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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 172c42d..7c06c08 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass[twoside=semi,chapterprefix=true,headings=big]{skript} +\documentclass[twoside=false,chapterprefix=true,headings=big]{skript} \title{Funktionalanalysis} \subtitle{Mitschrift zur Vorlesung} \author{Prof. Dr. Maier-Paape} @@ -14,7 +14,7 @@ \def\U{\mathcal{U}} \def\eps{\varepsilon} \def\iff{\Leftrightarrow} -\def\gdw{\Longleftrightarrow} +\def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;} \newcommand\cl[1]{\overline{#1}} \newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)} \DeclareMathOperator{\End}{End} @@ -1273,7 +1273,200 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte \] also die Konvergenz. \end{proof} +\begin{beispiel-nn} + Betrachte den Folgenraum $S = \K^∞ = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$. + Dann ist + \[ + p_n(x) := |ξ_n|, \quad p_n: \K^∞ → ℝ + \] + eine abzählbare Familie von Halbnormen mit + \[ + p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^∞ + \] + Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^∞, d)$ mit + \[ + d(x,y) := \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} + \] + ein metrischer linearer Raum ist. + Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt + \[ + x_k \xrightarrow[k→∞]{} 0 \; \Longleftrightarrow \; d(x_n,0) \xrightarrow[k→∞]{} 0 \; \Longleftrightarrow \; p_n(x_k) \xrightarrow[k→∞]{} ∀ n ∈ ℕ \; \Longleftrightarrow \; |ξ_n^k| \xrightarrow[k→∞] 0 ∀ n ∈ ℕ. + \] + + Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^∞$ auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht? + Also + \[ + x_k \xrightarrow[k → ∞]{\text{glm}} 0 ∈ \K^∞ \gdw ∀ε > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < ε ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ. + \] + Wenn $\K^∞$ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x ∈ \K^∞$ + \[ + α_k \xrightarrow[k → ∞]{} 0 \text{ in } \K \implies α_k x \xrightarrow[k→∞]{} \text{ in } X = \K^∞. + \] + Wähle dazu die Nullfolge $(α_k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist + \[ + α_k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^∞ + \] + zwar eine Nullfolge in $\K^∝$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$. + Man kann zeigen, dass $\K^∞$ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist. + Ist $\K^∞$ auch normierbar? + Also gibt es auf $\K^∞$ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$? + Auch das ist nicht möglich: +\end{beispiel-nn} +\begin{lemma} + \label{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme} + In $(\K^∞,d)$ gilt: + \begin{enumerate} + \item + $B_1(0) = \K^∞$ + \item + Betrachte den linearen Unterraum $M_{n_0} := \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $ξ_n = 0$ für $n = 1,…,n_0 \}$. + Dann gibt es für jeden Radius $r > 0$ ein $n_0 ∈ ℕ$, so dass $M_{n_0} ⊂ B_{r}(0)$. + Das heißt, jede noch so kleine Metrikkugel enthält einen nichttrivialen Unterraum. + \end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{proof} + \begin{enumerate} + \item + Das ist trivial. + \item + Sei $r > 0$ gegeben. + Wähle nun $n_0$, so dass $\sum_{n=n_0+1}^∞ 2^{-n} < r$. + Dann gilt + \[ + ∀ x ∈ M_{n_0}: d(x,0) = + \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} = + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} \le + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < r. + \] + \end{enumerate} +\end{proof} + +Wäre nun die Topologie auf $(\K^∞,d)$ nun auch von einer Norm erzeugt, dann wären die Normkugeln +\[ + B_r^{\norm\cdot}(0) = \{ x ∈ \K^∞: \norm x < \tilde r \} +\] +auch eine