Vorlesung vom Freitag hinzugefügt.

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@@ -402,7 +402,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
 	Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$.
 	Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$
 	und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$.
-	Also gilt $x_{\max\{n_{0},\={n_{0}}\}} \in U \cap U'$
+	Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$
 	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
 \end{beweis}
 
@@ -455,10 +455,10 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
 
 \begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
 	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
-	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\'{\T} := {M \cap V : V \in \T}$.
+	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' := {M \cap V : V \in \T}$.
 \end{definition}
 \begin{bemerkung}
-	$M = M \cap X \in \'{\T}$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
+	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
 	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
 \end{bemerkung}
 
@@ -484,7 +484,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol
 	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
 	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$ erzeugt wird.
 	$\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
-	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \geq i \geq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird.
+	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird.
 \end{beispiel}
 
 \begin{definition}[Produkttopologie]
@@ -987,6 +987,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
 
 
 \begin{lemma}
+    \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}
     Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
     Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt
     \begin{gather*}
@@ -1021,8 +1022,263 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ ha
 \end{proof}
 
 
+\begin{definition}
+    Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,∞)$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen
+    Raum $X$, falls gilt:
+    \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)]
+    \item
+        $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
+    \item
+        $|-x| = |x|$ für alle $x ∈ X$
+    \item
+        $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$
+    \item
+        $|αx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
+    \item
+        $|α_nx| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$
+    \item
+        $|α_nx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$
+    \end{enumerate}
+    $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
+\end{definition}
+
+\begin{bemerkung}
+    Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) := |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht.
+    \item
+        Ist $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum mit translationsinvarianter Metrik $d$, so ist
+        $(X,|\cdot|)$ mit $|x| := d(x,0)$ ein quasi-normierter Raum.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Das folgt direkt aus den Axiomen und \cref{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}.
+\end{proof}
+
+
+Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
+
+\begin{definition}
+    Sei $X$ ein linearer Raum.
+    Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt:
+    \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)]
+    \item
+        $∀x ∈ X: p(x) ≥ 0$
+    \item
+        $∀ x ∈ X, α ∈ \K: p(αx) = |α| p(x)$
+    \item
+        $∀ x, y ∈ X: p(x+y) ≤ p(x) + p(y)$
+    \end{enumerate}
+    $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum.
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel-nn}
+    $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Jeeder semi-normierte Raum $(X,p)$ erzeugt einen normierten Raum $(X/N,p)$, wobei $N = \{ x ∈ X: p(x) = 0\}$ ein linearer Unterraum ist.
+\end{bemerkung-nn}
+
+\begin{satz}
+    \label{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}
+    Es seien $p_n: X → ℝ, n ∈ ℕ$ abzählbar viele Semi-Normen auf einem linearen Raum mit der Eigenschaft
+    \begin{equation}
+        p_n(x) = 0  \text{ für alle n ∈ ℕ } \implies x = 0. \label{eq:seminorm-folge-blub}
+    \end{equation}
+    Dann ist
+    \[
+        d(x,yr) := \sum_{n = 1}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+    \]
+    eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht.
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung}
+    $p_n: X → ℝ$ sind auf $(X,d)$ stetig. Das folgt aus (für $x_i → x_0$ in $X$)
+    \[
+        |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \xrightarrow{} 0
+    \]
+    und einer Übungsaufgabe.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+    \label{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}
+    Sei $(X,d)$ der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gegebene metrische lineare Raum (mit der von der Metrik erzeugten Topologie).
+    Dann bilden die Mengen ($ε_n > 0$)
+    \[
+        U (p_n,ε_n) := \bigcup B^{p_n}_{ε_n}(0)
+        = \{ x ∈ X: p_n(x) < ε_n\}
+    \]
+    und deren endliche Durchschnitte eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$
+\end{satz}
+
+\begin{bemerkung-nn}
+    Nach dem Invarianzprinzip ist damit durch $\bigcup B^{p_n}_{ε_n}$ die ganze Topologie bestimmt.
+    Mit anderen Worten: Die Topologie welche über die Metrik bestimmt ist, ist dieselbe wie die, welche von den
+    $U(p_n,ε_n)$ und endlichen Schnitten davon erzeugt wird.
+\end{bemerkung-nn}
+\begin{proof}[\cref{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}]
