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@@ -0,0 +1,36 @@
+\documentclass[twoside=semi,chapterprefix=true,headings=big]{skript}
+\title{Funktionalanalysis}
+\subtitle{Mitschrift zur Vorlesung}
+\author{Prof. Dr. Maier-Paape}
+\date{WS 17/18}
+
+\newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|}
+\def\R{\mathbb{R}}
+\def\C{\mathbb{C}}
+\def\K{\mathbb{K}}
+\def\L{\mathcal{L}}
+\def\T{\mathcal T}
+\def\U{\mathcal{U}}
+\newcommand\cl[1]{\overline{#1}}
+\newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
+\DeclareMathOperator{\lspan}{span}
+\DeclareMathOperator{\im}{im}
+\let\Re\relax
+\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
+\let\Im\relax
+\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
+\def\phi{\varphi}
+\def\Tnat{\ensuremath{\T_{\mathrm{nat}}}}
+\def\Tcof{\ensuremath{\T_{\mathrm{cof}}}}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+\cleardoublepage
+
+\input{inhalt}
+
+\end{document}
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index 0000000..d910123
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@@ -0,0 +1,384 @@
+\section*{Motivation}
+\markboth{}{Motivation}
+
+In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht.
+Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich.
+Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich-dimensionalen Funktionenräumen.
+Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Untersuchungsmethoden zu verallgemeinern.
+Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt.
+
+\begin{problem-nn}
+    Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung:
+    Wir wollen die Funktion
+    \[
+        f(u) = \int_0^π |u'(x)|^2 dx
+    \]
+    unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(π) = 0$ und $\int_0^π |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren.
+    In der klassischen Analysis haben wir für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungungen Lagrange-Multiplikatoren genutzt.
+    Im unendlich-dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach.
+    Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich-dimensionalen Funktionenraums
+    \[
+        X = \left\{ u ∈ C^1[0,π]: u(0) = u(π) = 0 \right\}
+    \]
+    ist, die durch
+    \[
+        Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^π |u(x)|^2 dx = 1 \right\}
+    \]
+    gegeben ist.
+    Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,π])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
+\end{problem-nn}
+\begin{problem-nn}[Fourierreihenentwicklung]
+    Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
+    \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
+    \[
+        \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2π} φ_i(t) φ_j(t) dt = 2π δ_{i,j},
+    \]
+    wobei $δ_{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
+    Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen.
+    Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2π$-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} α_i φ_i$ mit $α_i ∈ ℝ$ entwickeln können.
+    Bereits bekannt ist, dass das für das entsprechende endlich-dimensionale Problem geht: Sei $T = \{ e_1,…,e_n\}$ die kanonische Standardbasis des $ℝ^n$
+    Dann gilt bekanntlich
+    \[
+        \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = δ_{i,j}
+    \]
+    und für jedes $x ∈ ℝ^n$ ist
+    \[
+        x = \sum_{i=1}^n α_i e_i, \quad α_i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}.
+    \]
+    Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich-dimensionalen.
+\end{problem-nn}
+\begin{problem-nn}
+    Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$)
+    \[
+        u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0
+    \]
+    bestimmen. Mit Hilfte der sogenannten Green'schen Funktion lässt sich diese Randwertaufgabe in eine Integralgleichung
+    \[
+        (T_u)(t) := ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u
+    \]
+    umwandeln. Das heißt, man sucht einen Fixpunkt eines Integraloperators $T$ in einer geeigneten Menge von Funktionen.
+\end{problem-nn}
+
+Diese Probleme lassen sich mit der klassischen Analysis nicht mehr behandeln.
+In der Funktionalanalysis behandeln wir nun im Wesentlichen „Analysis in $\infty$-dimensionalen Räumen“ (meist Funktionenräume).
+Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten, die jodoch immer noch folgende beide Charakteristika aufweisen:
+\begin{enumerate}
+\item Die lineare Struktur (das heißt, Elemente lassen sich addieren und mit einem Skalar multiplizieren)
+\item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff)
+\end{enumerate}
+
+Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.
+
+\chapter{Die lineare Struktur}
+\section{Der lineare Raum}
+Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
+\begin{definition}[Vektorraum]
+    Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung
+    \[
+        \cdot : \K × X → X
+    \]
+    heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $α, β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
+    \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
+    \item $α x+y) = αx + βy$
+    \item $(α+β)x = αx + βx$
+    \item $(αβ)x = α(βx)$
+    \item $1 \cdot x = x$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $α, β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $αx + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
+    $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
+    Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
+    \[
+        \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, α_1,…,α_l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l α_i m_i = x \right\}.
+    \]
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    $M = \{x_λ\}_{λ ∈ Λ} ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
+    $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_λ$ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Besitzt $X$ eine Basis von $n < ∞$ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
+    Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = ∞$).
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
+    \[
+        X_1 + X_2 := \left\{ αx_1 + βx_2: α, β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
+    \]
+    ebenfalls ein linearer Teilraum.
+    Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
+    $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
+    Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
+    Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\section{Beispiele}
+\begin{beispiel}
+    Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+    Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist
+    \[
+      C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\}
+    \]
+    ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = ∞$.
+    Zum Beispiel sind die Monome $(t^k)_{k ∈ ℕ}$ ein unendliches linear unabhängiges System, jedoch keine Basis.
+    Tatsächlich ist jede Basis dieses Raumes überabzählbar.
+\end{beispiel}
+
+\section{Lineare Abbildungen}
+\begin{definition}
+    Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $α, β ∈ \K$ gilt:
+    \[
+    A(αx_1 + βx_2)  = αA(x_1) + βA(x_2).
+    \]
+    $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
+    Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Sei $A: X → Y$ linear.
+    \begin{enumerate}
+    \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei injektivität.
+    \item Es gilt
+        \[
+            A \text{ injektiv} \Longleftrightarrow N(A) = \{ 0\}.
+        \]
+        Allgemeiner ist
+        \[
+            X/(N(A)) \cong \im A.
+        \]
+    \item
+        Falls $\dim X = \dim Y = n < ∞$, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist.
+    \item
+        $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$.
+    \item
+        Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
+        $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.
+
+        Nur falls $\dim X = \dim Y < ∞$ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph.
+        In diesem Fall erhält man die Prototypen $ℝ^n$ und $ℂ^n$ für endlich-dimensionale Vektorräume und andere gitbt es nicht (die sie auch als Topologische Räume isomorph sind).
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum.
+    Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch
+    \[
+        (Ax)(t) := \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b].
+    \]
+    Dann ist $A$ linear, weil differenzieren linear ist und $A$ ist injektiv:
+    Zunächst ist $x = 0$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $Ax = 0$.
+    Die Theorie der Differentialgleichungen sagt uns, dass diese Differentialgleichung eine eindeutige Lösung des Anfangswertsproblems ist.
+
+    $A$ ist aber auch surjektiv: Sei $y ∈ Y$ gegeben, dann suchen wir $x ∈ X$ mit $Ax = y$.
+    Also wollen wir eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen.
+    Auch diese ist nach der Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen eindeutig lösbar.
+
+    Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$.
+    Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben.
+    Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch
+    \[
+        (Ax)(t) := ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
+    \]
+    wobei $k : [a,b] × [a,b] → ℝ$ stetig und gegeben ist.
+    Dann ist $A$ linear, da das Integral linear ist.
+    Auch ist, wenn $λ ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung
+    \[
+        (A_λx)(t) := λx(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b]
+    \]
+    linear.
+    Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_λ x = 0$ (gesucht ist $λ ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
+    heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit
+    \[
+        Ax = x(t_0),
+    \]
+    wobei $t_0 ∈ [a,b]$ fest gewählt sei.
+    Eine andere lineare Abbildung $A: X → ℝ$ ist gegeben durch
+    \[
+        Ax = ∫_a^b x(t) dt
+    \]
+    Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei
+    \[
+        Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2.
+    \]
+    $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv.
+    Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < ∞$ nicht.
+\end{beispiel-nn}
+
+\section{Duale Räume}
+$A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$)
+\[
+    x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}.
+\]
+Wir schreiben nun
+\[
+    x'(x) =: \langle  x, x' \rangle = \langle  x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K.
+\]
+Wir setzen
+\[
+    X^f := \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
+\]
+Hierbei sollte man nicht $x'$ nicht mit der Ableitung von $x$ verwechseln.
+Auch ist $\langle  -, - \rangle_{X × X^f}$ kein Skalarprodukt.
+
+Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit
+\[
+    (αx_1' + βx_2')(x) := αx_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, α, β ∈ \K.
+\]
+So ist
+\[
+    \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
+\]
+bilinear.
+\begin{definition}
+    $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
+    $X^{ff} := (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung
+    \[
+        J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x''
+    \]
+    mit
+    \[
+        \langle x', x'' \rangle := \langle x. x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f.
+    \]
+    Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}
+    Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < ∞$ ist.
+
+    Im Fall $\dim X < ∞$ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
+    Sei dazu $M := \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch
+    \[
+        \langle  x_i, x_k' \rangle := δ_{i,k}
+    \]
+    und linearer Fortsetzung die Menge $ M := \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt.
+    Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird.
+    Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = ∞$ wesentlich größer.
+    Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums:
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}[Dualraum]
+    Zu einem linearen Raum $X$ ist
+    \[
+        X' := \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
+    \]
+    der Dualraum von $X$.
+\end{definition}
+Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topologien} einführen.
+
+\chapter{Topologie}
+\section{Topologische Räume}
+\begin{definition}
+    Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
+    $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
+    Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
+    $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
+\end{definition}
+\begin{beispiele}
+    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+        \item
+              Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
+        \item
+              Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
+        \item
+            In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $ε > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < ε$ auch $y ∈ U$ gilt.
+            Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
+            Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
+        \item
+              Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
+              $X$ wird definiert als
+              \[
+                  \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
+              \]
+        \item
+              Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiele}
+
+\begin{definition}
+    Sei $M ⊂ X$
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus  M$ offen ist.
+    \item
+        $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
+        \[
+            \U_A := \U_A (\T) := \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
+        \]
+        $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
+        Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x := \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
+    \item
+        $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k
+    \item
+        Das \emph{Innere von M} ist
+        \[
+            M^\circ := \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
+        \]
+        die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
+    \item
+        Der \emph{Abschluss von} M ist
+        \[
+            \cl M := \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
+        \]
+        die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
+    \item
+        $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
+    \item
+        $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
+    \item
+        $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+    \begin{enumerate}
+    \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl  M$.
+    \item
+        $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$.
+    \item
+        $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
+    \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana"
+%%% End:
diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf
new file mode 100644
index 0000000..0fcbec3
--- /dev/null
+++ b/pdf/funkana.pdf
