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\section*{Motivation}
\markboth{}{Motivation}

In der klassischen Analyis haben wir Funktionen im $\K^n$, wobei $\K$ entweder $ℝ$ oder $ℂ$ ist, untersucht.
Dabei war das Betrachten von Eigenschaften wie Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit sehr nützlich.
Die Funktionalanalysis beschäftigt sich nun mit vergleichbaren Problemen in üblicherweise unendlich-dimensionalen Funktionenräumen.
Hierfür werden wir versuchen, die aus der klassischen Analysis bekannten Untersuchungsmethoden zu verallgemeinern.
Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis benötigt.

\begin{problem-nn}
    Ein klassisches Beispiel aus der Variationsrechnung:
    Wir wollen die Funktion
    \[
        f(u) = \int_0^π |u'(x)|^2 dx
    \]
    unter den Nebenbedingungungen $u(0) = u(π) = 0$ und $\int_0^π |u(x)|^2 dx = 1$ minimieren.
    In der klassischen Analysis haben wir für Minimierungsprobleme mit Nebenbedingungungen Lagrange-Multiplikatoren genutzt.
    Im unendlich-dimensionalen Fall ist das jedoch nicht so einfach.
    Wir betrachten $f : Y → ℝ$ wie oben, wobei $Y$ eine Teilmenge des unendlich-dimensionalen Funktionenraums
    \[
        X = \left\{ u ∈ C^1[0,π]: u(0) = u(π) = 0 \right\}
    \]
    ist, die durch
    \[
        Y = \left\{ u ∈ X: \int_0^π |u(x)|^2 dx = 1 \right\}
    \]
    gegeben ist.
    Zwar ist $Y$ (in der $\L^2([0,π])$-Metrik) beschränkt und abgeschlossen, jedoch nicht kompakt.
\end{problem-nn}
\begin{problem-nn}[Fourierreihenentwicklung]
    Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
    \{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
    \[
        \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2π} φ_i(t) φ_j(t) dt = 2π δ_{i,j},
    \]
    wobei $δ_{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
    Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen.
    Jetzt fragen wir uns, ob sich jede $2π$-periodische Funktion $u$ bezüglich eines geeigneten Konvergenzbegriffs in eine Reihe $u = \sum_{i ∈ ℕ} α_i φ_i$ mit $α_i ∈ ℝ$ entwickeln können.
    Bereits bekannt ist, dass das für das entsprechende endlich-dimensionale Problem geht: Sei $T = \{ e_1,…,e_n\}$ die kanonische Standardbasis des $ℝ^n$
    Dann gilt bekanntlich
    \[
        \langle e_i, e_j \rangle_{ℝ^n} = δ_{i,j}
    \]
    und für jedes $x ∈ ℝ^n$ ist
    \[
        x = \sum_{i=1}^n α_i e_i, \quad α_i = \langle x, e_i \rangle_{ℝ^n}.
    \]
    Wir fragen uns nach den Zusammenhängen zwischen den Problemen im endlich- und unendlich-dimensionalen.
\end{problem-nn}
\begin{problem-nn}
    Das Biegemoment eines Trägers kann man als Randwertaufgabe (gesucht ist $u: [0,1] → ℝ$, gegeben sind $p,r: [0,1] → ℝ$)
    \[
        u''(t) + p(t) u(t) = r(t), \quad u(0) = u(1) = 0
    \]
    bestimmen. Mit Hilfte der sogenannten Green'schen Funktion lässt sich diese Randwertaufgabe in eine Integralgleichung
    \[
        (T_u)(t) := ∫_0^1 G(t,s) \big(r(s)-p(s)u(s)\big) ds = u
    \]
    umwandeln. Das heißt, man sucht einen Fixpunkt eines Integraloperators $T$ in einer geeigneten Menge von Funktionen.
\end{problem-nn}

Diese Probleme lassen sich mit der klassischen Analysis nicht mehr behandeln.
In der Funktionalanalysis behandeln wir nun im Wesentlichen „Analysis in $\infty$-dimensionalen Räumen“ (meist Funktionenräume).
Das heißt, wir wollen jetzt anstelle des $\K^n$ allgemeinere Räume betrachten, die jodoch immer noch folgende beide Charakteristika aufweisen:
\begin{enumerate}
\item Die lineare Struktur (das heißt, Elemente lassen sich addieren und mit einem Skalar multiplizieren)
\item Die topologische Struktur (also insbesondere ein Konvergenzbegriff)
\end{enumerate}

Unser Ziel ist es zunächst, die beiden Strukturen zu erarbeiten.

\chapter{Die lineare Struktur}
\section{Der lineare Raum}
Sei im folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
\begin{definition}[Vektorraum]
    Sei $\K$ ein Körper. Eine Abelsche Gruppe $(X,+)$ zusammen mit einer Abbildung
    \[
        \cdot : \K × X → X
    \]
    heißt $\K$-Vektorraum, falls für alle $α, β ∈ \K$ und $x, y ∈ X$ gilt:
    \begin{enumerate}[label=(V\arabic*)]
    \item $α x+y) = αx + βy$
    \item $(α+β)x = αx + βx$
    \item $(αβ)x = α(βx)$
    \item $1 \cdot x = x$
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung-nn}
    Je nachdem, ob $\K = ℂ$ oder $\K = ℝ$ gilt, heißt $X$ ein \emph{komplexer} oder ein \emph{reeller} Vektorraum.
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Eine nichtleere Teilmenge $Y ⊂ X$ ist bereits dann ein linearer Raum, falls aus $α, β ∈ \K$, $x, y ∈ Y$ bereits $αx + βy ∈ Y$ folgt, also $Y$ abgeschlossen unter den Vektorraumoperationen ist.
    $Y$ heißt dann \emph{linearer Teilraum} oder auch \emph{linearer Unterraum}.
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Zu jeder Teilmenge $M ⊂ X$ bildet die Menge aller Linearkombinationen von je endlich vieler Elemente einen linearen Teilraum von $X$.
    Dieser heißt die \emph{lineare Hülle} von $M$ oder der \emph{Aufspann} von $M$
    \[
        \lspan M = \left\{ x ∈ X: ∃ l ∈ ℕ, α_1,…,α_l ∈ \K, m_1,…,m_l ∈ M \text{ mit } \sum_{i=1}^l α_i m_i = x \right\}.
    \]
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    $M = \{x_λ\}_{λ ∈ Λ} ⊂ X$ heißt \emph{Basis} oder \emph{Hamel-Basis} von $X$, falls $M$ \emph{linear unabhängig}, das heißt,
    $0 ∈ X$ lässt sich nur auf triviale Art und Weise als Linearkombination endlich vieler der $x_λ$ schreiben, und $\lspan M = X$ ist.
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Besitzt $X$ eine Basis von $n < ∞$ Elementen, dann heißt $n$ die \emph{Dimension} von $X$ und wir schreiben $\dim X = n$.
    Andernfalls heißt $X$ \emph{unendlich-dimensional} ($\dim X = ∞$).
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Seien $X_1, X_2 ⊂ X$ lineare Teilräume. Dann ist
    \[
        X_1 + X_2 := \left\{ αx_1 + βx_2: α, β ∈ \K, x_1 ∈ X_1, x_2 ∈ X_2 \right\}
    \]
    ebenfalls ein linearer Teilraum.
    Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
\end{bemerkung-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
    $x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
    Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
    Wir schreiben für diesen Vektorraum $X/Y$.
\end{bemerkung-nn}

