_2)  = \alpha A(x_1) + βA(x_2).
@@ -138,8 +152,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
     Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung}
+    \label{bem:lineare-abb-eigenschaften-1.3.2}
     Sei $A: X → Y$ linear.
     \begin{enumerate}
     \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei Injektivität.
@@ -156,6 +170,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
     \item
         $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$ gibt.
     \item
+        \index{isomorph!linear}
         Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
         $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.
 
@@ -222,6 +237,7 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
 \end{beispiel-nn}
 
 \section{Duale Räume}
+\label{sec:duale-raume}
 $A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$)
 \[
     x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}.
@@ -246,12 +262,16 @@ So ist
     \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
 \]
 bilinear.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Algebraischer Dualraum, Algebraischer Bidualraum]
+    \index{Raum!algebraischer Dual-}
+    \index{Raum!algebraischer Bidual-}
+    \label{defi:alg-dualraum-bidualraum-1.4.1}
     $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
     $X^{ff} \coloneq (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
 \end{definition}
-
 \begin{beispiel-nn}
+    \index{$J$}
+    \index{Abbildung!kanonische}
     $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung
     \[
         J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x''
@@ -262,12 +282,13 @@ bilinear.
     \]
     Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
 \end{beispiel-nn}
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[algebraisch reflexiv]
+    \index{algebraisch reflexiv}
+    \label{defi:alg-reflexiv-1.4.2}
     Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist.
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung}
+    \label{bem:X-alg-reflexiv-gdw-dim-endlich-1.4.3}
     $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < \infty $ ist.
 
     Im Fall $\dim X < \infty $ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
@@ -282,6 +303,8 @@ bilinear.
 \end{bemerkung}
 
 \begin{definition}[Dualraum]
+    \index{Raum!Dual-}
+    \label{defi:dualraum-1.4.4}
     Zu einem linearen Raum $X$ ist
     \[
         X' \coloneq \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
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+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -1,63 +1,86 @@
 \chapter{Topologie}
+\label{cha:topologie}
 \section{Topologische Räume}
-\begin{definition}
-    Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
-    $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
-    Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
+\label{sec:topologische-raume}
+\begin{definition}[Topologischer Raum, offene Mengen]
+    \index{Raum!topologischer}
+    \index{Struktur!topologische}
+    \index{offen}
+    \index{Topologie}
+    \label{defi:top-raum-2.1.1}
+    Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
+    $\T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
+    Insbesondere muss $\T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
     $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
 \end{definition}
 \begin{beispiele-nn}
     \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
         \item
+            \index{Topologie!indiskrete}
+            \index{Topologie!Klumpen-}
               Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
         \item
+            \index{Topologie!diskrete}
               Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
         \item
+            \index{Topologie!natürliche}
             In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon  > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt.
             Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
             Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
         \item
+            \index{Topologie!cofinite}
               Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
               $X$ wird definiert als
               \[
                   \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
               \]
         \item
+            \index{Raum!Sierpinski-}
               Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
     \end{enumerate}
 \end{beispiele-nn}
-
 \begin{definition}
+    \label{defi:top-grundbegriffe-2.1.2}
     Sei $M ⊂ X$.
     \begin{enumerate}
     \item
+        \index{abgeschlossen}
         $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus  M$ offen ist.
     \item
+        \index{Umgebung}
         $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
         \[
             \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
         \]
+        \index{Umgebungssystem}
+        \index{Umgebungsfilter}
         $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
         Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
     \item
+        \index{Häufungspunkt}
         $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.
     \item
+        \index{Inneres}
         Das \emph{Innere von M} ist
         \[
             \operatorname{int} M \coloneq M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
         \]
         die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
     \item
+        \index{Abschluss}
         Der \emph{Abschluss von} M ist
         \[
             \operatorname{cl} M \coloneq \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
         \]
         die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
     \item
+        \index{kompakt}
         $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
     \item
+        \index{dicht}
         $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
     \item
+        \index{dicht!nirgends}
         $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
@@ -70,21 +93,21 @@
         $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
     \end{enumerate}
 \end{bemerkung}
-
-
 \begin{definition}[Hausdorff-Raum]
+    \index{Raum!Hausdorff-}
+    \label{defi:hausdorff-raum-2.1.4}
 	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
 	Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ 
 	existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
 	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom.
 \end{definition}
-
 \begin{beispiele-nn}
     \begin{enumerate}
     \item
         Ein Pseudometrischer Raum $(X,d)$ ist Hausdorff"=Raum genau dann, wenn
         $d$ eine Metrik ist.
     \item
+        \index{Raum!Sierpinski-}
         Der Sierpinski"=Raum $(\{0,1\}),\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$ ist kein Hausdorff"=Raum.
     \item
         Sei $X = \prod_{i ∈ I} X_i$ ausgestattet mit dem Produkt $\T$ der Topologien
@@ -96,6 +119,8 @@
 \end{beispiele-nn}
 
 \begin{definition}[Konvergenz]
+    \index{Folge!konvergent}
+    \label{defi:konvergenz-2.1.5}
 	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
 	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
 	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
@@ -113,8 +138,9 @@
 	Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$
 	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
 \end{beweis}
-
 \begin{definition}[Häufungspunkt]
+    \index{Häufungspunkt}
+    \label{defi:haeufungspunkt-2.1.6}
 	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
 	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
 	ein $n \geq k \in \N$ existiert, so dass $x_{n} \in U$.
@@ -127,8 +153,10 @@
 \begin{bemerkung-nn}
 	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{definition}[Stetigkeit]
+    \index{stetig}
+    \index{Abbildung!stetige}
+    \label{defi:stetigkeit-2.1.7}
     Seien $(X, \T_X)$ und $(Y, \T_Y)$ topologische Räume, $f: X → Y$.
     \begin{enumerate}
     \item
@@ -141,16 +169,19 @@
 \begin{bemerkung-nn}
 	$f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{definition}[Homöomorphismus]
+    \index{Homöomorphismus}
+    \label{defi:homoeomorphismus-2.1.8}
 	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig,
 	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
 	dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}.
 	$X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus
 existiert.
 \end{definition}
-
 \begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
+    \index{Basis!der Topologie}
+    \index{Basis!Umgebungs-}
+    \label{defi:basis-top-umgebung-2.1.9}
 	\begin{enumerate}
 	\item
 	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls $T= \{\bigcup M: M \subset B\}$.
@@ -165,8 +196,10 @@ existiert.
 	Sei $x \in \R^n$ fest. 
 	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
 \end{beispiel-nn}
-
 \begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
+    \index{Topologie!Relativ-}
+    \index{Topologie!Spur-}
+    \label{defi:relativtop-2.1.10}
 	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
 	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$.
 \end{definition}
@@ -174,8 +207,10 @@ existiert.
 	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
 	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{definition}
+    \index{Topologie!feiner}
+    \index{Topologie!gröber}
+    \label{defi:top-feiner-groeber-2.1.11}
 	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
 	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
 	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
@@ -191,7 +226,6 @@ existiert.
 	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
 	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
 \end{bemerkung-nn}
-
 \begin{beispiel-nn}
 	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
 	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
@@ -199,8 +233,8 @@ existiert.
 	$\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
 	$B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird.
 \end{beispiel-nn}
-
 \begin{definition}[Produkttopologie]
+    \index{Topologie!Produkt-}
 	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
 	Dann ist die Familie von Mengen
     \[
@@ -209,26 +243,31 @@ existiert.
 	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
 	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
 \end{definition}
-
 \section{Metrische Räume}
+\index{Raum!metrischer}
+\label{sec:metrische-raume}
 \begin{definition}[Pseudometrik, Metrik]
-\label{defi:metrik}
+    \index{Metrik}
+    \index{Pseudometrik}
+    \label{defi:metrik-2.2.1}
     Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den
     folgenden Axiomen genügt:
-    \begin{enumerate}[series=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*]
-        \item \label{defi:metrik:m1}
+    \begin{enumerate}[series=metrik,label=(M\arabic*)]
+        \item
               Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$.
-        \item \label{defi:metrik:m2:symmetrie}
+        \item
               \emph{Symmetrie:} Für alle $ x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$.
-        \item \label{defi:metrik:m3:dreiecksungleichung}
+        \item
+              \index{Dreiecksungleichung}
               \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y)
               \le d(x,y) + d(z,y)$.
     \end{enumerate}
     $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich
-    \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*]
-        \item \label{defi:metrik:m4:posdef}
+    \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(M\arabic*)]
+        \item
               $d(x,y) = 0 \implies x = y$
     \end{enumerate}
+    \index{Kugel!offene}
     erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$
     definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als
     \[
@@ -238,9 +277,11 @@ existiert.
     \[
         \cl{B_r}(x) \coloneq \{y ∈ X: d(x,y) \le r\}
     \]
+    \index{Kugel!abgeschlossene}
     heißt \emph{abgeschlossene Kugel}.
 \end{definition}
 \begin{satz}
+    \label{satz:metrik-induziert-top-2.2.2}
     Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch
     \[
         U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U
@@ -272,6 +313,7 @@ existiert.
     \]
 \end{bemerkung-nn}
 \begin{satz}
+    \label{satz:metr-raum-ist-t2-2.2.3}
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
     Dann genügt $(X,\T_d)$ dem $T_2$-Axiom.
 \end{satz}
@@ -290,7 +332,6 @@ existiert.
         \[
             \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}.
         \]
-
     \item
         Es gilt
         \[
@@ -319,6 +360,7 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
             d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X
         \]
         heißen \emph{Isometrien}.
+        \index{Isometrie}
     \item
         Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
         Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
@@ -328,32 +370,39 @@ B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
 \begin{noproof}
 Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist.
 \end{noproof}
-
 Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
 \begin{satz}
+    \index{kompakt}
+    \label{satz:metr-raum-kompaktheit-aequ-charakt-2.2.4}
     Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent:
     \begin{enumerate}
     \item
+        \index{kompakt!überdeckungs!}
         $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt)
     \item
         Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen  Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt)
     \item
+        \index{kompakt!folgen-}
         Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt)
     \end{enumerate}
 \end{satz}
-
 \begin{bemerkung}
     Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}.
+    \index{Abzählbarkeitsaxiom!erstes}
     Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie.
+    \index{Abzählbarkeitsaxiom!zweites}
     Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
 \end{bemerkung}
 
 \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
-\begin{definition}
+\label{sec:vollst-metr-raum}
+\begin{definition}[Cauchy-Folge]
+    \index{Folge!Cauchy-}
+    \label{defi-cauchy-folge-2.3.1}
     Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon  > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
 \end{definition}
-
 \begin{lemma}
+    \label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2}
     Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
 \end{lemma}
 \begin{proof}
@@ -363,15 +412,17 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
         ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε.
     \]
 \end{proof}
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[vollständiger metrischer Raum]
+    \label{defi:vollst-metrisch-raum-2.3.3}
+    \index{Raum!vollständiger metrischer}
+    \index{vollständig}
     Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert.
 \end{definition}
-
 Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$),
 jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
-
 \begin{satz}
+    \label{satz:metr-raum-vervollstd-2.3.4}
+    \index{Vervollständigung}
     Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten.
     Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
 \end{satz}
@@ -397,15 +448,15 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \]
     Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist.
     Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten.
+    \todo{Hier fehlt noch was.}
 \end{proof}
-
 \begin{bemerkung-nn}
     Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
     Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog.
 \end{bemerkung-nn}
-
-
-\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz}
+\begin{satz}[Schachtelsatz]
+    \label{satz:schachtelsatz-2.3.5}
+    \index{Satz!Schachtel-}
     Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
     $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft
     \begin{enumerate}
@@ -415,7 +466,6 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$.
 \end{satz}
 \begin{proof}
-
     Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt
     \[
         \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n).
@@ -424,7 +474,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \[
         d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0.
     \]
-    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
+    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$, da $X$ vollständig ist.
     Außerdem gilt
     \[
         d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
@@ -441,17 +491,20 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
     \]
     Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
 \end{proof}
-
-\begin{definition}
+\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie]
+    \label{defi:mager-2.3.6}
+    \index{mager}
+    \index{Kategorie!erste}
+    \index{Kategorie!zweite}
     Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder  \emph{mager}, falls sie
      die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}.
 \end{definition}
-
 Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.
-
-
-\begin{satz}[Baire]\label{baire}
-    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst)
+\begin{satz}[Baire]
+    \label{satz:bcd-2.3.7}
+    \index{Satz!von Baire}
+    \index{BCT}
+    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst).
 \end{satz}
 \begin{proof}
     Sei  $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt
@@ -476,88 +529,89 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B
     \]
     Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie.
 \end{proof}
-
-% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire}
-%     Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum
-%     \begin{enumerate}
-%     \item
-%         Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
-%         Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
-%     \item
-%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
-%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
-%     \item
-%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
-%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
-%         \ne \emptyset$.
-%     \end{enumerate}
-% \end{satz}
-% \begin{proof}
-%     \begin{enumerate}
-%     \item
-%         Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
-%         \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
-%         $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
-%         und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
-%         Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
-%         Eigenschaften:
-%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
-%         \item
-%             $0 < r_n < \frac 1 n$
-%         \item
-%             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
-%         \end{enumerate}
-%         Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
-%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
-%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
-%         \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
-%         dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
-%         konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
-%         N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
-%         \begin{align*}
-%           x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
-%           & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
-%           \end{align*}
-%         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
-
-%         Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
-%         $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
-%         mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
-%         $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
-%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
-%         \item
-%             $B_k ⊂ B_{k-1}$
-%         \item
-%             $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
-%         \end{enumerate}
-%         Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
-%         der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
-%         nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
-%         eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
-%         Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
-%         $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
-%         Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
-%         abgeschlossen, somit folgt 
-%         \[
-%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
-%         \]
-%         sowie
-%         \[
-%             \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
-%         \]
-%         Insgesamt also
-%         \[
-%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
-%         \]
-%     \item
-%         Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
-%         dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
-%         somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
-%         ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
-%     \item
-%         Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
-%     \end{enumerate}
-% \end{proof}
+Der Vollständigkeit halber noch eine alternative (stärkere) Formulierung:
+\begin{satz}[Baire]
+    \label{satz:bct-2.3.8}
+    Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff"=Raum
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
+        Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
+    \item
+        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
+        $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
+    \item
+        Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
+        $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
+        \ne \emptyset$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
+        \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
+        $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
+        und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
+        Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
+        Eigenschaften:
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+            $0 < r_n < \frac 1 n$
+        \item
+            $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
+        \end{enumerate}
+        Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
+        ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon  > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩
+        B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon  2$ ist wie gewünscht. Für $m
+        \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
+        dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
+        konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
+        N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
+        \begin{align*}
+          x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
+          & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
+          \end{align*}
+        also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.
+
+        Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
+        $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
+        mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
+        $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
+        \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+        \item
+            $B_k ⊂ B_{k-1}$
+        \item
+            $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
+        \end{enumerate}
+        Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
+        der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
+        nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
+        eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
+        Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
+        $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
+        Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
+        abgeschlossen, somit folgt 
+        \[
+            \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
+        \]
+        sowie
+        \[
+            \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
+        \]
+        Insgesamt also
+        \[
+            \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
+        \]
+    \item
+        Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
+        dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
+        somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
+        ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
+    \item
+        Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
 
 
 %%% Local Variables:
diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
index 661d7ee..8c23587 100644
--- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
+++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
@@ -1,16 +1,22 @@
 \chapter{Topologische lineare Räume}
+\label{cha:topol-line-raume}
 Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorherigen beiden Kapiteln, also die Topologie und den linearen Raum zusammenzuführen.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[topologischer linearer Raum]
+    \label{defi:top-linearer-raum-3.0.1}
+    \index{Raum!topologischer linearer}
     Ein linearer Raum $X$ über dem Körper $\K$ mit Topologie $\T$ heißt \emph{topologischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen ($+ : X×X → X$ und $\cdot: \K×X → X$) stetig sind.
 \end{definition}
-
 \begin{bemerkung-nn}
     Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden.
     Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \section{Normierte Räume}
-\begin{definition}
+\label{sec:normierte-raume}
+\begin{definition}[Norm]
+    \label{defi:norm-3.1.1}
+    \index{Norm}
+    \index{Raum!normierter}
     Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
     heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha  ∈ K$ gilt:
     \begin{enumerate}
diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex
index 2a7e625..c058649 100644
--- a/ch05-hahn-banach.tex
+++ b/ch05-hahn-banach.tex
@@ -296,9 +296,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \begin{satz}
     Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv
 \end{satz}
-\begin{proof}
+\begin{noproof}
     Übung.
-\end{proof}
+\end{noproof}
 