+    Zunächst ist $U (p_n,ε_n) ∈ \T$:
+    Sei $n ∈ ℕ$  und $ε_n > 0$ fest und $y ∈ U(p_n,ε_n)$ beliebig gegeben.
+    Dann ist $p_n(y) < ε_n$. Dann wähle $ρ = ρ(y) > 0$, so dass $p_n(y) + ρ < ε_n$.
+    Dann gilt für $r := 2^{-n} \frac{ρ}{1+ρ} > 0$:
+    \[
+        x ∈ B_r(y) \implies p_n(x+r) < ρ.
+    \]
+    Dazu ist 
+    \[
+        \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} \le 2^n \underbrace{d(x,y)}_{< r} < 2^n r = \frac{ρ}{1+ρ},
+    \]
+    also $p_n(x-y) < ρ$. Mit diesem $r$ gilt $B_r(y) ⊂ U(p_n,ε_n)$:
+    Sei $x ∈ B_r(y)$. Dann gilt
+    \[
+        p_n(x) \le \underbrace{p_n(x-y)}_{< ρ} + p_n(y) < p_n(y) + ρ = ε_n
+    \]
+    wie gewünscht.
+    
+
+    Sei $ B_r(0), r > 0$ gegeben.
+    Wähle $n_0 ∈ ℕ$ mit
+    \[
+        \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < \frac r 2.
+    \]
+
+    mit $ε := \frac r 2 $ gilt dann
+    \[
+        \bigcap{n=1}^{n_0} U(p_(,ε) ⊂ B_r(0).
+    \]
+    Sei dazu $x ∈ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_n,ε)$ beliebig.
+    Dann ist
+    \[
+        d(x,0) \le \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < ε \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} + \frac r 2 < ε + \frac r 2 = r,
+    \]
+    somit also $x ∈ B_r(0)$.
+\end{proof}
+
+\begin{bemerkung}
+    Die Mengen $U(p_n,ε_n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt
+    \[
+        x, y ∈ U(p_n,ε_n),α ∈ [0,1] \implies αx+(1-α)y ∈ U(p_n,ε_n)
+    \]
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+    Es ist
+    \[
+        p_n(αx + (1-α)y) \le |α| \underbrace{p_n(x)}_{< ε_n} + |1-α|\underbrace{p_n(y)}_{< ε_n} = ε_n.
+    \]
+\end{proof}
+
+Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis von $0$, die nur aus konvexen elementen besteht.
+
+\begin{definition}
+    Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$, in dem jedes $x ∈ X$ eine Umgebungsbasis besitzt, die nur aus konvexen Mengen besteht, heißt \emph{lokalkonvex}.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}
+    Sei $X$ ein linearer Raum mit Semi-Normen $p_i, i ∈ I$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist, mit der Eigenschaft
+    \[
+        p_i(x) = 0 \text { für alle } i ∈ I \implies x = 0.
+    \]
+    Dann sind die Mengen
+    \[
+        U(p_i,ε_i) = \{ x ∈ X: p_{(x) < ε_i}\}, \quad ε_i > 0, i ∈ I
+    \]
+    und deren endliche Schnitte eine konvexe Umgebungsbasis von $0 ∈ X$.
+    Die dadurch gewonne Topologie $\T$ macht $X$ zu einem \emph{lokalkonvexen Hausdorff-Raum}.
+\end{satz}
+
+\section{Beispiele}
+Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit untersuchen.
+
+\begin{definition}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet-Raum}.
+    \item
+        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach-Raum}.
+
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume]
+    \begin{enumerate}
+    \item 
+        $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < ∞$ ist normierter Raum mit
+        \[
+            \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^∞ |x_i|^p \right)^{1/p}.
+        \]
+    \item 
+        $(\ell^∞,\norm\cdot_∝)$, ist normierter Raum mit $\norm x _∞ = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
+    \item 
+        $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum.
+    \end{enumerate}
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{bemerkung}
+    Für $0 < p < q \le ∞$ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^∞$.
+\end{bemerkung}
+\begin{beweis}
+    Sei $x ∈ \ell^p$ mit $|x| = 1 = \sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^p$.
+    Dann ist für alle $i ∈ ℕ$ $|x_i|^p \le 1$, also auch $|x_i| < 1$.
+    Dann folgt auch $\sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^q < 1$, also $x ∈ \ell^q$ und $\sup_{i ∈ ℕ} |x_i| ≤ 1$, also $x ∈ \ell^∞$.
+\end{beweis}
+
+
+\begin{satz}
+    Für $1 \le p \le ∞$ ist $(\ell^p,\norm\cdot_p)$ ein Banachraum.
+    Für $0 < p < ∞$ ist $(\ell^p,|\cdot|_p)$ ein Fréchet-Raum.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+    Nur für $1 \le p < ∞$.
+    Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$  eine Cauchy-Folge, also
+    $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $ε > 0$ gibt es ein $n_0$ mit
+    \[
+        ∀n,m > n_0: \norm{x_n-xm}_p = \left( \sum_{k=1}^∞ |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < ε.
+    \]
+    Sei $k_0 ∈ ℕ$ beliebig. Dann ist
+    \[
+        (ξ_k^n)_{n ∈ ℕ}
+    \]
+    eine Cauchy-Folge in $\K$, besitzt also einen Grenzwert $ξ_{k_0}$.
+    Setze nun $x := (ξ_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \K^∞ = s$. Wir vermuten $x$ als Grenzwert unserer Cauchy-Folge.
+    Also müssen wir zeigen, dass $x ∈ \ell^p$, und dass unsere Folge tatsächlich gegen $x$ konvergiert.
+
+    Es gilt
+    \[
+        \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< ε} + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
+    \]
+    Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n|p < \sum_{k =1}^∞ |ξ_k^n|^p \le M^p < ∞.
+    \]
+    Also haben wir
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^p| \le M^p \quad ∀ n ∈ ℕ,
+    \]
+    also durch Grenzwertbildung $N → ∞$ auch $\norm{x}_p^p ≤ M^p$ bzw. $x ∈ \ell^p$.
+
+
+    Ferner haben wir
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀ N ∈ ℕ, n, m ≥ n_0(ε).
+    \]
+    Für $n → ∞$ folgt
+    \[
+        \sum_{k=1}^N |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀N ∈ ℕ, m ≥ n_0, 
+    \]
+    und mit $N → ∞$
+    \[
+        \sum_{k=1}^∞ |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀m ≥ n_0, 
+    \]
+    also die Konvergenz.
+\end{proof}
 
 
+\end{document}
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