\section{Beispiele}
\begin{beispiel}
    Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum.
\end{beispiel}

\begin{beispiel}
    Sei $[a,b] ⊂ ℝ$, $a < b$. Dann ist
    \[
      C[a,b] = \{x: [a,b] → \K, x \text { ist stetig}\}
    \]
    ein $\K$-Vektorraum mit $\dim C[a,b] = ∞$.
    Zum Beispiel sind die Monome $(t^k)_{k ∈ ℕ}$ ein unendliches linear unabhängiges System, jedoch keine Basis.
    Tatsächlich ist jede Basis dieses Raumes überabzählbar.
\end{beispiel}

\section{Lineare Abbildungen}
\begin{definition}
    Seien $X, Y$ lineare Räume über $\K$. $A: X → Y$ heißt \emph{linear}, falls für alle $x_1, x_2 ∈ X$ und $α, β ∈ \K$ gilt:
    \[
    A(αx_1 + βx_2)  = αA(x_1) + βA(x_2).
    \]
    $A: X → \K$ heißt \emph{lineares Funktional}.
    Für $A$ linear heißt $R(A) = \im A = \{A(x): x ∈ X\}$ der \emph{Bildraum} von $A$ und $N(A) = \ker A = \{ x ∈ X: A(x) = 0\}$ der \emph{Kern} von $A$.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Sei $A: X → Y$ linear.
    \begin{enumerate}
    \item Sei $M ⊂ X $ ein linearer Unterraum. Dann ist $A(M) ⊂ Y$ wieder ein linearer Unterraum und es gilt $\dim A(M) \le \dim M$ mit Gleichheit bei injektivität.
    \item Es gilt
        \[
            A \text{ injektiv} \Longleftrightarrow N(A) = \{ 0\}.
        \]
        Allgemeiner ist
        \[
            X/(N(A)) \cong \im A.
        \]
    \item
        Falls $\dim X = \dim Y = n < ∞$, dann ist $A$ genau dann injektiv, wenn $A$ surjektiv ist.
    \item
        $A: X → Y$ ist linear und bijektiv genau dann, wenn es eine lineare Umkehrabbildung $A^{-1}: Y → X$.
    \item
        Falls so ein $A: X → Y$ linear und bijektiv existiert, nennen wir $X$ und $Y$ \emph{linear isomorph.}
        $A$ heißt dann ein \emph{linearer Isomorphismus}.

        Nur falls $\dim X = \dim Y < ∞$ sind $X$ und $Y$ auch „topologisch“ isomorph.
        In diesem Fall erhält man die Prototypen $ℝ^n$ und $ℂ^n$ für endlich-dimensionale Vektorräume und andere gitbt es nicht (die sie auch als Topologische Räume isomorph sind).
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}

\begin{beispiel-nn}
    $X = \{ x: [a,b] → ℝ, x, \dot x, \ddot x \text{ stetig},\; x(a) = \dot x(a) = 0\}$ ist ein linearer Raum.
    Sei $Y = C[a,b]$ und $A: X → Y$ gegeben durch
    \[
        (Ax)(t) := \ddot x(t) + c_1 (t) \dot x (t) + c_2 (t) x(t), \quad t ∈ [a,b], c_1,c_2 ∈ C[a,b].
    \]
    Dann ist $A$ linear, weil differenzieren linear ist und $A$ ist injektiv:
    Zunächst ist $x = 0$ eine Lösung der linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung $Ax = 0$.
    Die Theorie der Differentialgleichungen sagt uns, dass diese Differentialgleichung eine eindeutige Lösung des Anfangswertsproblems ist.

    $A$ ist aber auch surjektiv: Sei $y ∈ Y$ gegeben, dann suchen wir $x ∈ X$ mit $Ax = y$.
    Also wollen wir eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung lösen.
    Auch diese ist nach der Theorie von gewöhnlichen Differentialgleichungen eindeutig lösbar.

    Also ist $A$ bijektiv, das heißt, es gibt eine lineare Abbildung $A^{-1}: Y → X$.
    Diese Inverse ist in der Regel schlecht anzugeben.
    Einen einfacheren Spezialfall dazu wird in der Übung behandelt.
\end{beispiel-nn}

\begin{beispiel-nn}
    Sei $X = Y = C[a,b]$, $A: X → X$ gegeben durch
    \[
        (Ax)(t) := ∫_a^b k(s,t) x(s) ds, \quad t ∈ [a,b],
    \]
    wobei $k : [a,b] × [a,b] → ℝ$ stetig und gegeben ist.
    Dann ist $A$ linear, da das Integral linear ist.
    Auch ist, wenn $λ ∈ ℝ$ ein Parameter ist, die Abbildung
    \[
        (A_λx)(t) := λx(t) - (Ax)t), \quad t ∈ [a,b]
    \]
    linear.
    Die Probleme $Ax = y$ (bei gegebenem $y ∈ Y$ und gesuchtem $x ∈ X$) oder $A_λ x = 0$ (gesucht ist $λ ∈ ℝ$ und eine nichttriviale Lösung $x ∈ X \setminus \{ 0\}$)
    heißen Integralgleichungen erster und zweiter Ordnung.
\end{beispiel-nn}

\begin{beispiel-nn}
    Sei $X = C[a,b]$, $A : X → ℝ$ mit
    \[
        Ax = x(t_0),
    \]
    wobei $t_0 ∈ [a,b]$ fest gewählt sei.
    Eine andere lineare Abbildung $A: X → ℝ$ ist gegeben durch
    \[
        Ax = ∫_a^b x(t) dt
    \]
    Dann sind beide Abbildungen $A$ linear und nicht injektiv, aber surjektiv.
\end{beispiel-nn}

\begin{beispiel-nn}
    Sei $X = \ell^2$, $A: X → X$. Für $x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ sei
    \[
        Ax = (0,ξ_1, ξ_2, \dots) ∈ \ell^2.
    \]
    $A$ heißt (Rechts-)Shiftoperator und ist linear und injektiv, jedoch nicht surjektiv.
    Solche Abbildungen gibt es für $\dim X = \dim Y < ∞$ nicht.
\end{beispiel-nn}

\section{Duale Räume}
$A: X → \K$ sei ein lineares Funktional, $X$ ein linearer Raum. Wir verwenden ein neues Symbol (statt $A$)
\[
    x': X → \K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases} \text{ linear}.
\]
Wir schreiben nun
\[
    x'(x) =: \langle  x, x' \rangle = \langle  x, x' \rangle_{X × X^f} ∈ \K.
\]
Wir setzen
\[
    X^f := \left\{ x': x' \text{ ist lineares Funktional auf } X \right\}.
\]
Hierbei sollte man nicht $x'$ nicht mit der Ableitung von $x$ verwechseln.
Auch ist $\langle  -, - \rangle_{X × X^f}$ kein Skalarprodukt.

Der Raum $X^f$ wird auf natürlicher Weise zum linearen Raum mit
\[
    (αx_1' + βx_2')(x) := αx_1'(x) + βx_2'(x), \quad x ∈ X, x_1', x_2' ∈ X^f, α, β ∈ \K.
\]
So ist
\[
    \langle -,- \rangle_{X×X^f}: X × X^f → \K
\]
bilinear.
\begin{definition}
    $X^f$ heißt der \emph{algebraische Dualraum} zu $X$.
    $X^{ff} := (X^f)^f$ heißt der \emph{biduale Raum} zu $X$.
\end{definition}

\begin{beispiel-nn}
    $X^{ff}$ liefert die kanonische Abbildung
    \[
        J: X → X^{ff}, \; x ↦ J(x) = x''
    \]
    mit
    \[
        \langle x', x'' \rangle := \langle x. x' \rangle \quad ∀x' ∈ X^f.
    \]
    Damit ist $x'': X^f → \K$ linear wohldefiniert.
\end{beispiel-nn}

\begin{definition}
    Der lineare Raum $X$ heißt \emph{algebraisch reflexiv}, falls $J$ bijektiv ist (und damit $X$ linear isomorph zu $X^{ff}$) ist.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    $X$ ist genau dann algebraisch reflexiv, wenn $\dim X < ∞$ ist.

    Im Fall $\dim X < ∞$ lässt sich leicht eine duale Basis angeben:
    Sei dazu $M := \{x_1,…,x_n\}$ eine Basis von $X$. Dann wird durch
    \[
        \langle  x_i, x_k' \rangle := δ_{i,k}
    \]
    und linearer Fortsetzung die Menge $ M := \{x_1',…,x_n'\} ⊂ X^f$ erklärt.
    Dann ist $M'$ eine Basis von $X'$, die die \emph{duale Basis} von $M$ genannt wird.
    Tatsächlich ist $X^f$ im Falle $\dim X = ∞$ wesentlich größer.
    Man wählt deshalb eine (neue) Defintion des Dualraums:
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Dualraum]
    Zu einem linearen Raum $X$ ist
    \[
        X' := \left\{ x' : X → \K, x' \text{ linear und stetig} \right\} ⊂ X^f
    \]
    der Dualraum von $X$.
\end{definition}
Um Allerdings von Stetigkeit reden zu können, müssen wir zunächst \emph{Topologien} einführen.

\chapter{Topologie}
\section{Topologische Räume}
\begin{definition}
    Sei $X$ eine Menge und $\mathcal T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
    $\mathcal T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\mathcal T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist.
    Insbesondere muss $\mathcal T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten.
    $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen}
\end{definition}
\begin{beispiele}
    \begin{enumerate}[label=(\alph*)]
        \item
              Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
        \item
              Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
        \item
            In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $ε > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < ε$ auch $y ∈ U$ gilt.
            Aus der Analysis ist bekannt, dass die so definierten offenen Mengen den Axiomen genügen.
            Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
        \item
              Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
              $X$ wird definiert als
              \[
                  \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
              \]
        \item
              Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
    \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{definition}
    Sei $M ⊂ X$.
    \begin{enumerate}
    \item
        $M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus  M$ offen ist.
    \item
        $U ⊂ X$ heißt \emph{Umgebung von $A$}, wenn es eine offene Menge $V$ gibt mit $A ⊂ V ⊂ U$. Wir setzen
        \[
            \U_A := \U_A (\T) := \{ U ⊂ X : U\; \text{Umgebung von $A$}\}.
        \]
        $\U_A$ heißt \emph{Umgebungssystem} oder \emph{Umgebungsfilter} von $A ⊂ X$.
        Für $x ∈ X$ setzen wir $\U_x := \U_{\{x\}}$. $x$ heißt dann \emph{innerer Punkt} von $U$ für alle $U ∈ \U_x$.
    \item
        $x ∈ X$ heißt \emph{Häufungspunkt} von $M$, falls jede Umgebung von $x_0$ ein $y ∈ M$ enthält mit $y \ne x$.k
    \item
        Das \emph{Innere von M} ist
        \[
            M^\circ := \bigcup \left\{ U ∈ \T: U ⊂ M \right\}
        \]
        die größte offene Menge, die in $M$ enthalten ist.
    \item
        Der \emph{Abschluss von} M ist
        \[
            \cl M := \bigcap \left\{ U ⊂ M: U \text{ abgeschlossen} \right\}
        \]
        die kleinste abgeschlossene Menge, die $M$ enthält.
    \item
        $M$ heißt \emph{kompakt}, falls jede offene Überdeckung von $M$ eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
    \item
        $M$ heißt \emph{dicht}, falls $\cl M = X$.
    \item
        $M$ heißt \emph{nirgends dicht}, falls $(\cl M)^\circ = \emptyset$.
    \end{enumerate}
\end{definition}
\begin{bemerkung}
    \begin{enumerate}
    \item $M^\circ ⊂ M ⊂ \cl  M$.
    \item
        $M^\circ$ ist die Menge der inneren Punkte von $M$.
    \item
        $M$ ist genau dann abgeschlossen, wenn $M = \cl M$.
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}


%%%%% VORLESUNG VOM DONNERSTAG, 19. OKTOBER FEHLT
\begin{definition}[Hausdorff-Raum]
	Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
	Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$ 
	existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
	Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem Trennungsaxiom.
\end{definition}

\begin{definition}[Konvergenz]
	Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ ein $n_{0} \in \N$ existiert, 
	sodass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
	Man überlegt sich leicht, dass der Grenzwert $x_{0}$ in der Regel nicht eindeutig ist.
	Bsp: In $\T=\{X,\emptyset\}$ konvergiert jede Folge gegen jeden Punkt.
	Ist $(X,\T)$ jedoch ein Hausdorff-Raum, so ist jeder Grenzwert eindeutig.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
	Seien $x_{0} \neq x'_{0}$ Grenzwerte von $(x_{n})_{n \in \N} \subset X$.
	Dann existieren disjunkte Umgebungen $U,U' ∈ \U_{x_0}$.
	Weiterhin gibt es ein $n_{0} \in \N$, so dass $x_{n} \in U$ für alle $n \geq n_{0}$
	und $n_0' \in \N$, so dass $x_{n} \in U'$ für alle $n \geq n_0'$.
	Also gilt $x_{\max\{n_0,n'_0\}} \in U \cap U'$
	Das ist ein Widerspruch zur Disjunktheit der Umgebungen.
\end{beweis}

\begin{definition}[Häufungspunkt]
	$x_{0} \in X$ heißt Häufungspunkt von $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$,
	falls zu jeder Umgebung $U \in \U_{x_{0}}$ und für alle $k \in \N$ 
	ein $n \geq k \in \N$ existiert, sodass $x_{n} \in U$.
\end{definition}
\begin{beispiel}
	$\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset \R$ mit natürlicher Topologie.
	$x_{n}=(-1)^n$ hat zwei HP $\pm 1$
	Achtung: $M=\{x_{n}:n \in \N\}=\{-1,1\}$ hat als Menge keine HP.
\end{beispiel}
\begin{bemerkung}
	Für die indiskrete Topologie ist jeder Punkt in X HP jeder Folge.
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Stetigkeit]
	$f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ heißt stetig, falls
	für alle $V \in \T_{Y}$ gilt, dass $f^{-1}(V) \in \T_{X}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
	$f$ ist stetig $\Longleftrightarrow$ $f$ ist stetig in jedem Punkt
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Homöomorphismus]
	Ist $f : (X,\T_{X}) \rightarrow (Y,\T_{Y})$ bijektiv und stetig,
	und $f^{-1} : (Y,\T_{Y}) \rightarrow (X,\T_{X})$ auch stetig,
	dann heißt $f$ Homöomorphismus.
	$X$ und $Y$ heißen homöomorph, falls so ein Homöomorphismus existiert.
\end{definition}

\begin{definition}[Basis von Topologien und Umgebungen]
	\begin{enumerate}
	\item
	Eine Familie $B \subset \T$ heißt Basis der Topologie in $(X,\T)$, falls
	$T={\cup M: M \subset B}$.
	\item
	Eine Familie $B \subset \U_{x}$ von $x \in X$ heißt Umgebungsbasis des Punktes $x$,
	falls für alle $U \in \T, x \in U$ existiert ein $V \in B$ mit $x \in V \in U$. 
	\end{enumerate}
\end{definition}
\begin{beispiel}
	Für die natürliche Topologie auf $\R^n$ ist eine Basis der Topologie gegeben durch
	${B_{\eps}(x): x \in X, \eps > 0}$ 
	mit den offenen Kugeln $B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$.
	Sei $x \in \R^n$ fest. 
	Dann ist ${B_{1/n}(x):n \in \N}$ eine abzählbare Umgebungsbasis von x
\end{beispiel}

\begin{definition}[Relativtopologie oder Spurtopologie]
	$M \subset \T$ eines topologischen Raumes $(X,\T)$ lässt sich in natürlicher Weise
	zu einem topologischen Raum machen, nämlich mit $\T' := {M \cap V : V \in \T}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
	$M = M \cap X \in \T'$ da $X \in \T$, d.h. $M$ ist offen in der Spurtopologie.
	Achtung: $M$ muss nicht offen in $X$ sein.
\end{bemerkung}

\begin{definition}
	Seien zwei Topologien $\T_{1},\T_{2}$ auf X gegeben. 
	Wir sagen $\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \supset \T_{2}$.
	Wir sagen $\T_{1}$ ist gröber als $\T_{2}$, falls $\T_{1} \subset \T_{2}$.
	Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$.
\end{definition}
\begin{bemerkung}
	Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$.
	Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, 
	und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen.
	
	Man zeigt leicht: 
	$\T_{1}$ ist feiner als $\T_{2}$ $\Longleftrightarrow$ 
	Für alle $x \in X$ gilt: Seien $B_{1} \subset T_{1},B_{2} \subset T_{2}$ Umgebungsbasen von $x$, 
	dann gilt für alle $U \in B_{1}$, dass ein $V \in B_{2}$ existiert mit $V \subset U$.
\end{bemerkung}

\begin{beispiel}
	Folgende Topolgien auf $\R^n$ sind gleich.
	$\T_{1}$ sei die Topologie, die durch die Kugeln 
	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \norm{x-y}<\eps}$ erzeugt wird.
	$\T_{2}$ sei die Topologie, die durch die Quader 
	$B_{\eps}(x)={y \in R^n : \max_{1 \leq i \leq n} |y_{i}-x_{i}|<\eps}$ erzeugt wird.
\end{beispiel}

\begin{definition}[Produkttopologie]
	Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
	Dann sit die Familie von Mengen
	$\{U_{X} \times U_{Y} : U_{X} \in \T_{X}, U_{Y} \in \T_{Y} \} \subset 2^{X \times Y}$
	eine Basis der Topologie $\T_{X \times Y}$ im kartesischen Produkt $X \times Y$.
	Bemerkung: Es genügt auch wenn $U_{X},U_{Y}$ über Basen von $\T_{X},\T_{Y}$ genommen werden.
\end{definition}

\section{Metrische Räume}
\begin{lemma}[Eigenschaften metrischer Räume]
    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum.
    \begin{enumerate}
    \item Jeder Punkt $x ∈ X$ besitzt eine abzählbare Umgebungsbasis
        \[
            \{ B_{1/n} (x), n ∈ ℕ\}.
        \]

    \item
        Es gilt
        \[
            \lim_{n \to ∞} x_n = x \; \Longleftrightarrow \; \lim_{n→∞} d(x,x_n) = 0.
        \]
    \item
        Es ist $x_0 ∈ M$ genau dann ein innerer Punkt von $M ⊂ X$, wenn ein $ε > 0$ existiert mit $B_ε(x_0) ⊂ M$.
    \item
        $M$ ist nirgends dicht in $X$ genau dann, wenn es zu jeder  Kugel $B_ε(x_0)$ mit $x_0 ∈ X, ε > 0$ eine Kugel $B_δ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ mit $B_θ(x_1) ∩ M = \emptyset$ gibt.
    \item
        Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ metrische Räume.
        Dann ist auch $(X×Y,d_{X×Y})$ ein metrischer Raum vermöge der Metrik
        \[
            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \max\{d_x(x_1,x_2),d_y(y_1,y_2)\}
        \]
        oder auch mit 
        \[
            d_{X×Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2)) := \sqrt{d_x^2(x_1,x_2)+d_y^2(y_1,y_2)}.
        \]
        Tatsächlich induzieren diese beiden Metriken die gleiche Topologie (nämlich die Produkttopologie)
    \item
        Homöomorphismen $f: X → Y$ (für metrische Räume $X, Y$), die die Metrik respektieren, das heißt
        \[
            d_X(x_1,x_2) = d_Y(f(x_1),f(x_2)) \quad ∀x_1, x_2 ∈ X
        \]
        heißen \emph{Isometrien}.
    \item
        Ein metrischer Raum muss im allgemeinen keine lineare Struktur haben.
        Man betrachte hierzu die Menge $X := \{1,2,3,4,5,6\}$ mit der diskreten Metrik.
        Diese kann keine Vektorraumstruktur haben, da $|X| = 6$ keine Primzahlpotenz ist.
    \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
Der Beweis wird aufgrund seiner Trivialität den Lesern zur Übung überlassen, da er wirklich nur Einsetzen der Definitionen ist.
\end{proof}

Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
\begin{satz}
    Im metrischen Raum $(X,d)$ sind äquivalent:
    \begin{enumerate}
    \item
        $K ⊂ X$ ist kompakt (überdeckungskompakt)
    \item
        Jede Folge in $K$ besitzt mindestens einen  Häufungspunkt in $K$ (abzählbar kompakt)
    \item
        Jede Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in $K$ (folgenkompakt)
    \end{enumerate}
\end{satz}

\begin{bemerkung}
    Der Satz gilt so im allgemeinen Hausdorff-Raum \emph{nicht}.
    Für „$(b) \Rightarrow (a)$“ benötigt man zusätzlich das zweite Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz einer abzählbaren Basis der Topologie.
    Für „$(b) \Rightarrow (c)$“ benötigt  man das erste Abzählbarkeitsaxiom, also die Existenz von abzählbaren Umgebungsbasen für jeden Punkt.
\end{bemerkung}

\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
\begin{definition}
    Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $ε > 0$ ein $N = N(ε)$ existiert mit $d(x_m,x_n) < ε$ für alle $n,m \ge N$.
\end{definition}

\begin{lemma}
    Jede Konvergente Folge $(X_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
\end{lemma}

\begin{definition}
    Der metrische Raum $(X,d)$ heißt \emph{vollständig}, falls jede Cauchy-Folge in $(X,d)$ konvergiert.
\end{definition}

Nicht jeder metrische Raum braucht vollständig zu sein (man betrachte hierfür z.B. $ℚ$ und die Folge der Partialsummen der Dezimalbruchentwicklung von $\sqrt 2$),
jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.

\begin{satz}
    Jeder metrische Raum $(X,d)$ lässt sich in einen bis auf Isometrie eindeutig bestimmten kleinsten vollständigen metrischen Raum $(\tilde X, \tilde d)$ einbetten.
    Dieser Raum $(\tilde X, \tilde d)$ heißt die Vervollständigung von $(X,d)$.
\end{satz}
\begin{proof}
    Zwei Cauchyfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ und $(y_n)_{n ∈ ℕ}$ seien äquivalent, falls $d(x_n,y_n) \xrightarrow{n → ∞} 0$.
    Hierdurch ist eine Äquivalenzrelation definiiert. Sei $[(x_n)_{n ∈ ℕ}]$ die vom Repräsententaten $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ erzeugte Klasse. Man setzt
    \[
        \tilde X := \{ [ (x_n)_{n ∈ ℕ}] : (x_n)_{n ∈ ℕ} \text{ ist Cauchy-Folge in }(X,d)\}
    \]
    und
    \[
        \tilde d([(x_n)_{n ∈ ℕ}],[(y_n)_{n ∈ ℕ}]) := \lim_{n → ∞} d(x_n,y_n).
    \]
    Dann ist $(d(x_n,y_n))_{n ∈ ℕ}$ eine Cauchy-Folge in $ℝ$, da
    \[
        |d(x_n,x_m) - d(y_m,y_m) | \le \underbrace{d(x_n,x_m)}_{→ 0} + \underbrace{d(y_n,y_m)}_{→ 0}.
    \]
    Da $ℝ$ bekanntlich vollständig ist, existiert somit der Grenzwert.
    Ferner ist $\tilde d$ Repräsentatenunabhängig, also wohldefiniert:
    Seien $(\tilde x_n)$ und $(\tilde y_n)$ andere Repräsentaten. Dann ist
    \[
        d(x_n,y_n) \le \underbrace{d(x_n,\tilde x_n)}_{→ 0} + d(\tilde x_n,\tilde y_n) + \underbrace{d(\tilde y_n, y_n)}_{→ 0}.
    \]
    Die umgekehrte Ungleichung ergibt sich aus Vertauschung der Rollen. Man rechnet leicht nach, dass $(\tilde X, \tilde d)$ ein vollständiger Raum ist.
    Wir können $(X,d)$ durch die entsprechenden konstanten Folgen isometrisch in $\tilde X$ einbetten.
\end{proof}

\begin{bemerkung-nn}
    Wendet man diese Technik auf $ℚ$ mit der natürlichen Metrik an, dann erhält man $(ℝ,d)$ als vollständige Hülle.
\end{bemerkung-nn}


\begin{satz}[Schachtelsatz]\label{schachtelsatz}
    Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und seien
    $(x_n)_{n * ℕ} ⊂ X$ und $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞) $ Folgen mit der Eigenschaft
    \begin{enumerate}
    \item $\cl B_{r_{n+1}}(x_{n+1}) ⊂ B_{r_n} (x_n)$
    \item $\lim_{n \to ∞} r_n = 0$.
    \end{enumerate}
    Dann gibt es genau ein $x_0 ∈ X$ mit $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ \cl B_{r_n} (x_n)}$.
\end{satz}
\begin{proof}

    Für $p ∈ ℕ$ beliebig gilt
    \[
        \cl B_{r_{n+p}} (x_{n+p}) ⊂ \cl B_{r_n} (x_n).
    \]
    Also
    \[
        d(x_{n+p},x_n) \le r_n \xrightarrow{n → ∞} 0.
    \]
    Damit ist $(x_n){n ∈ ℕ}$ eine Cauchyfolge und damit konvergiert gegen ein $x_0 ∈ X$.
    Außerdem gilt
    \[
        d(xp,x_n) \le \underbrace{d(x_0, x_{n+p})}_{→ 0 (p → ∞)} + \underbrace{d(x_{n+p},x_n)}_{ \le r_n}.
    \]
    Damit folgt für $p → ∞$
    \[
        d(x_0, x_n) \le r_n \quad ∀ n ∈ ℕ
    \]
    also $x_0 ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
    Für die Eindeutigkeit sei $\tilde x_0$ ebenfalls in $\bigcap_{n ∈ ℕ} \cl B_{r_n}(x_n)$.
    Dann folgt
    \[
        d(x_0,\tilde x_0) \le \underbrace{d(x_0,x_n)}_{\le r_n} + \underbrace{d(x_n, \tilde x_0)}_{\le r_n} \le 2r_n \xrightarrow{n → ∞} 0.
    \]
    Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
\end{proof}

\begin{definition}
    Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder  \emph{mager}, falls sie
     die Vereinigung abzählbar vieler in $X$ nirgends dichter Mengen ist. Andernfalls heißt $M$ \emph{von zweiter Kategorie}.
\end{definition}

Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.


\begin{satz}[Baire]\label{baire}
    Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst)
\end{satz}
\begin{proof}
    Sei  $ \emptyset \ne M ⊂ X$ offen. Wir nehmen umgekehrt an, $M$ wäre von erster Kategorie, das heißt
    \[
        M ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} M_n
    \]
    mit $M_n ⊂ X$ nirgends dicht. Wähle $x_0 ∈ M$. Da $M$ offen ist, gibt es ein $r = r_0 > 0$ mit $B_{r_0}(x_0) ⊂ M$.
    Da $M_1$ nirgends dicht ist, gibt es $r_1 > 0$ und $x_1 ∈ X$ mit
    \[
        B_{r_1}(x_1) ⊂ B_{r_0/2} (x_0)
    \]
    und $B_{r_1}(x_1) ∩ M_1 = \emptyset$.
    Analog finden wir, da $M_2$ nirgends dicht ist, $r_2 > 0$ und $x_2 ∈ X$ mit
    \[
        B_{r_2}(x_2) ⊂ B_{r_1/2} (x_1)
    \]
    und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
    Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,∞)$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow{n → ∞} 0$.
    Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein
    \[
        \tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
    \]
    Aber $\tilde x \not\in M_n$ für alle $n ∈ ℕ$ Folglich ist auch $\tilde x$ nicht in $\bigcup_{n ∈ ℕ} M_n = M$. Das ist ein Widerspruch. Also ist $M$ von zweiter Kategorie.
\end{proof}

% \begin{satz}[Satz von Baire]\label{44-baire}
%     Sei $(X,\T)$ ein vollständig metrisierbarer oder lokalkompakter Hausdorff\hyp{}Raum
%     \begin{enumerate}
%     \item
%         Sei $(U_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge offener, dichter Teilmengen von $X$.
%         Dann ist auch $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ⊂ X$ dicht.
%     \item
%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge nirgends dichter Teilmengen. Dann ist
%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n \ne X$.
%     \item
%         Sei $(A_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge abgeschlossener Teilmengen mit
%         $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n = X$. Dann gilt für mindestens ein $n ∈ ℕ$, dass $A_n^\circ
%         \ne \emptyset$.
%     \end{enumerate}
% \end{satz}
% \begin{proof}
%     \begin{enumerate}
%     \item
%         Sei $W ⊂ X$ offen und nichtleer. Zu zeigen: $\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n ∩ W \ne
%         \emptyset$. Sei zunächst $X$ vollständig metrisierbar durch die Metrik
%         $d$. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer nach Annahme gibt es $x_1 ∈ U ∩ W$
%         und $0 < r_1 < 1$ mit $B_{r_1}(x_1) ⊂ U_1 ∩ W$. Wir wählen nun induktiv
%         Punkte $x_n ∈ X$ und Zahlen $0 < r_n < 1$ (für $n \ge 2$) mit folgenden
%         Eigenschaften:
%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
%         \item
%             $0 < r_n < \frac 1 n$
%         \item
%             $\cl{B_{r_n}(x_n)} ⊂ U_n ∩ B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$
%         \end{enumerate}
%         Dazu beachte man, dass $U_n ∩ B_{r_{n-1}}(x_{n-1})$ nichtleer und offen
%         ist, also existiert $x_n$ und $\frac 1 n > ε > 0$ mit $B_ε(x_n) ⊂ U_n ∩
%         B_{r_{n-1}} (x_{n-1})$ und $r_n = \frac ε 2$ ist wie gewünscht. Für $m
%         \ge n$ impliziert (ii), dass $x_m ∈ B_{r_n}(x_n)$ und aus (i) folgt,
%         dass die Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ damit eine Cauchyfolge ist. Damit
%         konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ gegen ein $x ∈X$. Sei nun $N ∈ ℕ$ und $m >
%         N$. Dann folgt aus $x_m ∈ B_{r_N}(x_N)$, dass
%         \begin{align*}
%           x &= \lim_{m → ∞} x_m ∈ \cl{B_{r_N}(x_n)} ⊂ U_N ∩ B_{r_{N-1}}(x_{N-1}) \\
%           & ⊂ U_N ∩ B_{r_1}(x_1) ⊂ U_N ∩ W,
%           \end{align*}
%         also $x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} U_N ∩ W$.