diff --git a/skript.cls b/skript.cls
new file mode 100644
index 0000000..7891694
--- /dev/null
+++ b/skript.cls
@@ -0,0 +1,147 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
+\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrbook}}
+\ProcessOptions\relax
+\LoadClass{scrbook}
+\ProvidesClass{skript}
+
+\RequirePackage{tikz}
+\usetikzlibrary{babel}
+\RequirePackage{tikz-cd}
+\tikzcdset{arrow style=tikz, diagrams={>=stealth}}
+
+\RequirePackage{polyglossia}
+\setdefaultlanguage{german}
+
+\RequirePackage{csquotes}
+\RequirePackage{hyphenat}
+\RequirePackage{titlesec}
+
+\RequirePackage{gitinfo}
+\RequirePackage{mathtools}
+\RequirePackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
+
+% fonts
+\RequirePackage[warnings-off={mathtools-colon,mathtools-overbracket}]{unicode-math}
+\setromanfont[Ligatures=TeX]{TeX Gyre Termes}
+\setsansfont{Latin Modern Sans}
+% \setsansfont{Roboto}
+% \setmathfont{XITS Math}
+\setmathfont{TeX Gyre Termes Math}
+\setmathfont[range=\setminus]{XITS Math}
+\setmathfont[range={\sum}]{TeX Gyre Termes Math}
+\setmathfont[range={\int}]{XITS Math}
+\setmathfont[range={\mathcal}]{Latin Modern Math}
+\setkomafont{disposition}{\sffamily}
+
+\RequirePackage{mathtools}
+\RequirePackage{amsmath, amsfonts, amssymb}
+
+
+% fonts
+\RequirePackage{textcomp}                % für erweiterten Text-Symbolvorrat
+\setkomafont{disposition}{\sffamily}
+\RequirePackage{setspace}
+\setstretch{1.10}
+\setlength\parskip{4pt}
+\setlength\parindent{0pt}
+
+\RequirePackage[amsmath, thmmarks, framed]{ntheorem}
+\RequirePackage[framemethod=tikz]{mdframed}
+\RequirePackage{versions}
+
+\RequirePackage{hyperref}
+\RequirePackage[capitalise, nameinlink]{cleveref}
+
+\RequirePackage{scrpage2}
+\RequirePackage{authoraftertitle}
+
+\pagestyle{scrheadings}
+\clearscrheadfoot
+\ohead{\headmark}
+\cfoot{-- \pagemark~--}
+\automark{section}
+
+\usepackage{enumitem}
+\setenumerate{label=(\alph*)}
+
+\makeatletter
+\makeatletter 
+ \newtheoremstyle{mychange}%
+  {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont (##2)\ ##1\theorem@separator]}%
+  {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont (##2)\ ##1\ (##3)\theorem@separator]}
+ \newtheoremstyle{nonumbermychange}%
+  {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\theorem@separator]}%
+  {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ (##3)\theorem@separator]}
+\makeatother
+\DeclareDocumentCommand\newmdtheoremenv{s O{} m o m o }{%
+\IfBooleanTF{#1}{%
+   \newtheorem*{#3}{#5}%
+ }{%
+ \ifboolexpr{ test {\IfNoValueTF {#4}} and test {\IfNoValueTF {#6}} }%
+    {\newtheorem{#3}{#5}}{%
+     \IfValueTF{#4}{\newtheorem{#3}[#4]{#5}}{}%
+     \IfValueTF{#6}{\newtheorem{#3}{#5}[#6]}{}%
+    }
+  }%
+  \BeforeBeginEnvironment{#3}{%
+     \begin{mdframed}[#2]}%
+  \AfterEndEnvironment{#3}{%
+     \end{mdframed}}%
+}
+\newcounter{defsatzusw}
+\def\newthm#1#2{
+    \newmdtheoremenv[ntheorem,
+    linewidth=0.8pt,
+    backgroundcolor=black!10,
+    linecolor=black,
+    everyline=true,
+    leftline=true, rightline=true, bottomline=true, topline=true,
+    ]{#1}[defsatzusw]{#2}
+    \newmdtheoremenv*[ntheorem,
+    linewidth=0.5pt,
+    backgroundcolor=black!05,
+    linecolor=black,
+    everyline=true,
+    leftline=true, rightline=true, bottomline=true, topline=true,
+    ]{#1-nn}{#2}
+}
+\def\newdef#1#2{\newtheorem{#1}[defsatzusw]{#2}\newtheorem*{#1-nn}{#2}}
+\theoremseparator{.}
+\numberwithin{defsatzusw}{section}
+% \theoremsymbol{\ensuremath{\diamond}}
+% kursive schrift
+\theoremstyle{mychange}
+\newthm{satz}{Satz}
+\newthm{lemma}{Lemma}
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+% aufrechte schrift
+\theorembodyfont{\normalfont}
+\newthm{definition}{Definition}
+\newthm{bezeichnung}{Bezeichnung}
+\newthm{bezeichnungen}{Bezeichnungen}
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+\newthm{voraussetzungen}{Voraussetzungen}
+\newdef{bemerkung}{Bemerkung}
+\newdef{bemerkungen}{Bemerkungen}
+\newdef{erinnerung}{Erinnerung}
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+\newdef{beispiele}{Beispiele}
+\newdef{problem}{Problem}
+
+\theoremstyle{nonumberplain}
+\theoremheaderfont{\bfseries}
+\theorembodyfont{\normalfont}
+\theoremseparator{.}
+% \theoremsymbol{\scalebox{0.8}{\ensuremath{\blacksquare}}}
+\theoremsymbol{\ensuremath\square}
+\newtheorem{proof}{Beweis}
+\newtheorem{beweis}{Beweis}
+
+\titleformat{\section}{\titlefont\Large}%
+ {\S\,\thesection}{.66em}{}
+\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
+
+\endinput
\ No newline at end of file