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@@ -380,6 +380,123 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
 
 
 %%%%% VORLESUNG VOM DONNERSTAG, 19. OKTOBER FEHLT
+\begin{definition}[Hausdorff-Raum]
+	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
+	Für alle $x,y \in \X$ mit $x \neq y$ 
+	existieren $U \in \U_x, V \in \V_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
+	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem Trennungsaxiom.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Konvergenz]
+	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
+	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
+	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist.
+	Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
+	Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig.
+\end{bemerkung}
+\begin{beweis}
+	Seien $x_{0} \neq \={x_{0}}$ Grenzwerte von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$.
+	Dann existieren disjunkte Umgebung $U \in x_{0}, \={U} \in \={x_{0}}$.
+	Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$
+	und $\={n_{0}} \in \N$, sodass $x_{n} \in \={U}$ für alle $n \geq \={n_{0}}$.
+	Also gilt $x_{max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U cap \={U}$
+	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
+\end{beweis}
+
+\begin{definition}[Häufungspunkt]
+	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
+	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
+	ein $n \geq k \in \N$ existiert, sodass $x_{n} \in U$.
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	$\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset \R$ mit natürlicher Topologie.
+	$x_{n}=(-1)^n$ hat zwei HP $\pm 1$
+	Achtung: $M={x_{n}:n \in \N}={-1,1}$ hat als Menge keine HP.
+\end{beispiel}
+\begin{bemerkung}
+	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in X HP jeder Folge.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}[Stetigkeit]
+	$f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ heißt stetig, falls
+	für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	$f$ ist stetig $\Longleftrightarrow$ $f$ ist stetig in jedem Punkt
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}[Homöomorphismus]
+	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv und stetig,
+	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
+	dann heißt $f$ Homöomorphismus.
+	$X$ und $Y$ heißen homöomorph, falls so ein Homöomorphismus existiert.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
+	\begin{enumerate}
+	\item
+	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls
+	$T={\cup M: M \subset B}$.
+	\item
+	Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$,
+	falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. 
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+\begin{beispiel}
+	Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch
+	${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ 
+	mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$.
+	Sei $x \in \R^n$ fest. 
+	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
+	$M \subset \T$ eines topologischen Raums $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
+	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\'{\T} := {M \cap V : V \in \T}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	$M = M \cap X \in \'{\T}$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
+	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{definition}
+	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
+	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
+	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
+	Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$.
+\end{definition}
+\begin{bemerkung}
+	Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$.
+	Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, 
+	und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen.
+	
+	Man zeigt leicht: 
+	$\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ 
+	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \ subset T_{1},B_{2} \ subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
+	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{beispiel}
+	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
+	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
+	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$ erzeugt wird.
+	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
+	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \geq i \geq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird.
+\end{beispiel}
+
+\begin{definition}[Produkttopologie]
+	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
+	Dann sit die Familie von Mengen
+	$\{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset 2^{X \times Y}$
+	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
+	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X}),\T_{Y}$ genommen werden.
+\end{definition}
+
+\section{Metrische Räume}
+>>>>>>> a63d837bda735becbcd595d31e5440a6c59bf8fd
 
 \section{Metrische Räume}
 \begin{lemma}[Eigenschaften metrischer Räume]
@@ -659,6 +776,7 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
     Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden.
     Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt.
 \end{bemerkung-nn}
+=======
 %%% Local Variables:
 %%% mode: latex
 %%% TeX-master: "funkana"