%         Sei Nun $X$ lokalkompakt. Da $U_1 ∩ W$ offen und nichtleer ist, gibt es
%         $x ∈ U_1 ∩ W$, und es ist $U_1 ∩ W ∈ \U_x$. Wähle $B_1 ∈ \U_x$ kompakt
%         mit $B_1 ⊂ U_1 ∩ W$. Wir konstruieren nun sukzessive kompakte Mengen
%         $B_k$ (zu $k \ge 2$) mit folgenden Eigenschaften:
%         \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
%         \item
%             $B_k ⊂ B_{k-1}$
%         \item
%             $\emptyset \ne B_k^\circ ⊂ B_k ⊂ U_k$.
%         \end{enumerate}
%         Ist $B_{k-1}$ gegeben, so ist wegen $B_{k-1}^\circ \ne \emptyset$ und
%         der Dichtheit von $U_k$ der Schnitt $B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ offen und
%         nichtleer. Es gibt also ein $x ∈ B_{k-1}^\circ ∩ U_k$ und damit auch
%         eine kompakte $x$-Umgebung $B_k ⊂ U_k ∩ B_{k-1}$.
%         Die Familie $(B_k)_{k ∈ ℕ}$ nichtleerer Teilmengen der kompakten Menge
%         $B_1$ ist absteigend, besitzt also die endliche Durschnittseigenschaft.
%         Da $X$ hausdorffsch und die $B_k$ kompakt sind, ist zudem jedes $B_k$
%         abgeschlossen, somit folgt 
%         \[
%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap _{k ∈ ℕ}U_k
%         \]
%         sowie
%         \[
%             \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ B_1 ⊂ W.
%         \]
%         Insgesamt also
%         \[
%             \emptyset \ne \bigcap_{k ∈ ℕ} B_k ⊂ \bigcap_{k ∈ ℕ} U_k ∩ W.
%         \]
%     \item
%         Für $n ∈ ℕ$ Sei $U_n = \complement_X \cl{A_n}$. Dann ist $U_n$ offen und
%         dicht. Mit Teil (a) folgt, dass auch $\bigcap_{n ∈ ℕ U_n }$ dicht, und
%         somit insbesondere nicht leer, ist. Also ist $\bigcup_{n ∈ ℕ} A_n
%         ⊂ \bigcup_{n ∈ ℕ} \cl{A_n} = (\bigcap_{n ∈ ℕ} U_n)^\complement \ne X$.
%     \item
%         Das ist eine direkte Konsequenz aus (b).
%     \end{enumerate}
% \end{proof}


\chapter{Topologische lineare Räume}
Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorherigen beiden Kapiteln, also die Topologie und den linearen Raum zusammenzuführen.
\begin{definition}
    Ein linearer Raum $X$ über dem Körper $\K$ mit Topologie $\T$ heißt \emph{topologischer linearer Raum}, falls die Vektorraumoperationen ($+ : X×X → X$ und $\cdot: \K×X → X$) stetig sind.
\end{definition}

\begin{bemerkung-nn}
    Stetigkeit der Vektorraumoperationen sollte als minimales Kompatibilitätskriterium der beiden Strukturen gefordert werden.
    Tatsächlich ist es im Allgemeinen gar nicht erfüllt. Erst im normierten Raum bekommt man diese Stetigkeit geschenkt.
\end{bemerkung-nn}

\section{Normierte Räume}
\begin{definition}
    Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,∞)$
    heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, α ∈ K$ gilt:
    \begin{enumerate}
    \item $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$
    \item
        $\norm{αx} = |α| \norm x$
    \item
        $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$
    \end{enumerate}
    $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Durch $d(x,y) := \norm{x-y}$ wird ein normierter Raum auch ein metrischer, also insbesondere auch ein topologischer Raum.
    Diese induzierte Topologie auf $(X, \norm\cdot)$ heißt \emph{Normtopologie}.

    Ohne die lineare Struktur macht der normierte Raum gar keinen Sinn, da für die Definition einiger der Normaxiome die Vektorraumoperationen verwendet werden.
\end{bemerkung}

\begin{beispiele}
    \begin{enumerate}
    \item 
        Betrachte den $ℝ^n$ mit $\norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}$ mit $1 \le p < ∞$ ist ein normierter Raum,
        genauso wie mit $\norm{x}_{∞} := \max_{1 \le i \le n} |x_i|$.
        Insbesondere gibt es im $ℝ^n$ überabzählbar viele verschiedene Normen.
        Wir werden jedoch später sehen, dass diese Normen alle die gleiche Topologie erzeugen.
    \item
        Der Raum aller stetigen Funktionen auf einem kompaktem Intervall $C[a,b]$ mit $\norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ [a,b]} |x(t)|$ ist ein normierter Raum.
        Außerdem wird durch
        \[
            \norm x := ∫_a^b |x(t)| dt
        \]
        ebenfalls eine Norm definiert.
    \item
        Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und beschränkt. Dann wird $C(\cl{\Omega})$ mit
        \[
            \norm{x}_{∞} := \max_{t ∈ \cl \Omega} |x(t)|
        \]
        auch zu einem normierten Raum.
    \item
        $L^p(\Omega) = \L^p(\Omega)/\mathcal N$, wobei $\mathcal N = \{ f: \Omega → \R, f(t) = 0 \text{ fast überall}\}$ ist mit 
        \[
            \norm x := \left(∫_{\Omega} |x(t)|^p dt \right)^{1/p}
        \]
        ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$.
    \item
        $\ell^p$ mit
        \[
            \norm x _{p} := \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^p \right)^{1/p}
        \]
        ist ebenfalls ein normierter Raum, wobei $1 \le p < ∞$.
    \end{enumerate}
\end{beispiele}

\begin{lemma}
    Sei $(X, \norm\cdot)$ ein normierter Raum. Dann sind die Abbildungen $+$, $\cdot$ und $\norm\cdot$ stetig.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Für beliebige Folgen $(x_n)_{n ∈ ℕ},(y_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $\lim x_n = x$, $\lim y_n = y$, $\lim α_n = α$ gelten
    \[
        \norm{(x_n + y_n) - (x+y)} \le \norm{x-x_n} + \norm{y -y_n}
    \]
    sowie
    \[
        \norm{α_nx_n - αx} \le |α_n| \norm{x_n-x} + \norm{x} |α_n - α|
    \]
    und
    \[
        |\norm{x_n} - \norm{x}| \le \norm{x_n - x}
    \]
    nach der umgekehrten Dreiecksungleichung.
    Folglich sind die zu betrachtenden Abbildungen alle folgenstetig, und, da metrische Räume stets dem ersten Abzähhlbarkeitsaxiom genügen, auch stetig.
\end{proof}

\begin{korollar}
    Jeder normierte Raum versehen mit der Normtopologie ist ein topologischer linearer Raum.
    Deshalb ist auch keine Unterscheidung zwischen normierten Räumen und normierten linearen Räumen nötig.
\end{korollar}

