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@@ -1,11 +1,15 @@ n: all publish all: pdf/funkana.pdf \ - pdf/funkana-ebook.pdf + pdf/funkana-ebook.pdf \ + pdf/funkana-noproof.pdf \ pdf/funkana.pdf: funkana.tex *.tex skript.cls latexmk funkana.tex +pdf/funkana-noproof.pdf: funkana.tex *.tex skript.cls + latexmk funkana-noproof.tex + pdf/funkana-ebook.pdf: funkana-ebook.tex *.tex skript.cls latexmk funkana-ebook.tex diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index c3e9c8e..96b8b90 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -54,6 +54,7 @@ Wir werden uns aber im weiteren Verlauf quasi ausschließlich mit den aus der An Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}. \item \index{Raum!Quotienten-} + \index{Quotientenraum} Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$. Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum. @@ -152,6 +153,8 @@ Die Funktionalanlaysis versucht nun, einige der Konzepte, die wir von diesen Rä \end{beispiel} \section{Lineare Abbildungen} +Es gibt in linearen Räumen natürlich Abbildungen, die mit der Struktur des Raumes verträglich sind. +Diese nennt man \emph{Vektorraumhomomorphismen} oder \emph{lineare Abbildungen}. \label{sec:lineare-abbildungen} \begin{definition}[Lineare Abbildung] \index{Funktion!linear} diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex index f06fbba..4a237a5 100644 --- a/ch02-topologie.tex +++ b/ch02-topologie.tex @@ -108,7 +108,7 @@ Wir führen zunächst einige wichte Begriffe ein: Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum. Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$. - Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom. + Dann heißt $(X,\T)$ \index{Hausdorff-Raum}Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom. \end{definition} \begin{beispiele-nn} \begin{enumerate} @@ -127,7 +127,7 @@ Wir führen zunächst einige wichte Begriffe ein: \end{enumerate} \end{beispiele-nn} -\begin{definition}[Konvergenz] +\begin{definition}[\index{Konvergenz}Konvergenz] \index{Folge!konvergent} \label{defi:konvergenz-2.1.5} Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$, diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index 5a471f4..69df125 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -184,9 +184,9 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: β_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \yrightarrow[n → \infty ]{} 0. \] \end{korollar} -\begin{noproof*} +\begin{noproof} ~ -\end{noproof*} +\end{noproof} \begin{definition-nn}[Translationsoperator, Multiplikationsoperator] \label{defi:translationsoperator-multiplikationsoperator} @@ -222,6 +222,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar: \begin{korollar}[Invarianzprinzip] \label{kor:invarianzprinip} \index{Invarianzprinzip} + \index{Prinzip!Invarianz-} Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation. \end{korollar} \begin{proof} @@ -349,7 +350,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \end{definition} \begin{bemerkung} \label{bem:norm-raum-ist-quasinorm-raum-3.3.6} - Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum mit $|-| := \norm-$. + Jeder normierte Raum wird auch zu einem quasi-normierten Raum via $|-| \coloneq \norm-$. \end{bemerkung} \begin{satz} \label{satz:quasi-norm-ind-transinvar-metrik-3.3.7} @@ -1256,7 +1257,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. \begin{definition-nn}[Heine"=Borel"=Eigenschaft] - \index{Heine"=Borel"=Eigenschaft} + \index{Heine-Borel-Eigenschaft} Sei $(X,)$ Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}. \end{definition-nn} @@ -1513,9 +1514,10 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: \end{satz} \subsection{Stetigkeit in normierten Räumen} -\begin{definition} +\begin{definition}[beschränkt] + \index{Abbildung!beschränkt} Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. - Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist. + Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{\index{beschränkt}beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist. \end{definition} \begin{satz} @@ -1599,8 +1601,8 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. \end{proof} \begin{definition} - Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet $\L(X, Y) \coloneq \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}. - Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' \coloneq \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{Dualraum von $X$}. + Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet \index{$\L(X, Y)$}$\L(X, Y) \coloneq \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}. + Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' \coloneq \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{\index{Dualraum}Dualraum von $X$}. \end{definition} \begin{bemerkung-nn} \begin{enumerate} diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex index e3823c8..416a421 100644 --- a/ch04-unitaere-raeume.tex +++ b/ch04-unitaere-raeume.tex @@ -450,6 +450,85 @@ Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten. Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$ jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt. Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums: +\begin{satz}[Riesz'scher Darstellungssatz] + \label{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1} + \index{Satz!Riesz'scher Darstellungs-} + \index{Riesz'scher Darstellungssatz} + Sei $(X,\langle -,- \rangle)$ ein (reeller oder komplexer) Hilbertraum und $y' ∈ X'$ gegeben. + Dann existiert genau ein Element $\tilde y = \tilde y(y') ∈ X$, so dass + \[ + y'[x] = \langle \tilde y, x \rangle + \] + für alle $x ∈ X$ gilt. + + + Ist $X$ ein reeller Hilbertraum, so ist das eindeutig bestimmte Element $\tilde y = \tilde y (y') ∈ X$ von oben auch die eindeutig bestimmte Lösung des \emph{Variationsproblems}\index{Variationsproblem}, das die Abbildung $F: X → ℝ, x ↦ \langle x,x \rangle - 2y'[x]$ minimiert. + Jede Minimalfolge $(x_j)_{j ∈ ℕ} ⊂ X$ des Variationsproblems, also eine Folge mit $\lim_{j → ∞} F(x_j) = \inf_{x ∈ X} F(x)$, konvergiert gegen dieses $\tilde y$, das heißt $F(\tilde y ) = \inf_{x ∈ X} F(x)$ und $\lim_{j → ∞} \norm{x_j - \tilde y} = 0$. +\end{satz} + +\begin{korollar} + \label{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2} + Sei $B: X → X → \K$ eine \emph{hermitesche Sesquilinearform}\index{hermitesch}\index{Sesquilinearform}, die + \begin{enumerate} + \item \emph{beschränkt (stetig)}\index{stetig!Bilinearform}, also es gibt ein $c_1 > 0$, so dass $|B(x,y)| ≤ c_1 \norm x \snorm y$ für alle $x, y ∈ X$ + \item \emph{positiv definitiv}\index{positiv definit!Bilinearform}. also es gibt ein $c_2 > 0$, so dass $B(x,x) ≥ c_2 \norm{x}^2$ für alle $x ∈ X$ + \end{enumerate} + ist, dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft + \[ + ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x). + \] +\end{korollar} + +\begin{bemerkung}[Lax-Milgram] + \index{Lax-Milgram} + \label{bem:lax-milgram-4.4.3} + Die Voraussetzung \emph{hermitesch} in~\cref{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2} ist nicht notwendig: + Ist $X$ ein Hilbertraum, $B: X × X → \K$ eine \emph{beschränkte Sesquilinearform}, für die es ein $c_3 > 0$ gibt, so dass $\Re(B(x,x)) ≥ c_3 \norm x ^2$ für alle $x ∈ X$ ist, + dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft + \[ + ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x). + \] +\end{bemerkung} +\begin{proof} + In~\cite[Satz 4.7]{alt2002lineare} +\end{proof} + +Satz~\ref{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1} liefert also, dass die Abbildung +\index{$J_x$} +\[ + J_X: X → X', y ↦ y', +\] +wobei $y'$ als $X → \K, x ↦ \langle y,x \rangle$ definiert ist, bijektiv und sesquilinear ist. +Damit sind $X$ und $X'$ algebraisch isomorph. Es gilt für $x, y ∈ X$ +\[ + \lAngle J_X(y),x \rAngle = \lAngle J_X(y), x \rAngle_{X'×X} \coloneq J_x(y)[x] = \langle y,x \rangle. +\] +Diese Isomorphie gilt auch topologisch: + +\begin{satz} + \label{satz:hilbertraum-dualraum-isomorph-4.4.4} + Sei $X$ ein Hilbertraum. + Dann ist auch $X'$ ein Hilbertraum und $J_X: X → X'$ ist ein sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie\index{Isometrie}. + Wir nennen $J_x$ den \emph{kanonischen Isomorphismus}\index{kanonischer Isomorphismus} zwischen $X$ und $X'$. + Genauer gilt: + \begin{enumerate} + \item + $\langle y_1', y_2' \rangle_X' \coloneq \conj{\langle y_1, y_2 \rangle_X}$ macht $X'$ zum Skalarproduktraum. + \item + Die durch $\langle -,- \rangle_{X'}$ induzierte Norm $\norm{y'}_{X',S}$ ist gerade die von $X' = \L(X, \K)$ bekannte, das heißt + \[ + \norm{y'}_{X',S} = \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x ≤ 1} \left| y'[x] \right|. + \] + \item + Da $(X',\norm-_{X',N})$ vollständig war, ist $(X', \langle -,- \rangle_{X'})$ ein Hilbertraum. + \item + $J_x: X → X'$ ist Isometrie, das heißt + \[ + ∀y ∈X: \norm{J_x(y)}_{X'} = \norm{y}_X. + \] + \end{enumerate} +\end{satz} + %%% Local Variables: %%% mode: latex diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index e532ad9..c0ff875 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -6,7 +6,9 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben. -\begin{definition} +\begin{definition}[Fortsetzung] + \index{Fortsetzung} + \label{defi:fortsetzung-5.1.1} Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls \begin{enumerate} \item $ M_0 ⊂ M$, @@ -16,7 +18,8 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi \end{definition} \begin{satz} - Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$. + \label{satz:auf-dichtem-teilraum-def-stetig-linear-abb-ist-fortsetzbar-5.1.2} + Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normierte Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$. Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear. Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$. Für diese gilt: @@ -74,6 +77,7 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi \end{proof} \begin{korollar} + \label{kor:abb-auf-dichter-teilmenge-null-ueberall-null-5.1.3} Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt: Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$. \end{korollar} @@ -84,7 +88,12 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. -\begin{satz} +\begin{satz}[Hahn-Banach] + \label{satz:hahn-banach-5.1.4} + \index{Satz!von Hahn-Banach} + \index{Hahn-Banach} + \index{positiv homogen} + \index{subadditiv} Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit: \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item @@ -93,7 +102,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. $p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv) \end{enumerate} - Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit + Weiter seien $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit \[ ∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x). \] @@ -107,7 +116,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. \end{bemerkung-nn} \begin{proof} Schritt 1. - Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$). + Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneq X$). Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als $ y = y + \alpha x_1 $, mit $y ∈ X_0$, $\alpha ∈ ℝ$. Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig @@ -154,17 +163,89 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} - \begin{enumerate} - \item Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial. - \item - Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4 - \end{enumerate} + Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog + möglich \cite[Ch. IV, 4]{MR617913}. \end{bemerkung-nn} -%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG +\begin{korollar}[Hahn-Banach für normierte Räume] + \index{Hahn-Banach!für normierte Räume} + \index{Satz!von Hahn-Banach für normierte Räume} + \label{kor:hahn-banach-fuer-normierte-raeume-5.1.5} + Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $X_0$ ein linearer Teilraum und $f_0 ∈ X_0'$ sei ein stetiges lineares Funktional auf $X_0$. Dann existiert eine normerhaltende Fortsetzung $f ∈ X'$ vobn $f_0$, das heißt + \[ + f|_{X_0} = f_0\quad \text{und} \quad \norm{f}_{X'} = \norm{f_0}_{X_0'}. + \] +\end{korollar} + +\section{Existenz nichttrivaler stetiger Funktionale} + +\begin{korollar} + \label{kor:ex-nichttriv-stetig-funktional-5.2.1} + Zu jedem Element $x_0 \ne 0$ des normierten Raumes $(X,\norm-)$ existiert ein $f ∈X'$ mit $\norm{f}_{X'} = 1$ und $f(x_0) = \norm{x_0}$. + Insbesondere ist $X' \ ne \{0\}$. +\end{korollar} + +\begin{korollar}[Normformel] + Für jedes Element $x$ eines normierten Raumes $(X, \norm-)$ gilt + \[ + \norm{x} = \sup_{f ∈ X', \norm{f} = 1} |f(x)|. + \] + +\end{korollar} + +\begin{korollar} + \label{kor:5.2.3} + Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum. Dann gilt + \begin{enumerate} + \item + Falls $f(x) = 0$ für alle $f ∈ X'$ gilt, war bereits $x = 0$. + \item + Aus $f(x_1) = f(x_2)$ für alle $f ∈ X'$ folgt $x_1 = x_2$. + \item + Aus $|f(x_0)| ≤ C$ für alle $f ∈ X'$ mit $\norm{f} = 1$ folgt $\norm {x_0} ≤ C$. + \end{enumerate} +\end{korollar} + +\begin{bemerkung} + In jedem lokalen-konvexen topologischen linearen Raum $X$ gibt es nichttriviale stetige lineare Funktionale, das heißt $\{0\} \subsetneq X'$. +\end{bemerkung} + +\begin{satz} + Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $(X,\norm-)$ und für $x_0 ∈ X \setminus Y$ + \[ + d = \operatorname{dist}(x_0,Y) \coloneq \inf_{y ∈ Y} \norm{x_0 - y}. + \] + \begin{enumerate} + \item + Dann gilt für alle $f ∈ X'$ mit $\norm f = 1$ und $f|_Y = 0$: + \[ + |f(x_’)| ≤ \operatorname{dist}(x_0, Y). + \] + \item + Im Falle $d > 0$ gibt es ein derartiges $f$ mit $f(x_0) = \operatorname{dist}(x_0, Y)$. + \end{enumerate} +\end{satz} -\begin{satz}[5.3.1] +\begin{satz}[Dichtekriterium von Banach] + \index{Dichtekriterium von Banach} + \index{Banachsches Dichtekriterium} + \label{folgerung:dichtekriterium-banach-5.2.6} + Sei $(X,\norm-)$ ein normiterter Raum und $M ⊂ X$. + Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item + $\operatorname{cl}_X(\lspan(M)) = X$ + \item + Für alle $f ∈ X'$ mit $f|_{M} = 0$ gilt schon $f = 0$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\section{Trennung Konvexer Mengen} +\begin{satz}[Mazur] + \index{Satz!von Mazur} + \index{Mazur} + \label{satz:mazur-5.3.1} Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$. Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit \[ @@ -189,7 +270,7 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f( \frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r. \] - Verwende nun das Minkowski-Funktional + Verwende nun das Minkowski-Funktional\index{Minkowski-Funktional} \[ p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X. \] @@ -233,7 +314,10 @@ Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum. Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum. Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. -\begin{definition} +\begin{definition}[kanonische Abbildung] + \index{$J_0$} + \index{kanonische Abbildung} + \label{defi:kanonische-abb-5.4.1} Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch \[ J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K @@ -267,14 +351,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \[ \lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0. \] - Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$. + Mit~\cref{kor:5.2.3} folgt $x_1-x_2 = 0$. Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$. - „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits + „$\le$“: Aus~\cref{defi:kanonische-abb-5.4.1} folgt bereits \[ \norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X. \] - „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit + „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach ein $x_0' ∈ X'$ mit $\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$. Also folgt \[ @@ -283,7 +367,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$. \end{proof} -\begin{definition} +\begin{definition}[reflexiv] + \index{reflexiv} + \label{defi:reflexiv-5.4.3} Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$. \end{definition} @@ -296,6 +382,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \end{warnung-nn} \begin{satz} + \label{satz:hilbertraum-refl-5.4.4} Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv \end{satz} \begin{noproof} @@ -316,8 +403,8 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig. \end{bemerkung-nn} -\begin{definition} - Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn +\begin{definition}[schwach konvergent] + Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{\index{Konvergenz!schwache}\index{schwach konvergent}schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn \[ \lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x] \] @@ -329,17 +416,15 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \end{bemerkung-nn} \begin{beispiel-nn} - Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt + Für eine Hilbertraumbasis $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt \[ - \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ) + \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ). \] -\end{beispiel-nn} -\begin{bemerkung-nn} $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0} \not\rightarrow 0\; (i → \infty )$. -\end{bemerkung-nn} +\end{beispiel-nn} \begin{proof} Der kanonische Isomorphismus $J_X: X → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert @@ -483,7 +568,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ \] Wir nennen \[ - \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) + \Var_{a,b}(v) \coloneq \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v) \] die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$. \end{definition} @@ -495,7 +580,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$ \end{beispiel-nn} \begin{bemerkung-nn} - Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch + Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist von beschränkter Variation $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch \[ \norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v) \] diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index d9a41b9..88f08a1 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -342,7 +342,7 @@ Außerdem haben beschränkte Folgen schwach konvergente Teilfolgen, also schwach \begin{beispiel}[Anwendung auf Variationsprobleme] - \index{Variationsprobleme} + \index{Variationsproblem} \index{Variationsrechnung} Sei $X$ ein Funktionenraum über $(a,b) ⊂ ℝ$, $f: X → ℝ$, $x ↦ ∫_a^b F(x,\dot x) \dd t$. Wir suchen $x_0 = x_0(t), t∈ (a,b)$ mit $f(x_0) = \min_{x ∈ M} f(x)$ und $x_0 ∈ M ⊂X$, wobei $M$ die Teilmenge der zulässigen Funktionen bezeichne. diff --git a/ch07-konsequenzen-baire.tex b/ch07-konsequenzen-baire.tex index e4eadf2..4bf56d5 100644 --- a/ch07-konsequenzen-baire.tex +++ b/ch07-konsequenzen-baire.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire} +\chapter[Konsequenzen aus dem Satz von Baire]{Konsequenzen aus dem\\ Satz von Baire} In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von Baire ziehen. @@ -10,7 +10,7 @@ nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$. Zunächst folgendes Elementares Resultat: \begin{korollar-nn}[Übung 13] - In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht. + In einem vollständigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht. \end{korollar-nn} Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt: @@ -21,26 +21,26 @@ Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt: \begin{beweisidee} Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$, - wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale + wobei $\lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind. Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie. \end{beweisidee} \section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit} -Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$ +Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm \cdot _{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm \cdot _{Y})$ ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten -Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. +Raumes $(\L(X,Y),\snorm \cdot _{\L(X,Y)})$ studieren. -\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit] - \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1} +\begin{satz}[{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}] + \label{satz:gleichmaessige-beschraenktheit-7.1.1} \index{beschränkt!gleichmäßig} \index{beschränkt!punktweise} - \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit} + \index{Prinzip!der gleichmäßigen Beschränktheit} Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$ eine Familie von stetigen Operatoren, die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so dass \[ - \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞ + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞ \] für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt}, das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit @@ -58,7 +58,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager, also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht. Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der - $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was + $M_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein kann. Das ist ein Widerspruch. @@ -82,7 +82,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist. - Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$. + Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0)$ mit $x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$. Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$. Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$. Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet. @@ -23,6 +23,7 @@ \def\iff{\Leftrightarrow} \def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} \newcommand\cl[1]{\overline{#1}} +\newcommand\conj[1]{\overline{#1}} \newcommand\ind[1]{\mathbb{1}_{#1}} \newcommand\Pot[1]{2^{#1}} \DeclareMathOperator{\End}{End} @@ -81,7 +82,7 @@ \addbibresource{ref.bib} % \indexsetup{headers={\indexname}{\indexname}} -% \makeindex[columns=2,intoc=true] +% \makeindex[columns=3,intoc=true] \makeindex @@ -100,7 +101,11 @@ Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld. Über Verbesserungen und Vervollständigungen freue ich mich sehr (bevorzugt Patches an \href{mailto:ulli.kehrle@rwth-aachen.de}{ulli.kehrle@rwth-aachen.de}). Der Quelltext dieser Mitschrift ist unter \url{https://git.server-speed.net/users/hrnz/funkana.git} online verfügbar. -Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf} (DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder, bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen. +Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf} +(DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und +\url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder, +bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen. +Es gibt unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-noproof.pdf} auch eine Version ohne Beweise und nicht-nummerierte Bemerkungen. \begin{bemerkung-nn} diff --git a/funkana-ebook.tex b/funkana-ebook.tex index 7cb9be2..4695c1d 100644 --- a/funkana-ebook.tex +++ b/funkana-ebook.tex @@ -7,5 +7,4 @@ twoside=false, chapterprefix=true, headings=big]{skript} - \input{common.tex} diff --git a/funkana-noproof.tex b/funkana-noproof.tex new file mode 100644 index 0000000..36ac726 --- /dev/null +++ b/funkana-noproof.tex @@ -0,0 +1,24 @@ +\documentclass[ + 12pt, + DIV=10, + BCOR=4mm, + twoside=semi, + chapterprefix=true, + headinclude=true, + footinclude=true, + usegeometry=true, + headings=big]{skript} +\usepackage[top=2cm,bottom=2cm]{geometry} +\usepackage{versions} +\AtBeginDocument{ +\excludeversion{proof} +\excludeversion{beweis} +\excludeversion{beweisidee} +\excludeversion{noproof} +\excludeversion{bemerkung-nn} +% \excludeversion{beispiel-nn} +% \excludeversion{beispiele-nn} +% \excludeversion{beispiel} +% \excludeversion{beispiele} +} +\input{common.tex}
\ No newline at end of file diff --git a/index.ist b/index.ist new file mode 100644 index 0000000..ae5866d --- /dev/null +++ b/index.ist @@ -0,0 +1,7 @@ +headings_flag 1 +heading_prefix "\n{\\centering\\textbf{" +heading_suffix "}\\par\\nopagebreak\n}" +symhead_positive "Symbole" +delim_0 " \\dotfill " +delim_1 " \\dotfill " +delim_2 " \\dotfill " @@ -1,4 +1,5 @@ $pdflatex = 'xelatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; -#pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +#$pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +$makeindex = 'makeindex %O -o %D -s index.ist %S'; $pdf_mode = 1; $out_dir = "build";
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