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diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex new file mode 100644 index 0000000..b1e79f6 --- /dev/null +++ b/ch02-topologie.tex @@ -0,0 +1,566 @@ +\chapter{Topologie} +\section{Topologische Räume} +\begin{definition} + Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$. + $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. + Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten. + $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen} +\end{definition} +\begin{beispiele-nn} + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item + Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}. + \item + Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$. + \item + In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt. + Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen. + Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt. + \item + Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf + $X$ wird definiert als + \[ + \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\} + \] + \item + Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$. + \end{enumerate} +\end{beispiele-nn} + +\begin{definition} + Sei $M ⊂ X$. + \begin{enumerate} + \item + $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus M$ offen ist. + \item + $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen + \[ + \U_A \coloneq \U_A (\T) \coloneq \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}. + \] + $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$. + Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x \coloneq \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$. + \item + $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k + \item + Das \emph{Innere von M} ist + \[ + M^\circ \coloneq \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\} + \] + die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist. + \item + Der \emph{Abschluss von} M ist + \[ + \cl M \coloneq \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\} + \] + die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält. + \item + $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt. + \item + $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$. + \item + $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$. + \end{enumerate} +\end{definition} +\begin{bemerkung} + \begin{enumerate} + \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl M$. + \item + $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$. + \item + $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$. + \end{enumerate} +\end{bemerkung} + + +\begin{definition}[Hausdorff-Raum] + Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum. + Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ + existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$. + Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom. +\end{definition} + +\begin{beispiele-nn} + \begin{enumerate} + \item + Ein Pseudometrischer Raum $(X,d)$ ist Hausdorff"=Raum genau dann, wenn + $d$ eine Metrik ist. + \item + Der Sierpinski"=Raum $(\{0,1\}),\{\emptyset, \{0\}, \{0,1\}\})$ ist kein Hausdorff"=Raum. + \item + Sei $X = \prod_{i ∈ I} X_i$ ausgestattet mit dem Produkt $\T$ der Topologien + $(T_i)_{i ∈ I}$. $(X,\T)$ ist hausdorffsch genau dann, wenn alle $(X_i, + \T_i)$ hausdorffsch sind. + \item + Ist $(X,\T)$ ein Hausdorff Raum und $Y ⊂ X$, dann ist auch $(Y,\T|Y)$ hausdorffsch. + \end{enumerate} +\end{beispiele-nn} + +\begin{definition}[Konvergenz] + Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$, + falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, + sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist. + Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt. + Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig. +\end{bemerkung-nn} +\begin{beweis} + Seien $x_{0} \neq x'_{0}$ Grenzwerte von $(x_{n})_{n \in \N} \subset X$. + Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$. + Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$ + und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$. + Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$ + Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen. +\end{beweis} + +\begin{definition}[Häufungspunkt] + $x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$, + falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ + ein $n \geq k \in \N$ existiert, so dass $x_{n} \in U$. +\end{definition} +\begin{beispiel-nn} + Wir betrachten $\R$ mit der natürlichen Topologie. + $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $x_n=(-1)^n$ hat zwei Häufungspunkte $\pm 1$. + Die Menge aller Folgenglieder $M=\{x_{n}:n \in \N\}=\{-1,1\}$ hat als Menge jedoch keine Häufungspunkte. +\end{beispiel-nn} +\begin{bemerkung-nn} + Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in $X$ Häufungspunkt jeder Folge. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{definition}[Stetigkeit] + Seien $(X, \T_X)$ und $(Y, \T_Y)$ topologische Räume, $f: X → Y$. + \begin{enumerate} + \item + Sei $x_0 ∈ X$. + $f$ heißt \emph{stetig in $x_0$}, falls für jede Umgebung $V$ von $f(x_0)$ das Urbild $f^{-1}(V)$ eine Umgebung von $x_0$ ist. + \item + $f$ heißt \emph{stetig}, falls für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$. + \end{enumerate} +\end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + $f$ ist genau dann stetig, wenn $f$ in jedem Punkt stetig ist. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{definition}[Homöomorphismus] + Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv, stetig, + und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig, + dann heißt $f$ (und $f^{-1}$) \emph{Homöomorphismus}. + $X$ und $Y$ heißen \emph{homöomorph}, falls so ein Homöomorphismus +existiert. +\end{definition} + +\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen] + \begin{enumerate} + \item + Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls $T= \{\bigcup M: M \subset B\}$. + \item + Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$, falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. + \end{enumerate} +\end{definition} +\begin{beispiel-nn} + Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch + ${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ + mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$. + Sei $x \in \R^n$ fest. + Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x +\end{beispiel-nn} + +\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie] + $M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise + zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' \coloneq \{M \cap V : V \in \T\}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + $M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie. + Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{definition} + Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. + Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$. + Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$. + Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$. +\end{definition} +\begin{bemerkung-nn} + Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$. + Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, + und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen. + + Man zeigt leicht: + $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ + Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, + dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{beispiel-nn} + Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich. + $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln + $B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \norm{x-y}<\eps\}$ erzeugt wird. + $\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader + $B_{\eps}(x)=\{y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps\}$ erzeugt wird. +\end{beispiel-nn} + +\begin{definition}[Produkttopologie] + Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume. + Dann ist die Familie von Mengen + \[ + \{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset \Pot{X \times Y} + \] + eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$. + Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden. +\end{definition} + +\section{Metrische Räume} +\begin{definition}[Pseudometrik, Metrik] +\label{defi:metrik} + Sei $X$ eine Menge. $d: X × X → \R$ heißt \emph{Pseudometrik}, wenn $d$ den + folgenden Axiomen genügt: + \begin{enumerate}[series=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*] + \item \label{defi:metrik:m1} + Für alle $x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) \ge 0$ und $d(x,x) = 0$. + \item \label{defi:metrik:m2:symmetrie} + \emph{Symmetrie:} Für alle $ x, y ∈ X$ gilt $d(x,y) = d(y,x)$. + \item \label{defi:metrik:m3:dreiecksungleichung} + \emph{Dreiecksungleichung:} Für alle $x, y, z ∈ X$ gilt $d(x,y) + \le d(x,y) + d(z,y)$. + \end{enumerate} + $d$ heißt \emph{Metrik}, falls es zusätzlich + \begin{enumerate}[resume=metrik,label=(\textbf{M.\arabic*}),ref=M.\arabic*] + \item \label{defi:metrik:m4:posdef} + $d(x,y) = 0 \implies x = y$ + \end{enumerate} + erfüllt. $(X,d)$ heißt dann (pseudo-)metrischer Raum. Zu $x ∈ X$ und $r > 0$ + definieren wir die \emph{offene Kugel um $x$ mit Radius $r$} als + \[ + B_r(x) \coloneq B^d_r(x) \coloneq \{ y ∈ X: d(x,y) < r\}. + \] + Die Menge + \[ + \cl{B_r}(x) \coloneq \{y ∈ X: d(x,y) \le r\} + \] + heißt \emph{abgeschlossene Kugel}. +\end{definition} +\begin{satz} + Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch + \[ + U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U + \] + eine Topologie $\T_d$ definiert, die \emph{von $d$ induzierte Topologie} auf + $X$. Die Kugeln $B_r(x)$ für $x ∈ X$ und $r > 0$ sind offen bezüglich dieser + Topologie. Ein topologischer Raum $(X,\T)$ heißt + \emph{(pseudometrisierbar}, wenn es eine (Pseudo-)Metrik $d$ mit $\T = + \T_d$ gibt. +\end{satz} +\begin{proof} + Sei zunächst $\mathfrak M ⊂ \T_d$ und $x ∈ \bigcup \mathfrak M$. Dann gibt es + $x ∈ M ∈ \mathfrak M$, da $M$ offen ist, enthält $M$ einen Ball $B_ε(x)$. Somit auch + $B_ε(x) ⊂ M ⊂ \bigcup \mathfrak M$. Da dies für alle $x ∈ \bigcup \mathfrak M$ gilt, ist $\bigcup \mathfrak M$ offen. + + Sei nun $\mathfrak M ⊂ \T_d$ endlich und $x ∈ \bigcap \mathfrak M$. Dann + gibt es zu jedem $M_i ∈ \mathfrak M$ ein $ε_i > 0$ mit $B_{ε_i}(x) ⊂ M_i$. Somit ist + für $ε \coloneq \min\limits_{i} ε_i $ auch $B_ε(x) ⊂ \bigcup \mathfrak M$. + Also ist $\T_d$ eine Topologie. + + Jetzt zu $B_r(x) ∈ \T_d$. Sei dazu $y ∈ B_r(x)$, also $δ \coloneq r - d(x,y) > 0$ + Sei $z ∈ B_δ(y)$, also $d(z,y) < δ$. Mit der Dreiecksungleichung ist dann + $d(x,z) < d(x,y) + d(y,z) = d(x,y) + r - d(x,y) = r$. Also $y ∈ B_δ(y) ⊂ B_r(x)$. +\end{proof} +\begin{bemerkung-nn} + Die abgeschlossene Kugel $\cl B_r (x)$ ist im Allgemeinen nicht der Abschluss der offenen Kugel $B_r(x)$, aber es gilt immer + \[ + \cl{B_r(x)} ⊂ \cl{B_r}(x). + \] +\end{bemerkung-nn} +\begin{satz} + Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. + Dann genügt $(X,\T_d)$ dem $T_2$-Axiom. +\end{satz} +\begin{proof} + Seien $x \ne y ∈ X$. Dann ist $δ \coloneq d(x,y) > 0$. + Dann sind $B_{δ/2}(x)$ und $B_{δ/2}(y)$ disjunkte Umgebungen von $x$ bzw $y$: + Sei $z ∈ B_{δ/2}(x)$. Dann ist + \[ + d(z,y) \ge d(y,x) - d(x,z) > δ - \frac δ 2 = \frac δ 2. + \] +\end{proof} +\begin{lemma-nn}[Eigenschaften metrischer Räume] + Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. + \begin{enumerate} + \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis + \[ + \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}. + \] + + \item + Es gilt + \[ + \lim_{n \to \infty } x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→\infty } d(x,x_n) = 0. + \] + \item + Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $\epsilon > 0$ existiert mit $B_\epsilon (x_0) ⊂ M$. + \item + $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder Kugel +$B_\epsilon (x_0)$ mit $x_0 ∈ X, \epsilon > 0$ eine Kugel $B_\delta (x_1) ⊂ +B_\epsilon (x_0)$ mit $B_\delta(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt. + \item + Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume. + Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik + \[ + d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\} + \] + oder auch mit + \[ + d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \coloneq \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}. + \] + Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie) + \item + Homöomorphismen $f: X → Y$ (für metrische Räume $X, Y$), die die Metrik respektieren, das heißt + \[ + d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X + \] + heißen \emph{Isometrien}. + \item + Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben. + Man betrachte hierzu die Menge $X \coloneq \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik. + Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist. + \end{enumerate} +\end{lemma-nn} +\begin{proof} +Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist. +\end{proof} + +Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. +\begin{satz} + Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt) + \item + Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt) + \item + Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt) + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{bemerkung} + Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}. + Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie. + Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt. +\end{bemerkung} + +\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} +\begin{definition} + Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$. +\end{definition} + +\begin{lemma} + Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge. +\end{lemma} +\begin{proof} + Sei etwa $\lim_{n→∞} x_n = x$. Sei $ε > 0$. + Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen $x$ konvergiert, gibt es $N ∈ ℕ$ mit $d(x_n,x)< ε/2$ für alle $n ≥ N$, also mit der Dreiecksungleichung + \[ + ∀n,m ≥ N: d(x_n,x_m) ≤ d(x_n,x) + d(x, x_m) < \frac ε 2 + \frac ε 2 = ε. + \] +\end{proof} + +\begin{definition} + Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert. +\end{definition} + +Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$), +jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern. + +\begin{satz} + Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten. + Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$. +\end{satz} +\begin{proof} + Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$. + Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt + \[ + \tilde X \coloneq \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\} + \] + und + \[ + \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) \coloneq \lim_{n → \infty } d(x_n,y_n). + \] + Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da + \[ + |d(x_n,x_m) - d(y_m,y_m) | \le \underbrace{d(x_n,x_m)}_{→ 0} + \underbrace{d(y_n,y_m)}_{→ 0}. + \] + Da $ℝ$ bekanntlich vollständig ist, existiert somit der Grenzwert. + Ferner ist $\tilde d$ Repräsentatenunabhängig, also wohldefiniert: + Seien $(\tilde x_n)$ und $(\tilde y_n)$ andere Repräsentaten. Dann ist + \[ + d(x_n,y_n) \le \underbrace{d(x_n,\tilde x_n)}_{→ 0} + d(\tilde x_n,\tilde y_n) + \underbrace{d(\tilde y_n, y_n)}_{→ 0}. + \] + Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist. + Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten. +\end{proof} + +\begin{bemerkung-nn} + Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle. + Man beachte jedoch, dass dies nicht für die Konstruktion von $ℝ$ ausreicht, da hier schon die Existenz von $ℝ$ verwenden wird -- Aber das funktioniert größtenteils analog. +\end{bemerkung-nn} + + +\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz} + Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien + $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty ) $ Folgen mit der Eigenschaft + \begin{enumerate} + \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$ + \item $\lim_{n \to \infty } r_n = 0$. + \end{enumerate} + Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n} (x_n)$. +\end{satz} +\begin{proof} + + Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt + \[ + \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n). + \] + Also + \[ + d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. + \] + Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$. + Außerdem gilt + \[ + d(x_p,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → \infty )} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}. + \] + Damit folgt für $p → \infty $ + \[ + d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ + \] + also $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$. + Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$. + Dann folgt + \[ + d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0. + \] + Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$. +\end{proof} + +\begin{definition} + Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder \emph{mager}, falls sie + die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}. +\end{definition} + +Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem. + + +\begin{satz}[Baire]\label{baire} + Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst) +\end{satz} +\begin{proof} + Sei $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt + \[ + M ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} M_n + \] + mit $M_n ⊂ X$ nirgends dicht. Wähle $x_0 ∈ M$. Da $M$ offen ist, gibt es ein $r = r_0 > 0$ mit $B_{r_0}(x_0) ⊂ M$. + Da $M_1$ nirgends dicht ist, gibt es $r_1 > 0$ und $x_1 ∈ X$ mit + \[ + B_{r_1}(x_1) ⊂ B_{r_0/2} (x_0) + \] + und $B_{r_1}(x_1) ∩ M_1 = \emptyset$. + Analog finden wir, da $M_2$ nirgends dicht ist, $r_2 > 0$ und $x_2 ∈ X$ mit + \[ + B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1) + \] + und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$. + Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$. + Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein + \[ + \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M. + \] + Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie. +\end{proof} + +% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire} +% Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum +% \begin{enumerate} +% \item +% Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$. +% Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht. +% \item +% Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist +% $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$. +% \item +% Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit +% $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ +% \ne \emptyset$. +% \end{enumerate} +% \end{satz} +% \begin{proof} +% \begin{enumerate} +% \item +% Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne +% \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik +% $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$ +% und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv +% Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden +% Eigenschaften: +% \begin{enumerate}[label=(\roman*)] +% \item +% $0 < r_n < \frac 1 n$ +% \item +% $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ +% \end{enumerate} +% Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen +% ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > \epsilon > 0$ mit $B_\epsilon (x_n) ⊂ U_n ∩ +% B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac \epsilon 2$ ist wie gewünscht. Für $m +% \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt, +% dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit +% konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m > +% N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass +% \begin{align*} +% x &= \lim_{m → \infty } x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\ +% & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W, +% \end{align*} +% also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$. + +% Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es +% $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt +% mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen +% $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften: +% \begin{enumerate}[label=(\roman*)] +% \item +% $B_k ⊂ B_{k-1}$ +% \item +% $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$. +% \end{enumerate} +% Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und +% der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und +% nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch +% eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$. +% Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge +% $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft. +% Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$ +% abgeschlossen, somit folgt +% \[ +% \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k +% \] +% sowie +% \[ +% \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W. +% \] +% Insgesamt also +% \[ +% \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W. +% \] +% \item +% Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und +% dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und +% somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n +% ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$. +% \item +% Das ist eine direkte Konsequenz aus (b). +% \end{enumerate} +% \end{proof} + + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% End: |