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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index b79e539..92764ab 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -25,6 +25,7 @@ \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} \DeclareMathOperator{\conv}{conv} +\DeclareMathOperator{\Proj}{proj} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\id}{id} \let\Re\relax @@ -2216,6 +2216,237 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$. \end{definition} +Hier fehlt eine VL. + +\begin{korollar} + $\hat y$ erfüllt die Gleichung aus dem vorherigen Satz genau dann, wenn $(x- \hat y) \perp Y$ gilt. +\end{korollar} +\begin{proof} + „⇐“: + Sei also $\hat y ∈ Y$ mit $x-\hat y \perp Y$, also $x-\hat y \perp (\hat y - y)$ für $y ∈ Y$ beliebig. + Dann gilt mit Pythagoras + \[ + \norm{x-y}^2 = \norm{x-\hat y + \hat y - y}^2 = \norm{x-\hat y}^2 + \norm{\hat y - y}^2 ≥ \norm{x-\hat y}^2, + \] + was die Behauptung impliziert. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + Damit gilt im Hilbertraum das Riesz'sche Lemma (3.7.6) mit $Θ = 1$. + Setze dazu + $ x_{Θ=1} := \frac{x-\hat y }{\norm{x-\hat y}} $ + für ein $x \notin Y$. Dann ist $\norm{x_Θ} = 1$ und für alle $z ∈ Y$ gilt $\norm {z-x_Θ}^2 + 2 \Re \langle z,x_Θ \rangle + \norm{x_Θ}^2 ≥ 1 = Θ$. +\end{bemerkung-nn} +\begin{satz} + Es sei $Y$ ein vollständiger Unterraum eines unitären Raums $X$. + Dann existiert zu jedem $x ∈ X$ eine eindeutige Zerlegung der Form + \[ + x= y + v + \] + mit $y ∈ Y$ und $v ∈ Y^\perp$, das heißt $X = Y \oplus Y^\perp$. +\end{satz} +\begin{proof} + Jedes $x ∈ X$ lässt sich als $x = \hat y + (x- \hat y)$ schreiben, wobei $\hat y$ wie im Vorherigen Satz ist. + Dann ist $\hat y ∈ Y$ und $(x-\hat y) ∈ Y^\perp$. + Für die Eindeutigkeit seien $x = y_1 + v_1 = y_2 + v_2$ zwei Darstellungen von $x$ mit $y_i ∈ Y, v_i ∈ Y^\perp, i=1,2$. + Dann $y_1 - y_2 = v_2 - v_1$, wobei die linke Seite in $Y$ ist und die rechte in $Y^\perp$, aber $Y ∩ Y^\perp = \{ 0\}$ nach einem vorherigen Resultat, also $y_1 = y_2$ und $v_1 = v_2$. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} +Weil für jedes $x ∈ X$ das Element $y = \hat y(x) ∈ Y$ in dieser Darstellung eindeutig ist, lässt sich dadurch eine Abbildung $P: X → X, x ↦ y$ definieren. +Diese Abbildung ist eine Projektion, das heißt $P \circ P = P$. +Wir schreiben für $P$ auch $\Proj_Y : X → X$ mit Wertebereich $\im P = Y$ und $P|_Y = \id|_Y$. +\end{bemerkung-nn} +\begin{korollar} + Falls $M ⊂ X$ ein Unterraum des Hilbertraums $X$ ist, dann gilt + \[ + \cl M = (M^\perp)^\perp. + \] +\end{korollar} +\begin{proof} + „⊂“ wurde bereits in Definition 2.1 gezeigt. + + „$\supset$“: Falls $(M^\perp)\perp \ne \cl M$, dann existiert $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp \setminus \cl M$. + Da $X$ ein Hilbertraum ist, ist $\cl M$ vollständig. + Nach dem Satz vom orthogonalen Komplement gibt es eine eindeutige orthogonale Zerlegung von $x_0 = \hat x_0 + h_0^\perp$ mit $\hat x_0 = \Proj_M(x_0) ∈ \cl M$ und $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$. + Da $x_0^\perp ∈ (\cl M)^\perp$, ist auch $x_0^\perp ∈ (M)^\perp$ und $x_0 ∈ (M^\perp)^\perp$, also insbesondere $\langle x_0, x_0^\perp \rangle = 0$. + Das bedeute mit Hilfe der Zerlegung + \[ + 0 = \langle x_0, x_0^\perp \rangle + = \langle \hat x_0 + x_0^\perp, x_0^\perp \rangle + = \langle \hat x_0, x_0 ^\perp \rangle + \langle x_0^\perp, x_0^\perp \rangle + = \langle x_0^\perp, x_0^\perp \rangle + = \norm{x_0^\perp}^2. + \] + somit ist bereits $x_0^\perp = 0$, also $x_0 = \hat x_0 ∈ \cl M$. + Damit ist $\cl M = (M^\perp)^\perp$. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} +Die Abbildung $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = \sup\limits_{x \ne 0} \frac{\norm{P(x)}}{\norm x} \le 1$, +denn für jedes $x = y + v$ mit $y ∈ Y, v ∈ Y^\perp$ gilt +\[ + \norm{P(x)}^2 = \norm{y^2} \le \norm y^2 + 2 \Re \langle y, v \rangle + \norm{v}^2 = \norm{y +v}^2 = \norm{x}^2. +\] +Desweiteren ist $P$ symmetrisch, das heißt für alle $x_1, x_2 ∈ X $ ist +\[ + \langle P(x_1), x_2 \rangle = \langle x_1, P(x_2) \rangle. +\] +Ist $x_1 = y_1 + v_2$, $x_2 = y_2 + v_2$ mit $y_i ∈ Y, v_i ∈ Y^\perp, i=1,2$, dann ist +\[ + \langle P(x_1), x_2 \rangle = \langle y_1,x_2 \rangle = \langle y_1,y_2 + v_2 \rangle + = \langle y_1,y_2 \rangle = \langle y_1+v_1, y_2 \rangle = \langle x_1, P(x_2) \rangle. +\] +\end{bemerkung-nn} +\begin{korollar} + Es Sei $Y \ne \{0\}$ ein vollständiger Unterraum des unitären Raums $X$ mit der Projektion $P = \Proj_Y: X → Y ⊂ X$. Dann gilt + \begin{enumerate} + \item $x-P(x) \perp Y $ für alle $x ∈ X$. + \item + $P$ ist symmetrisch. + \item + $P$ ist beschränkt mit Operatornorm $\norm P = 1$. + \end{enumerate} +\end{korollar} +\begin{proof} + (1) und (2) wurden bereits gezeigt. Bei (3) fehlt nur noch „$\ge$“. + Da $P_Y = \id|_Y$ und $Y \ne \{0\}$ ist das aber ebenfalls klar. +\end{proof} +Zentral in der Hilbertraumtheorie ist der Begriff der Hilbertraumbasis. +\begin{definition} + Ein Orthonormalsystem $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ eines unitären Raums $X$ heißt eine Orthonormalbasis oder eine \emph{Hilbertraumbasis}, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: + \begin{enumerate} + \item Für alle $x ∈ X$ gilt die Vollständigkeitsrelation + \[ + \lim_{n → ∞} \norm{x - \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k} = 0 + \] + \item + Für alle $x, y ∈ X$ ist + \[ + \langle x,y \rangle = \sum_{k=1}^∞ \cl{\langle \hat e_k. x \rangle} \langle \hat e_k, y \rangle. + \] + \item + Für alle $x ∈ X$ gilt die Parseval-Gleichung + \[ + \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^∞ \left| \langle \hat e_k, x \rangle \right|^2. + \] + \end{enumerate} +\end{definition} +\begin{proof} + Übung. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + \begin{enumerate} + \item Statt (a) kann man auch + \[ + x = \lim_{n → ∞} \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k + = \sum_{k=1}^∞ \langle \hat e_k,x \rangle \hat e_k + \] + schreiben. Dies nennt man die Fourier-Reihe von $x$. + \item + Die approximierenden Elemente + \[ + \sum_{k=1}^n \langle \hat e_k, x \rangle \hat e_k + \] + liegen offenbar in $\lspan S$ wenn $S = \{ \hat e_k : k ∈ ℕ \}$ ist, + was sich nicht notwendigerweise auf den Grenzwert überträgt. + Falls $X$ aber vollständig ist (also ein Hilbertraum), so sind diese Aussagen äquivalent zu $\cl{\lspan S}^{\norm\cdot} = X$. + \end{enumerate} +\end{bemerkung-nn} +\begin{satz} + \begin{enumerate} + \item + Für einen unitärer Raum $X$ gilt: Jede Hilbertraumbasis ist auch ein vollständiges Orthonormalensystem. + + \item + Ist zusätzlich $X$ ein Hilbertraum und $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ ein vollständiges Orthonormalensystem, dann ist $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ}$ auch eine Hilbertraumbasis. + \end{enumerate} +\end{satz} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Sei $S$ wie oben. Sei $x ∈ X$ mit $x \perp S$. Nach (c) gilt dann + \[ + \sum_{k=1}^∞ \big| \underbrace{\langle \hat e_k^∞, x \rangle}_{=0} \big|^2 = \norm x ^2, + \] + also $\norm x = 0$ und $x = 0$. + \item + Sei nun $S$ ein abzählbares vollständiges Orthonormalensystem und $X$ ein Hilbertraum. + Führe den Beweis indirekt. + Angenommen, $S$ wäre keine Hilbertraumbasis. + Dann gelten die Eigenschaften (a)-(c) aus der Definition nicht und wegen der obigen Bemerkung ist dann $Y := \cl{\lspan S} \subsetneq X$. + $Y$ ist also ein abgeschlossener Unterraum von $X$, und da $X$ Hilbertraum ist, damit vollständig. + Nach Satz 2.9 ist $X = Y \oplus Y^\perp$. + Insbesondere ist