Umgebungsbasis der Null. +Das heißt insbesondere würden wir zu jedem $\tilde r$ ein $r$ finden, so dass $0 ∈ B_r^d(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot} (0)$. +Mit \cref{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme} folgt also +\[ + M_{n_0} ⊂ B_r(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot}(0) +\] +für ein geeignetes $n_0$. +Sei nun ein $0 \ne x ∈ M_{n_0}$. Dann ist, da $M_{n_0}$ ein Unterraum ist, auch $αx ∈ M_{n_0}$ für alle $α ∈ \K$. +Das heißt, +\[ + |α| \cdot \norm x = \norm{αx} < \tilde r \text{ für alle } α ∈ \K, +\] +was bereits $α = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch. + + +\begin{beispiel-nn}[Räume beschränkter Funktionen] + Sei $S$ eine beliebige Menge und $B(S) := \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$. + Dann wird $B(S)$ mit + \[ + \norm f _{B(S)} := \sup_{x ∈ S} |f(x)| < ∞, + \] + der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum. + Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist. +\end{beispiel-nn} + +\begin{lemma-nn} + \label{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen} + Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $Y ⊂ X$. Es gilt + \begin{enumerate} + \item + Wenn $(X,d)$ vollständig ist und $Y$ abgeschlossen, dann ist auch $(Y,d|_{Y×Y}$ vollständig. + \item + Wenn $(Y,d|_{Y×Y}$ vollständig ist, so ist $Y$ abgeschlossen in $(X,d)$. + \end{enumerate} +\end{lemma-nn} +\begin{proof} + Übungsaufgabe. +\end{proof} + + +\begin{beispiel-nn}[Räume stetiger Funktionen] + Sei $K ⊂ ℝ^n$ kompakt, also nach Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt. + Dann ist + \[ + C(k) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \} + \] + ein normierter Raum mit + \[ + \norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{∞} = \max_{t ∈ K} |f(t)|, + \] + der Maximumsnorm. + Dieses Maximum wird tatsächlich immer angenommen, da $K$ kompakt ist (Satz von Minimum und Maximum). + Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$. + Da jede stetige Funktion auf kompakten Teilmengen von metrischen Räumen auch gleichmäßig stetig ist, das heißt + \[ + ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: \left( |t_1-t_2| < δ \implies |f(t_1)-f(t_2)| < ε \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K + \] +\end{beispiel-nn} + +\begin{lemma} + $C(K)$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $(B(K), \norm\cdot_{B(K)})$ und somit insbesondere auch (mit \cref{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen}) vollständig. +\end{lemma} +\begin{proof} + Sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine konvergente (in $(B(K),\norm\cdot_{B(K)})$) Folge in $C(K)$. + Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → ∞]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$. + Wir müssen zeigen, dass $f$ bereits stetig ist. + Für beliebige $t₁, t_2 ∈ K$ gilt + \[ + |f(t_1)-f(t_2) | \le \underbrace{|f_i(t_1)-f_i(t_2)|}_{< ε/3 \text{ für } |t_1-t_2| < δ^{(i)}(ε)} + 2 \underbrace{\norm{f_i - f}_{B(K)}}_{< ε/3 \text{ für } i > i_0} < ε. + \] + Damit ist $f$ auch gleichmäßig stetig, also insbesondere auch stetig und in $C(K)$. +\end{proof} +Das heißt, die Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(K)$ überträgt sich auf die Grenzfunktion und Konvergenz in $(C(K),\norm\cdot_{∞})$ ist „gleichmäßig auf $K$“. +Wegen dieser Eigenschaft ist die Maximumsnorm $\norm\cdot_∞$ auch die natürliche Norm auf $C(K)$. +Andere mögliche Normen (und damit andere Topologien) auf $C(K)$ wären z.B. +\[ + \norm{f}_p = \left( \int_K |f(t)|^p dt \right)^{1/p}, \quad 1 \le p < ∞. +\] +Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit für die Grenzfunktion. + + +\begin{beispiel-nn} + Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und analog + \[ + C(\Omega) := \{ f: \Omega → \K, f \text { stetig }\}. + \] + Hier können Funktionen aber auch unbeschränkt sein. Also braucht $\sup |f|$ nicht mehr zu existieren. +\end{beispiel-nn} + +\begin{definition} + Es sei $(K_m)_{m ∈ ℕ}$ eine \emph{Ausschöpfung} von $\Omega$ mit kompakten Mengen $K_= ⊂ \Omega$, das heißt, es gelte + \[ + \begin{cases} + \Omega = \bigcup_{m ∈ ℕ} K_m, \quad K_m ⊂ K_{m+1}, \\ + K ⊂ \Omega \text { kompakt } \implies K ⊂ K_m \text { f ür ein } m ∈ ℕ + \end{cases} + \] +\end{definition} +Man nehme z.B. +\[ + K_m = \{ x ∈ \Omega ⊂ ℝ^n: \norm{x} \le m, \operatorname{dist}(x,∂\Omega) \ge 1/m\}, +\] +wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) := \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$. + +Dann ist $C(\Omega)$ mit der Metrik +\[ + d(f,0) = \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{\norm{f}_{C(K_m)}}{1+\norm{f}_{C(K_m)}} +\] +ein Fréchetraum, also ein metrisierbarer linearer Raum nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, da +\[ + \norm{f}_{C(K_m)} = 0 ∀ m ∈ ℕ \implies f = 0 ∈ C(\Omega). +\] + +Es gilt in diesem Raum +\[ + d(f_i,f) \xrightarrow[i → ∞]{} 0 \gdw + \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → ∞]{} ∀m ∈ ℕ, +\] +was ja gerade gleichmäßige Konvergenz auf jeder Kompakten Menge $K ⊂ \Omega$ bedeutet. +Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion $f ∈ C(\Omega)$, da Stetigkeit nur eine lokale Eigenschaft ist. +Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)}$ nicht normierbar ist. \end{document} %%% Local Variables: diff --git a/pdf/funkana.pdf b/pdf/funkana.pdf Binary files differindex 070d212..72f5e25 100644 --- a/pdf/funkana.pdf +++ b/pdf/funkana.pdf @@ -38,10 +38,21 @@ \RequirePackage[ngerman]{babel} \RequirePackage[utf8]{inputenc} \RequirePackage{uniinput} - \usepackage[garamond]{mathdesign} + % \RequirePackage{mathpazo} + % \RequirePackage[garamond]{mathdesign} + % \DeclareSymbolFont{CMlargesymbols}{OMX}{cmex}{m}{n} + % \let\sum\relax + % \DeclareMathSymbol{\sum}{\mathop}{CMlargesymbols}{"50} + % \RequirePackage{mathptmx} + \RequirePackage[sb,tt=false]{libertine} + \RequirePackage[libertine]{newtxmath} + \RequirePackage[cal=zapfc,bb=boondox]{mathalfa} + % \RequirePackage{libertinust1math} + \RequirePackage[T1]{fontenc} + % \renewcommand*{\sfdefault}{lmss} \fi % fonts -\setkomafont{disposition}{\sffamily} +\setkomafont{disposition}{\rmfamily} \RequirePackage{mathtools} \RequirePackage{amsmath, amsfonts, amssymb} @@ -49,7 +60,6 @@ % fonts \RequirePackage{textcomp} % für erweiterten Text-Symbolvorrat -\setkomafont{disposition}{\sffamily} \RequirePackage{setspace} \setstretch{1.10} \setlength\parskip{4pt} @@ -101,18 +111,20 @@ \newcounter{defsatzusw} \def\newthm#1#2{ \newmdtheoremenv[ntheorem, - linewidth=0.5pt, - backgroundcolor=black!05, - linecolor=black, - everyline=true, - leftline=true, rightline=true, bottomline=true, topline=true, + leftmargin=1em, + linewidth=6pt, + % linecolor=myurlcolor!20, + linecolor=black!20, + leftline=true, rightline=false, bottomline=false, topline=false, + innerleftmargin=1em, ]{#1}[defsatzusw]{#2} \newmdtheoremenv*[ntheorem, - linewidth=0.5pt, - backgroundcolor=black!05, - linecolor=black, - everyline=true, - leftline=true, rightline=true, bottomline=true, topline=true, + leftmargin=1em, + linewidth=6pt, + % linecolor=myurlcolor!20, + linecolor=black!20, + leftline=true, rightline=false, bottomline=false, topline=false, + innerleftmargin=1em, ]{#1-nn}{#2} } \def\newdef#1#2{\newtheorem{#1}[defsatzusw]{#2}\newtheorem*{#1-nn}{#2}} |