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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index c8d04ff..9d3aab0 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -8,9 +8,11 @@ \def\R{\mathbb{R}} \def\C{\mathbb{C}} \def\K{\mathbb{K}} +\def\N{\mathbb{N}} \def\L{\mathcal{L}} \def\T{\mathcal T} \def\U{\mathcal{U}} +\def\eps{\varepsilon} \def\iff{\Leftrightarrow} \def\gdw{\Longleftrightarrow} \newcommand\cl[1]{\overline{#1}} @@ -382,8 +382,8 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol %%%%% VORLESUNG VOM DONNERSTAG, 19. OKTOBER FEHLT \begin{definition}[Hausdorff-Raum] Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum. - Für alle $x,y \in \X$ mit $x \neq y$ - existieren $U \in \U_x, V \in \V_x$ mit $U \cap V = \emptyset$. + Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ + existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$. Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem Trennungsaxiom. \end{definition} @@ -448,7 +448,7 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol \begin{beispiel} Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch ${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ - mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$. + mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$. Sei $x \in \R^n$ fest. Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x \end{beispiel} @@ -475,14 +475,14 @@ Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topol Man zeigt leicht: $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ - Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \ subset T_{1},B_{2} \ subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, + Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$. \end{bemerkung} \begin{beispiel} Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich. $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln - $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \nrom{x-y}<\eps}$ erzeugt wird. + $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$ erzeugt wird. $\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Quader $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \geq i \geq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird. \end{beispiel} diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex 3c326b3..e85cdf9 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf |