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\ No newline at end of file diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex new file mode 100644 index 0000000..3104858 --- /dev/null +++ b/funkana.tex @@ -0,0 +1,36 @@ +\documentclass[twoside=semi,chapterprefix=true,headings=big]{skript} +\title{Funktionalanalysis} +\subtitle{Mitschrift zur Vorlesung} +\author{Prof. Dr. Maier-Paape} +\date{WS 17/18} + +\newcommand\norm[1]{\left\|#1\right\|} +\def\R{\mathbb{R}} +\def\C{\mathbb{C}} +\def\K{\mathbb{K}} +\def\L{\mathcal{L}} +\def\T{\mathcal T} +\def\U{\mathcal{U}} +\newcommand\cl[1]{\overline{#1}} +\newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)} +\DeclareMathOperator{\End}{End} +\DeclareMathOperator{\grad}{grad} +\DeclareMathOperator{\lspan}{span} +\DeclareMathOperator{\im}{im} +\let\Re\relax +\DeclareMathOperator{\Re}{Re} +\let\Im\relax +\DeclareMathOperator{\Im}{Im} +\def\phi{\varphi} +\def\Tnat{\ensuremath{\T_{\mathrm{nat}}}} +\def\Tcof{\ensuremath{\T_{\mathrm{cof}}}} + +\begin{document} +\maketitle + +\tableofcontents +\cleardoublepage + +\input{inhalt} + +\end{document} diff --git a/inhalt.tex b/inhalt.tex new file mode 100644 index 0000000..d910123 --- /dev/null +++ b/inhalt.tex @@ -0,0 +1,384 @@ +\section*{Motivation} +\markboth{}{Motivation} + +In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht. +Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich. +Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich-dimensionalen Funktionenräumen. +Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Untersuchungsmethoden zu verallgemeinern. +Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt. + +\begin{problem-nn} + Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung: + Wir wollen die Funktion + \[ + f(u) = \int_0^π |u'(x)|^2 dx + \] + unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(π) = 0$ und $\int_0^π |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren. + In der klassischen Analysis haben wir für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungungen Lagrange-Multiplikatoren genutzt. + Im unendlich-dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach. + Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich-dimensionalen Funktionenraums + \[ + X = \left\{ u ∈ C^1[0,π]: u(0) = u(π) = 0 \right\} + \] + ist, die durch + \[ + Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^π |u(x)|^2 dx = 1 \right\} + \] + gegeben ist. + Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,π])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt. +\end{problem-nn} +\begin{problem-nn}[Fourierreihenentwicklung] + Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} = + \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich + \[ + \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2π} φ_i(t) φ_j(t) dt = 2π δ_{i,j}, + \] + wobei $δ_{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne. + Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen. + Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2π$-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} α_i φ_i$ mit $α_i ∈ ℝ$ entwickeln können. + Bereits bekannt ist, dass das für das entsprechende endlich-dimensionale Problem geht: Sei $T = \{ e_1,…,e_n\}$ die kanonische Standardbasis des $ℝ^n$ + Dann gilt bekanntlich + \[ + \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = δ_{i,j} + \] + und für jedes $x ∈ ℝ^n$ ist + \[ + x = \sum_{i=1}^n α_i e_i, \quad α_i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}. + \] + Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich-dimensionalen. +\end{problem-nn} +\begin{problem-nn} + Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$) + \[ + u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0 + \] + bestimmen. Mit Hilfte der sogenannten Green'schen Funktion lässt sich diese Randwertaufgabe in eine Integralgleichung + \[ + (T_u)(t) := ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u + \] + umwandeln. Das heißt, man sucht einen Fixpunkt eines Integraloperators $T$ in einer geeigneten Menge von Funktionen. +\end{problem-nn} + +Diese Probleme lassen sich mit der klassischen Analysis nicht mehr behandeln. +In der Funktionalanalysis behandeln wir nun im Wesentlichen „Analysis in $\infty$-dimensionalen Räumen“ (meist Funktionenräume). +Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten, die jodoch immer noch folgende beide Charakteristika aufweisen: +\begin{enumerate} +\item Die lineare Struktur (das heißt, Elemente lassen sich addieren und mit einem Skalar multiplizieren) +\item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff) +\end{enumerate} + +Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten. + +\chapter{Die lineare Struktur} +\section{Der lineare Raum} +Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die +\begin{definition}[Vektorraum] + Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung + \[ + \cdot : \K × X → X + \] + heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $α, β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt: + \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)] + \item $α x+y) = αx + βy$ + \item $(α+β)x = αx + βx$ + \item $(αβ)x = α(βx)$ + \item $1 \cdot x = x$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{bemerkung-nn} + Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $α, β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $αx + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist. + $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$. + Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$ + \[ + \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, α_1,…,α_l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l α_i m_i = x \right\}. + \] +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + $M = \{x_λ\}_{λ ∈ Λ} ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt, + $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_λ$ schreiben, und $\lspan M = X$ ist. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Besitzt $X$ eine Basis von $n < ∞$ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$. + Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = ∞$). +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist + \[ + X_1 + X_2 := \left\{ αx_1 + βx_2: α, β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\} + \] + ebenfalls ein linearer Teilraum. + Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}. +\end{bemerkung-nn} + +\begin{bemerkung-nn} + Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch + $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$. + Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum. + Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$. +\end{bemerkung-nn} + +\section{Beispiele} +\begin{beispiel} + Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum. +\end{beispiel} + +\begin{beispiel} + Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist + \[ + C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\} + \] + ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = ∞$. + Zum Beispiel sind die Monome $(t^k)_{k ∈ ℕ}$ ein unendliches linear unabhängiges System, jedoch keine Basis. + Tatsächlich ist jede Basis dieses Raumes überabzählbar. +\end{beispiel} + +\section{Lineare Abbildungen} +\begin{definition} + Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $α, β ∈ \K$ gilt: + \[ + A(αx_1 + βx_2) = αA(x_1) + βA(x_2). + \] + $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}. + Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + Sei $A: X → Y$ linear. + \begin{enumerate} + \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei injektivität. + \item Es gilt + \[ + A \text{ injektiv} \Longleftrightarrow N(A) = \{ 0\}. + \] + Allgemeiner ist + \[ + X/(N(A)) \cong \im A. + \] + \item + Falls $\dim X = \dim Y = n < ∞$, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist. + \item + $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$. + \item + Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.} + $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}. + + Nur falls $\dim X = \dim Y < ∞$ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph. + In diesem Fall erhält man die Prototypen $ℝ^n$ und $ℂ^n$ für endlich-dimensionale Vektorräume und andere gitbt es nicht (die sie auch als Topologische Räume isomorph sind). + \end{enumerate} +\end{bemerkung} + +\begin{beispiel-nn} + $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum. + Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch + \[ + (Ax)(t) := \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b]. + \] + Dann ist $A$ linear, weil differenzieren linear ist und $A$ ist injektiv: + Zunächst ist $x = 0$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $Ax = 0$. + Die Theorie der Differentialgleichungen sagt uns, dass diese Differentialgleichung eine eindeutige Lösung des Anfangswertsproblems ist. + + $A$ ist aber auch surjektiv: Sei $y ∈ Y$ gegeben, dann suchen wir $x ∈ X$ mit $Ax = y$. + Also wollen wir eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen. + Auch diese ist nach der Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen eindeutig lösbar. + + Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$. + Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben. + Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt. +\end{beispiel-nn} + +\begin{beispiel-nn} + Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch + \[ + (Ax)(t) := ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b], + \] + wobei $k : [a,b] × [a,b] → ℝ$ stetig und gegeben ist. + Dann ist $A$ linear, da das Integral linear ist. + Auch ist, wenn $λ ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung + \[ + (A_λx)(t) := λx(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b] + \] + linear. + Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_λ x = 0$ (gesucht ist $λ ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$) + heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung. +\end{beispiel-nn} + +\begin{beispiel-nn} + Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit + \[ + Ax = x(t_0), + \] + wobei $t_0 ∈ [a,b]$ fest gewählt sei. + Eine andere lineare Abbildung $A: X → ℝ$ ist gegeben durch + \[ + Ax = ∫_a^b x(t) dt + \] + Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv. +\end{beispiel-nn} + +\begin{beispiel-nn} + Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei + \[ + Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2. + \] + $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv. + Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < ∞$ nicht. +\end{beispiel-nn} + +\section{Duale Räume} +$A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$) +\[ + x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}. +\] +Wir schreiben nun +\[ + x'(x) =: \langle x, x' \rangle = \langle x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K. +\] +Wir setzen +\[ + X^f := \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}. +\] +Hierbei sollte man nicht $x'$ nicht mit der Ableitung von $x$ verwechseln. +Auch ist $\langle -, - \rangle_{X × X^f}$ kein Skalarprodukt. + +Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit +\[ + (αx_1' + βx_2')(x) := αx_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, α, β ∈ \K. +\] +So ist +\[ + \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K +\] +bilinear. +\begin{definition} + $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$. + $X^{ff} := (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$. +\end{definition} + +\begin{beispiel-nn} + $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung + \[ + J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x'' + \] + mit + \[ + \langle x', x'' \rangle := \langle x. x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f. + \] + Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert. +\end{beispiel-nn} + +\begin{definition} + Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist. +\end{definition} + +\begin{bemerkung} + $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < ∞$ ist. + + Im Fall $\dim X < ∞$ lässt sich leicht eine duale Basis angeben: + Sei dazu $M := \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch + \[ + \langle x_i, x_k' \rangle := δ_{i,k} + \] + und linearer Fortsetzung die Menge $ M := \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt. + Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird. + Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = ∞$ wesentlich größer. + Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums: +\end{bemerkung} + +\begin{definition}[Dualraum] + Zu einem linearen Raum $X$ ist + \[ + X' := \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f + \] + der Dualraum von $X$. +\end{definition} +Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topologien} einführen. + +\chapter{Topologie} +\section{Topologische Räume} +\begin{definition} + Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$. + $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. + Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten. + $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen} +\end{definition} +\begin{beispiele} + \begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item + Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}. + \item + Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$. + \item + In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $ε > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < ε$ auch $y ∈ U$ gilt. + Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen. + Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt. + \item + Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf + $X$ wird definiert als + \[ + \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\} + \] + \item + Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$. + \end{enumerate} +\end{beispiele} + +\begin{definition} + Sei $M ⊂ X$ + \begin{enumerate} + \item + $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus M$ offen ist. + \item + $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen + \[ + \U_A := \U_A (\T) := \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}. + \] + $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$. + Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x := \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$. + \item + $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k + \item + Das \emph{Innere von M} ist + \[ + M^\circ := \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\} + \] + die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist. + \item + Der \emph{Abschluss von} M ist + \[ + \cl M := \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\} + \] + die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält. + \item + $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt. + \item + $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$. + \item + $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$. + \end{enumerate} +\end{definition} +\begin{bemerkung} + \begin{enumerate} + \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl M$. + \item + $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$. + \item + $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$. + \end{enumerate} +\end{bemerkung} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "funkana" +%%% End: diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differnew file mode 100644 index 0000000..0fcbec3 --- /dev/null +++ b/pdf/funkana.pdf diff --git a/skript.cls b/skript.cls new file mode 100644 index 0000000..7891694 --- /dev/null +++ b/skript.cls @@ -0,0 +1,147 @@ +\NeedsTeXFormat{LaTeX2e} +\DeclareOption*{\PassOptionsToClass{\CurrentOption}{scrbook}} +\ProcessOptions\relax +\LoadClass{scrbook} +\ProvidesClass{skript} + +\RequirePackage{tikz} +\usetikzlibrary{babel} +\RequirePackage{tikz-cd} +\tikzcdset{arrow style=tikz, diagrams={>=stealth}} + +\RequirePackage{polyglossia} +\setdefaultlanguage{german} + +\RequirePackage{csquotes} 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