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@@ -1845,11 +1845,12 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \begin{proof} $(a) \iff (b)$ wurde bereits gezeigt. Wir zeigen nur $(b) ⇒ (c)$: Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ A$ eine Cauchy-Folge. Nach (b) besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ einen Häufungspunkt $x^*$. - Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig, - Da $A$ nach + Da $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy-Folge ist, konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ schon gegen $x^*$. Damit ist $A$ vollständig. + Angenommen, $A$ wäre nicht präkompakt. Dann gibt es $ε > 0$, so dass $A$ keine endliche Überdeckung mit $ε$-Kugeln besitzt. Dadurch kann man eine Folge $(x_k)_{k ∈ K}$ definieren, mit $d(x_k,x_j) > ε$ für $k \ne j$. Dann besitzt $(x_k)_{k ∈ K}$ offensichtlich keine Cauchy-Teilfolge, also auch keinen Häufungspunkt. + Also $A$ präkompakt. \end{proof} \end{document} |