 \begin{bemerkung-nn}
     Offensichtlich sind $H$ und $H''$ isometrisch isomorph:
@@ -329,12 +329,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
 \begin{beispiel-nn}
     Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
     \[
-        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X (i → \infty )
+        \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty )
     \]
 \end{beispiel-nn}
 
 \begin{bemerkung-nn}
-    $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0 (i → \infty )$.
+    $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge
+    ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0}
+    \not\rightarrow 0\; (i → \infty )$.
 \end{bemerkung-nn}
 
 \begin{proof}
@@ -361,6 +363,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
         Ist $X$ ist reflexiv, so auch $X'$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
+\begin{noproof}
+    Übung.
+\end{noproof}
 
 \section{Darstellungssätze für einige Dualräume}
 \subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen}
@@ -380,10 +385,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
     Für $p = 2$ kennen wir die Aussage bereits, denn $L^2(Ω)$ ist ein Hilbertraum.
     Für $p \ne 2$ benötigt man den Satz von Radon-Nykodyn \cite[Satz 4.30]{dobrowolski2010angewandte}
 \end{proof}
-Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∝(Ω)$.
-\begin{warnung-nn}
-    Aber $(L^∝(Ω))'$ ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$!
-\end{warnung-nn}
+Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∞(Ω)$. Aber $(L^∞(Ω))'$ hingegen ist \emph{nicht} isometrisch isomorph zum $L^1(Ω)$!
 \begin{bemerkung-nn}
     Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind.
 \end{bemerkung-nn}
diff --git a/common.tex b/common.tex
index 1cd4d3f..fdf1455 100644
--- a/common.tex
+++ b/common.tex
@@ -42,11 +42,14 @@
 }
 
 \addbibresource{ref.bib}
+\indexsetup{headers={\indexname}{\indexname}}
+\makeindex
 
 \begin{document}
 \sloppy
 \maketitle
 \section*{Vorwort}
+\label{sec:vorwort}
 Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat.
 
 Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld.
@@ -73,5 +76,6 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf
 
 \nocite{*}
 \printbibliography
+\printindex
 
 \end{document}
diff --git a/motivation.tex b/motivation.tex
index b7c631b..cc42a16 100644
--- a/motivation.tex
+++ b/motivation.tex
@@ -1,4 +1,5 @@
 \section*{Motivation} \markboth{}{Motivation}
+\label{sec:motivation}
 In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht.
 Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich.
 Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich"=dimensionalen Funktionenräumen.
@@ -6,6 +7,8 @@ Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Unters
 Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt.
 
 \begin{problem-nn}
+    \index{Lagrange-Multiplikatoren}
+    \index{Nebenbedingungen}
     Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung:
     Wir wollen die Funktion
     \[
@@ -26,6 +29,7 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis
     Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,\pi ])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
 \end{problem-nn}
 \begin{problem-nn}
+    \index{Fourierreihe}
     Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
     \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
     \[
@@ -46,6 +50,7 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis
     Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich"=dimensionalen.
 \end{problem-nn}
 \begin{problem-nn}
+    \index{Funktion!Green'sche}
     Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$)
     \[
         u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0
@@ -65,4 +70,10 @@ Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten,
 \item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff)
 \end{enumerate}
 
-Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.
\ No newline at end of file
+Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.
+
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana-ebook"
+%%% End:
diff --git a/skript.cls b/skript.cls
index 9df6989..ebcf5e4 100644
--- a/skript.cls
+++ b/skript.cls
@@ -57,6 +57,14 @@
 % fonts
 \setkomafont{disposition}{\rmfamily}
 
+\RequirePackage[obeyDraft,
+    obeyFinal,
+    german,
+    colorinlistoftodos,
+    backgroundcolor=orange!30,
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+
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@@ -81,6 +89,7 @@
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@@ -151,7 +160,7 @@
     leftmargin=1em,
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@@ -159,7 +168,7 @@
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