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@@ -398,11 +398,11 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig. \end{bemerkung} \begin{beweis} - Seien $x_{0} \neq \={x_{0}}$ Grenzwerte von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$. - Dann existieren disjunkte Umgebung $U \in x_{0}, \={U} \in \={x_{0}}$. - Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$ - und $\={n_{0}} \in \N$, sodass $x_{n} \in \={U}$ für alle $n \geq \={n_{0}}$. - Also gilt $x_{max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U cap \={U}$ + Seien $x_{0} \neq x'_{0}$ Grenzwerte von $(x_{n})_{n \in \N} \subset X$. + Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$. + Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$ + und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$. + Also gilt $x_{\max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U \cap U'$ Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen. \end{beweis} @@ -773,6 +773,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden. Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt. \end{bemerkung-nn} + %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "funkana" |