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authorUlli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>2017-10-14 18:04:56 +0200
committerUlli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>2017-10-14 18:04:56 +0200
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--- /dev/null
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@@ -0,0 +1,36 @@
+\documentclass[twoside=semi,chapterprefix=true,headings=big]{skript}
+\title{Funktionalanalysis}
+\subtitle{Mitschrift zur Vorlesung}
+\author{Prof. Dr. Maier-Paape}
+\date{WS 17/18}
+
+\newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|}
+\def\R{\mathbb{R}}
+\def\C{\mathbb{C}}
+\def\K{\mathbb{K}}
+\def\L{\mathcal{L}}
+\def\T{\mathcal T}
+\def\U{\mathcal{U}}
+\newcommand\cl[1]{\overline{#1}}
+\newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)}
+\DeclareMathOperator{\End}{End}
+\DeclareMathOperator{\grad}{grad}
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+\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
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+\DeclareMathOperator{\Im}{Im}
+\def\phi{\varphi}
+\def\Tnat{\ensuremath{\T_{\mathrm{nat}}}}
+\def\Tcof{\ensuremath{\T_{\mathrm{cof}}}}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\tableofcontents
+\cleardoublepage
+
+\input{inhalt}
+
+\end{document}
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--- /dev/null
+++ b/inhalt.tex
@@ -0,0 +1,384 @@
+\section*{Motivation}
+\markboth{}{Motivation}
+
+In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht.
+Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich.
+Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich-dimensionalen Funktionenräumen.
+Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Untersuchungsmethoden zu verallgemeinern.
+Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt.
+
+\begin{problem-nn}
+ Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung:
+ Wir wollen die Funktion
+ \[
+ f(u) = \int_0^π |u'(x)|^2 dx
+ \]
+ unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(π) = 0$ und $\int_0^π |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren.
+ In der klassischen Analysis haben wir für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungungen Lagrange-Multiplikatoren genutzt.
+ Im unendlich-dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach.
+ Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich-dimensionalen Funktionenraums
+ \[
+ X = \left\{ u ∈ C^1[0,π]: u(0) = u(π) = 0 \right\}
+ \]
+ ist, die durch
+ \[
+ Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^π |u(x)|^2 dx = 1 \right\}
+ \]
+ gegeben ist.
+ Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,π])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
+\end{problem-nn}
+\begin{problem-nn}[Fourierreihenentwicklung]
+ Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
+ \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
+ \[
+ \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2π} φ_i(t) φ_j(t) dt = 2π δ_{i,j},
+ \]
+ wobei $δ_{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
+ Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen.
+ Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2π$-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} α_i φ_i$ mit $α_i ∈ ℝ$ entwickeln können.
+ Bereits bekannt ist, dass das für das entsprechende endlich-dimensionale Problem geht: Sei $T = \{ e_1,…,e_n\}$ die kanonische Standardbasis des $ℝ^n$
+ Dann gilt bekanntlich
+ \[
+ \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = δ_{i,j}
+ \]
+ und für jedes $x ∈ ℝ^n$ ist
+ \[
+ x = \sum_{i=1}^n α_i e_i, \quad α_i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}.
+ \]
+ Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich-dimensionalen.
+\end{problem-nn}
+\begin{problem-nn}
+ Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$)
+ \[
+ u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0
+ \]
+ bestimmen. Mit Hilfte der sogenannten Green'schen Funktion lässt sich diese Randwertaufgabe in eine Integralgleichung
+ \[
+ (T_u)(t) := ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u
+ \]
+ umwandeln. Das heißt, man sucht einen Fixpunkt eines Integraloperators $T$ in einer geeigneten Menge von Funktionen.
+\end{problem-nn}
+
+Diese Probleme lassen sich mit der klassischen Analysis nicht mehr behandeln.
+In der Funktionalanalysis behandeln wir nun im Wesentlichen „Analysis in $\infty$-dimensionalen Räumen“ (meist Funktionenräume).
+Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten, die jodoch immer noch folgende beide Charakteristika aufweisen:
+\begin{enumerate}
+\item Die lineare Struktur (das heißt, Elemente lassen sich addieren und mit einem Skalar multiplizieren)
+\item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff)
+\end{enumerate}
+
+Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.
+
+\chapter{Die lineare Struktur}
+\section{Der lineare Raum}
+Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
+\begin{definition}[Vektorraum]
+ Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung
+ \[
+ \cdot : \K × X → X
+ \]
+ heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $α, β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
+ \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
+ \item $α x+y) = αx + βy$
+ \item $(α+β)x = αx + βx$
+ \item $(αβ)x = α(βx)$
+ \item $1 \cdot x = x$
+ \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $α, β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $αx + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
+ $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
+ Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
+ \[
+ \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, α_1,…,α_l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l α_i m_i = x \right\}.
+ \]
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ $M = \{x_λ\}_{λ ∈ Λ} ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
+ $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_λ$ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Besitzt $X$ eine Basis von $n < ∞$ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
+ Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = ∞$).
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
+ \[
+ X_1 + X_2 := \left\{ αx_1 + βx_2: α, β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
+ \]
+ ebenfalls ein linearer Teilraum.
+ Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+ Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
+ $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
+ Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
+ Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\section{Beispiele}
+\begin{beispiel}
+ Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
+\end{beispiel}
+
+\begin{beispiel}
+ Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist
+ \[
+ C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\}
+ \]
+ ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = ∞$.
+ Zum Beispiel sind die Monome $(t^k)_{k ∈ ℕ}$ ein unendliches linear unabhängiges System, jedoch keine Basis.
+ Tatsächlich ist jede Basis dieses Raumes überabzählbar.
+\end{beispiel}
+
+\section{Lineare Abbildungen}
+\begin{definition}
+ Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $α, β ∈ \K$ gilt:
+ \[
+ A(αx_1 + βx_2) = αA(x_1) + βA(x_2).
+ \]
+ $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
+ Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+ Sei $A: X → Y$ linear.
+ \begin{enumerate}
+ \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei injektivität.
+ \item Es gilt
+ \[
+ A \text{ injektiv} \Longleftrightarrow N(A) = \{ 0\}.
+ \]
+ Allgemeiner ist
+ \[
+ X/(N(A)) \cong \im A.
+ \]
+ \item
+ Falls $\dim X = \dim Y = n < ∞$, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist.
+ \item
+ $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$.
+ \item
+ Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
+ $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.
+
+ Nur falls $\dim X = \dim Y < ∞$ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph.
+ In diesem Fall erhält man die Prototypen $ℝ^n$ und $ℂ^n$ für endlich-dimensionale Vektorräume und andere gitbt es nicht (die sie auch als Topologische Räume isomorph sind).
+ \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiel-nn}
+ $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum.
+ Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch
+ \[
+ (Ax)(t) := \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b].
+ \]
+ Dann ist $A$ linear, weil differenzieren linear ist und $A$ ist injektiv:
+ Zunächst ist $x = 0$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $Ax = 0$.
+ Die Theorie der Differentialgleichungen sagt uns, dass diese Differentialgleichung eine eindeutige Lösung des Anfangswertsproblems ist.
+
+ $A$ ist aber auch surjektiv: Sei $y ∈ Y$ gegeben, dann suchen wir $x ∈ X$ mit $Ax = y$.
+ Also wollen wir eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen.
+ Auch diese ist nach der Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen eindeutig lösbar.
+
+ Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$.
+ Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben.
+ Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+ Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch
+ \[
+ (Ax)(t) := ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
+ \]
+ wobei $k : [a,b] × [a,b] → ℝ$ stetig und gegeben ist.
+ Dann ist $A$ linear, da das Integral linear ist.
+ Auch ist, wenn $λ ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung
+ \[
+ (A_λx)(t) := λx(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b]
+ \]
+ linear.
+ Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_λ x = 0$ (gesucht ist $λ ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
+ heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+ Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit
+ \[
+ Ax = x(t_0),
+ \]
+ wobei $t_0 ∈ [a,b]$ fest gewählt sei.
+ Eine andere lineare Abbildung $A: X → ℝ$ ist gegeben durch
+ \[
+ Ax = ∫_a^b x(t) dt
+ \]
+ Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{beispiel-nn}
+ Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei
+ \[
+ Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2.
+ \]
+ $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv.
+ Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < ∞$ nicht.
+\end{beispiel-nn}
+
+\section{Duale Räume}
+$A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$)
+\[
+ x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}.
+\]
+Wir schreiben nun
+\[
+ x'(x) =: \langle x, x' \rangle = \langle x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K.
+\]
+Wir setzen
+\[
+ X^f := \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
+\]
+Hierbei sollte man nicht $x'$ nicht mit der Ableitung von $x$ verwechseln.
+Auch ist $\langle -, - \rangle_{X × X^f}$ kein Skalarprodukt.
+
+Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit
+\[
+ (αx_1' + βx_2')(x) := αx_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, α, β ∈ \K.
+\]
+So ist
+\[
+ \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
+\]
+bilinear.
+\begin{definition}
+ $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
+ $X^{ff} := (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel-nn}
+ $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung
+ \[
+ J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x''
+ \]
+ mit
+ \[
+ \langle x', x'' \rangle := \langle x. x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f.
+ \]
+ Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}
+ Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+ $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < ∞$ ist.
+
+ Im Fall $\dim X < ∞$ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
+ Sei dazu $M := \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch
+ \[
+ \langle x_i, x_k' \rangle := δ_{i,k}
+ \]
+ und linearer Fortsetzung die Menge $ M := \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt.
+ Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird.
+ Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = ∞$ wesentlich größer.
+ Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums:
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}[Dualraum]
+ Zu einem linearen Raum $X$ ist
+ \[
+ X' := \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
+ \]
+ der Dualraum von $X$.
+\end{definition}
+Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topologien} einführen.
+
+\chapter{Topologie}
+\section{Topologische Räume}
+\begin{definition}
+ Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
+ $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
+ Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
+ $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
+\end{definition}
+\begin{beispiele}
+ \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+ \item
+ Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
+ \item
+ Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
+ \item
+ In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $ε > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < ε$ auch $y ∈ U$ gilt.
+ Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
+ Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
+ \item
+ Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
+ $X$ wird definiert als
+ \[
+ \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
+ \]
+ \item
+ Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
+ \end{enumerate}
+\end{beispiele}
+
+\begin{definition}
+ Sei $M ⊂ X$
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus M$ offen ist.
+ \item
+ $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
+ \[
+ \U_A := \U_A (\T) := \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
+ \]
+ $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
+ Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x := \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
+ \item
+ $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k
+ \item
+ Das \emph{Innere von M} ist
+ \[
+ M^\circ := \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
+ \]
+ die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
+ \item
+ Der \emph{Abschluss von} M ist
+ \[
+ \cl M := \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
+ \]
+ die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
+ \item
+ $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
+ \item
+ $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
+ \item
+ $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
+ \end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+ \begin{enumerate}
+ \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl M$.
+ \item
+ $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$.
+ \item
+ $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
+ \end{enumerate}
+\end{bemerkung}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana"
+%%% End:
diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf
new file mode 100644
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--- /dev/null
+++ b/pdf/funkana.pdf
Binary files differ
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index 0000000..7891694
--- /dev/null
+++ b/skript.cls
@@ -0,0 +1,147 @@
+\NeedsTeXFormat{LaTeX2e}
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+
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+
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+ \ifboolexpr{ test {\IfNoValueTF {#4}} and test {\IfNoValueTF {#6}} }%
+ {\newtheorem{#3}{#5}}{%
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+ }
+ }%
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+}
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+\endinput \ No newline at end of file