also $Y^\perp \ne \{ 0\}$. + Damit gibt es ein $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ mit $x ∈ Y^\perp$, also + \[ + \langle \hat e_k, x \rangle = 0 + \] + für alle $k ∈ ℕ$ im Widerspruch zur Vollständigkeit von $S$. + \end{enumerate} +\end{proof} +\begin{frage-nn} + Hat jeder Hilbertraum $H$ mit $\dim H = ∞$ ein abzählbares vollständiges ONS (also eine Hilbertbasis)? +\end{frage-nn} +Die Antwort darauf ist nein, aber falls $H$ zusätzlich separabel ist, dann ist sie ja. +Dagegen ist die Existenz eines vollständigen Orthonormalensystems (also eventuell überabzählbar, also keine ONB) kein Problem: +\begin{satz} + In jedem Hilbertraum $X \ne \{ 0\}$ gibt es ein vollständiges Orthonormalensystem. + Es lässt sich sogar jedes ONS $S_0$ zu einem vollständigen Orthonormalensystem $\tilde S_0$ mit $S_0 ⊂ \tilde S_0$ ergänzen. +\end{satz} +\begin{proof} + Simple Anwendung von Zorns Lemma. +\end{proof} +\begin{beispiel} + \begin{enumerate} + \item + Sei $X = L^2(0,2\pi), \K = ℝ$. + Dann ist ein VONS in $X$ gegeben durch + \[ + S = \left\{ \frac 1 {\sqrt{2π}}\right\} + ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{π}} \cos(nx) : n ∈ ℕ\right\} + ∪ \left\{ \frac 1 {\sqrt{π}} \sin(nx) : n ∈ ℕ\right\}. + \] + In der klassischen Fourieranalysis werden Entwicklungen nach diesem VONS $S$ untersucht. + Man zeigt dort, dass $\lspan S$ bezüglich $\norm\cdot_∞$ dicht liegt in $C_\text{per}([0,2\pi]) = \{ f: ℝ → ℝ: f$ ist stetig und $2π$-periodisch $\}$. + Die Aussage von 2.13(2) und (2.10) liefert nur die Begründung für die Dichtheit von $\lspan S$ in $\norm-_{L^2}$. + \item + Durch $(f,g)_μ := ∫_a^b μ(t) f(t) g(t)\; dt $, wobei $μ > 0$ und stetig auf $(a,b)$, ist auf $L^2(a,b)$ ein reelles Skalarprodukt definiert. + Für verschiedene Gewichtsfunktionen $μ$ und verschiedene Wahlen von $(a,b)$ erhält man $μ$-orthogonale Polynomsysteme durch Anwendung des Gram-Schmidt-Verfahrens auf die Monome $\{t^i: i ∈ ℕ_0\}$. + \begin{enumerate}[label=(\roman*)] + \item + $a=-1, b=1$, $μ(t) = 1$ liefert die Legendre-Polynome. + \item + $a=-1, b=1$, $μ(t) = 1$ liefert die Tschebyscheff-Polynome. + Das stimmt nicht, danke, dass du die Folie so lange gezeigt hast. + \item + $a=0, b=∞$, $μ(t) = 1$ liefert die Laguerre-Polynome. + Das stimmt nicht, danke, dass du die Folie so lange gezeigt hast. + \item + $a=-∞, b=∞$, $μ(t) = \exp(-t^2)$ liefert die Hermite-Polynome. + \end{enumerate} + \item + Ist $X$ ein unitärer Raum mit ONB, kann er formal vervollständigt werden: + Sei also $(\hat e_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ diese ONB, dann ist + \[ + H := \left\{ \sum_{k=1}^∞ c_k \hat e_k: (c_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \ell^2 \right\} + \] + ist ein Hilbertraum, den man die Vervollständigung von $X$ nennt. + Das Skalarprodukt zwischen $x = \sum_{k ∈ ℕ} c_k \hat e_k$ und $y = \sum_{k ∈ ℕ} d_k \hat e_k$ + wird definiert als + \[ + \langle x,y \rangle := \sum_{k=1}^∞ \cl{c_k} d_k. + \] + Tatsächlich kann $H$ mit dem Koordinatenraum $\ell^2 = \ell^2(ℕ)$ identifiert werden. + Die Abbildung + \[ + \Phi: \ell^2(ℕ) → H, (c_k)_{k ∈ℕ} ↦ \sum_{k=1}^∞ c_k \hat e_k + \] + ist linear, bijektiv und normerhaltend wegen der Parsevalgleichung + \[ + \norm{x}^2 = \sum_{k=1}^∞ \left| \langle \hat e_k, x \rangle \right|^2. + \] + Also $\ell^2(ℕ)$ und $H$ isometrisch und insbesondere $H$ vollständig. + \end{enumerate} +\end{beispiel} + \end{document} %%% Local Variables: %%% mode: latex diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex 1bbe3a9..0b255d3 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf @@ -137,6 +137,7 @@ \newdef{bemerkungen}{Bemerkungen} \newdef{definition}{Definition} \newdef{warnung}{Warnung} +\newdef{frage}{Frage} \newdef{erinnerung}{Erinnerung} \newdef{beispiel}{Beispiel} \newdef{beispiele}{Beispiele} |