\section{Topologische lineare Räume}
\begin{bemerkung-nn}
    Hierbei sei stetis die Topologie von $X×X$ die Produktopologie, bei den Körpern $\K = \begin{cases} ℝ \\ ℂ \end{cases}$ die übliche Topologie.
    Wir schreiben im Folgenden für Mengen $M, M_1, M_2 ⊂ X$ und $α ⊂ \K$ nun
    \[
        M_1 + M_2 := s(M_1,M_2) := \{x+y : x ∈ M_1, y ∈ M_2\},
    \]
    \[
        A \cdot M := m(A,M) := \{ αx: α ∈ A, x ∈ M\}.
    \]
\end{bemerkung-nn}

\begin{lemma}
    Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
    \begin{enumerate}
    \item Die Addition $s$ ist stetig.
    \item
        Für beliebiges $x, y ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{x+y} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_y ∈ \T$ von $y$ mit $O_x + O_y ⊂ O_{x+y}$
    \end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{proof}
    $s$ ist stetig in $(x,y)$ genau dann, wenn zu jeder Umgebung $O_{x,y} ∈ \T_X$
    von $(x,y)$ existiert eine Umgebung $U ⊂ \T_{X×X}$ von $(x,y)$ mit $s(U) ⊂ O_{x+y}$.
    Nach Definition der Produkttopologie existieren dann Umgebungen $O_x ∈ \U_x$ und $O_y ∈ \U_y$ mit $O_x × O_y ⊂ U$.
    Damit ist
    \[
        O_x + O_y = s(O_x, O_y) = s(O_x × O_y) ⊂ s(U) ⊂ O_{x+y}.
    \]
    Analog zeigt man die entsprechende Aussage für die skalare Multiplikation:
\end{proof}
\begin{lemma}
    Hat der topologische Raum $(X,\T)$ auch eine lineare Struktur, so sind äquivalent:
    \begin{enumerate}
    \item Die Addition $m$ ist stetig.
    \item
        Für beliebiges $α ∈ \K, x ∈ X$ gilt: Zu jeder Umgebung $O_{αx} ∈ \T$ existieren Umgebungen $O_x ∈ \T$ von $x$ und $O_α ∈ \T$ von $y$ mit $O_α × O_x ⊂ O_{αx}$.
    \end{enumerate}
\end{lemma}

Betrachtet man insbesondere die Stetigkeit am Punke $α=0$ und $x ∈ X$ beliebig, dann gilt also:
Für jede Umgebung $O_0 ∈ \U_0 ⊂ X$ existiert eine Umgebung $O_x ∈ \U_x$ und ein $r > 0$, so dass
\[
    ∀β: |β| <r: βO_x ⊂ O_0.
\]
Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
\begin{korollar}
    Im topologischen Raum $(X,\T)$ gilt für $x ∈ X$ beliebig und $(β_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ ℝ$
    \[
       β_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \implies β_nx \xrightarrow{n → ∞} 0.
    \]
\end{korollar}

\begin{definition-nn}
    \begin{enumerate}
    \item 
        Zu $x_0 ∈ X$ fest definieren wir den Translationsoperator
        \[
            T_{x_0} := X → X, x ↦ x + x_0.
        \]
    \item
        Zu $α_0 ∈ \K^*$ fest definieren wir den Multiplikationsoperator
        \[
            M_{α_0} := X → X, x ↦ α_0\cdot x.
        \]
    \end{enumerate}
\end{definition-nn}

\begin{lemma}
    Die Translationsoperatoren und Multiplikationsoperatoren sind Homöomorphismen.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Das ist klar.
\end{proof}

\begin{korollar}[Invarianzprinzip]
    Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation.
\end{korollar}
\begin{proof}
    Das ist klar.
\end{proof}

\section{Metrische lineare Räume und Quasi-normierte Räume}
\begin{definition}
    Eine Metrik $d: X × X → ℝ$ auf einem linearen Raum $X$ heißt \emph{translationsinvariant}, falls gilt:
    \[
        ∀x,y,z ∈ X: d(x,y) = d(x+z, y+z),
    \]
    oder äquivalent dazu:
    \[
        ∀x,y ∈ X: d(x,y) = d(x-y, 0).
k    \]
\end{definition}
\begin{bemerkung-nn}
    Ohne lineare Struktur macht das gar keinen Sinn!
\end{bemerkung-nn}

\begin{definition}
    Ein metrischer Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter Mertik $d$ heißt \emph{metrischer linearer Raum}, falls
    die Vektorraumoperationen stetig sind (in der von der Metrik induzierten Topologie).
\end{definition}


\begin{lemma}
    Im metrischen Raum $(X,d)$ mit linearer Struktur und translationsinvarianter metrik, dann ist die Addition immer stetig.
\end{lemma}
\begin{proof}
    Es genügt, da in metrischen Räumen Folgenstetigkeit und Stetigkeit äquivalent sind, zu zeigen, dass $\lim d(x_n + y_n, x + y ) = 0$, sofern $\lim d(x_n,x) = 0$  und $\lim d(y_n,y) = 0$.
    Dazu ist
    \[
        d(x_n+y_n,x+y) \le d(x_n+y_n) + d(x+y_n, x+y) = d(x_n,x) +d(y_n,y) \xrightarrow{n → ∞} 0.
    \]
\end{proof}

\begin{beispiel-nn}
    Sei $X = C(a,b)$ mit der Metrik
    \[
        d(x,y) := \min\{ 1, \sum_{t ∈ (a,b)} |x(t)-y(t)|\}.
    \]
    Dann ist $d$ eine translationsinvariante Metrik, aber $X$ ist kein linearer Raum, da die Skalarmultiplikation nicht stetig ist.
\end{beispiel-nn}
Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(α,x) ∈ \K × X$ hat man (nach dem $ε-δ-Kriterium$)
\[
    ∀ε > 0 ∃ δ > 0 ∃ r> 0 ∀β ∈ \K ∀y ∈ X: 
    \begin{rcases}
        |β - α| < r \\
        d(x,y) < δ
    \end{rcases}
    \implies d(βy,αx) < ε
\]


\begin{lemma}
    \label{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}
    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum mit linearer Struktur und mit einer translationinvarianten Metrik.
    Dann ist $X$ mit der von $d$ erzeugten Topologie ein \emph{metrischer linearer Raum} genau dann, wenn für alle $α ∈ \K, x ∈ X$ und beliebige Nullfolgen $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X, (α_n)_{n ∈ ℕ) ⊂ \K}$ gilt
    \begin{gather*}
        αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\
        αx_n \xrightarrow{n → ∞} 0 \\
        α_nx_n \xrightarrow{n → ∞} 0
    \end{gather*}
\end{lemma}
\begin{proof}
    „$⇒$”: Skalare Multiplikation ist im metrischen linearen Raum stetig, also folgen die Aussagen sofort.

    „$⇐$“: Wegen der Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit ist zu zeigen
    \[
        \begin{rcases}
            α_n \xrightarrow{n → ∞} α ∈ \K \\
            x_n \xrightarrow{n → ∞} x ∈ X
        \end{rcases}
    \implies α_n x_n \xrightarrow{n → ∞} αx.
    \]

    Sei dazu $z_n := x_n - x ∈ X$, $γ_n := α_n - α ∈ \K$. Dann ist
    \[
        γ_n z_n + γ_n x + α z_n = (α_n - α)(x_n-x) + (α_n-α) x + α(x_n-x)
        = α_n x_n - α×.
    \]
    Somit ist
    \begin{align*}
        d(α_nx_n,αx) &= d(αnx_n - αx,0) = d(γ_nz_n + γnx + αz_n, 0) \\
        &\le \underbrace{d(γ_nz_n,0)}_{→ 0} + \underbrace{d(γ_nx, 0)}_{→ 0} + \underbrace{d(αz_n, 0)}_{→ 0} \xrightarrow{n → 0} 0.
    \end{align*}
    Da die Addition ohnehin immer stetig ist, sind wir  fertig.
\end{proof}


\begin{definition}
    Eine Abbildung $|\cdot|: X → [0,∞)$ heißt \emph{Quasi-Norm} auf dem Linearen
    Raum $X$, falls gilt:
    \begin{enumerate}[label=(Q\arabic*)]
    \item
        $|x| \ge 0$ für alle $x ∈ X$ und $|x| = 0$ genau dann, wenn $x = 0$.
    \item
        $|-x| = |x|$ für alle $x ∈ X$
    \item
        $|x+y| \le |x| + |y|$ für alle $x,y ∈ X$
    \item
        $|αx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $α ∈ \K$, falls $|x_n| → 0$
    \item
        $|α_nx| \xrightarrow{n → ∞} 0$ für $x ∈ X$, falls $|α_n| → 0$
    \item
        $|α_nx_n| \xrightarrow{n → ∞} 0$ falls $|x_n| → 0$ und $|α_nx_n| → 0$
    \end{enumerate}
    $(X,|\cdot|)$ heißt dann \emph{quasi-normierter} Raum.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum.
\end{bemerkung}

\begin{satz}
    \begin{enumerate}
    \item
        Ist $|\cdot|$ eine Quasi-Norm auf $X$, so wird durch $d(x,y) := |x-y|$ eine translationsinvariante Metrik definiert, welche $X$ zu einem metrischen linearen Raum macht.
    \item
        Ist $(X,d)$ ein metrischer linearer Raum mit translationsinvarianter Metrik $d$, so ist
        $(X,|\cdot|)$ mit $|x| := d(x,0)$ ein quasi-normierter Raum.
    \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
    Das folgt direkt aus den Axiomen und \cref{lemma-metrischer-linearer-raum-charak}.
\end{proof}


Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.

\begin{definition}
    Sei $X$ ein linearer Raum.
    Eine Abbildung $p: X → ℝ$ heißt \emph{Semi-Norm} oder \emph{Halbnorm}, falls folgendes gilt:
    \begin{enumerate}[label=(S\arabic*)]
    \item
        $∀x ∈ X: p(x) ≥ 0$
    \item
        $∀ x ∈ X, α ∈ \K: p(αx) = |α| p(x)$
    \item
        $∀ x, y ∈ X: p(x+y) ≤ p(x) + p(y)$
    \end{enumerate}
    $(X,p)$ heißt dann \emph{semi-normierter} Raum.
\end{definition}

\begin{beispiel-nn}
    $\L^p(\Omega)$ ist ein semi-normierter Raum.
\end{beispiel-nn}

\begin{bemerkung-nn}
    Jeeder semi-normierte Raum $(X,p)$ erzeugt einen normierten Raum $(X/N,p)$, wobei $N = \{ x ∈ X: p(x) = 0\}$ ein linearer Unterraum ist.
\end{bemerkung-nn}

\begin{satz}
    \label{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}
    Es seien $p_n: X → ℝ, n ∈ ℕ$ abzählbar viele Semi-Normen auf einem linearen Raum mit der Eigenschaft
    \begin{equation}
        p_n(x) = 0  \text{ für alle n ∈ ℕ } \implies x = 0. \label{eq:seminorm-folge-blub}
    \end{equation}
    Dann ist
    \[
        d(x,yr) := \sum_{n = 1}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
    \]
    eine translationsinvariante Metrik auf $X$, welche $X$ zum metrischen linearen Raum macht.
\end{satz}

\begin{bemerkung}
    $p_n: X → ℝ$ sind auf $(X,d)$ stetig. Das folgt aus (für $x_i → x_0$ in $X$)
    \[
        |p_n(x_i) - p_n(x_0)| \le p_n(x_i-x_0) \xrightarrow{} 0
    \]
    und einer Übungsaufgabe.
\end{bemerkung}

\begin{satz}
    \label{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}
    Sei $(X,d)$ der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gegebene metrische lineare Raum (mit der von der Metrik erzeugten Topologie).
    Dann bilden die Mengen ($ε_n > 0$)
    \[
        U (p_n,ε_n) := \bigcup B^{p_n}_{ε_n}(0)
        = \{ x ∈ X: p_n(x) < ε_n\}
    \]
    und deren endliche Durchschnitte eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$
\end{satz}

\begin{bemerkung-nn}
    Nach dem Invarianzprinzip ist damit durch $\bigcup B^{p_n}_{ε_n}$ die ganze Topologie bestimmt.
    Mit anderen Worten: Die Topologie welche über die Metrik bestimmt ist, ist dieselbe wie die, welche von den
    $U(p_n,ε_n)$ und endlichen Schnitten davon erzeugt wird.
\end{bemerkung-nn}
\begin{proof}[\cref{satz-umgebungsbasis-produkt-von-seminorm}]
    Zunächst ist $U (p_n,ε_n) ∈ \T$:
    Sei $n ∈ ℕ$  und $ε_n > 0$ fest und $y ∈ U(p_n,ε_n)$ beliebig gegeben.
    Dann ist $p_n(y) < ε_n$. Dann wähle $ρ = ρ(y) > 0$, so dass $p_n(y) + ρ < ε_n$.
    Dann gilt für $r := 2^{-n} \frac{ρ}{1+ρ} > 0$:
    \[
        x ∈ B_r(y) \implies p_n(x+r) < ρ.
    \]
    Dazu ist 
    \[
        \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)} \le 2^n \underbrace{d(x,y)}_{< r} < 2^n r = \frac{ρ}{1+ρ},
    \]
    also $p_n(x-y) < ρ$. Mit diesem $r$ gilt $B_r(y) ⊂ U(p_n,ε_n)$:
    Sei $x ∈ B_r(y)$. Dann gilt
    \[
        p_n(x) \le \underbrace{p_n(x-y)}_{< ρ} + p_n(y) < p_n(y) + ρ = ε_n
    \]
    wie gewünscht.
    

    Sei $ B_r(0), r > 0$ gegeben.
    Wähle $n_0 ∈ ℕ$ mit
    \[
        \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < \frac r 2.
    \]

    mit $ε := \frac r 2 $ gilt dann
    \[
        \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_(,ε) ⊂ B_r(0).
    \]
    Sei dazu $x ∈ \bigcap_{n=1}^{n_0} U(p_n,ε)$ beliebig.
    Dann ist
    \[
        d(x,0) \le \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} + \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < ε \sum_{n=1}^{n_0} 2^{-n} + \frac r 2 < ε + \frac r 2 = r,
    \]
    somit also $x ∈ B_r(0)$.
\end{proof}

\begin{bemerkung}
    Die Mengen $U(p_n,ε_n)$ und deren endlichen Schnitte sind konvexe Mengen, das heißt
    \[
        x, y ∈ U(p_n,ε_n),α ∈ [0,1] \implies αx+(1-α)y ∈ U(p_n,ε_n)
    \]
\end{bemerkung}
\begin{proof}
    Es ist
    \[
        p_n(αx + (1-α)y) \le |α| \underbrace{p_n(x)}_{< ε_n} + |1-α|\underbrace{p_n(y)}_{< ε_n} = ε_n.
    \]
\end{proof}

Also besitzt der in \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} gewonne metrische lineare Raum $(X,d)$ eine Umgebungsbasis von $0$, die nur aus konvexen elementen besteht.

\begin{definition}
    Ein topologischer linearer Raum $(X,\T)$, in dem jedes $x ∈ X$ eine Umgebungsbasis besitzt, die nur aus konvexen Mengen besteht, heißt \emph{lokalkonvex}.
\end{definition}

\begin{satz}
    Sei $X$ ein linearer Raum mit Semi-Normen $p_i, i ∈ I$, wobei $I$ eine beliebige Indexmenge ist, mit der Eigenschaft
    \[
        p_i(x) = 0 \text { für alle } i ∈ I \implies x = 0.
    \]
    Dann sind die Mengen
    \[
        U(p_i,ε_i) = \{ x ∈ X: p_{(x) < ε_i}\}, \quad ε_i > 0, i ∈ I
    \]
    und deren endliche Schnitte eine konvexe Umgebungsbasis von $0 ∈ X$.
    Die dadurch gewonne Topologie $\T$ macht $X$ zu einem \emph{lokalkonvexen Hausdorff-Raum}.
\end{satz}

\section{Beispiele}
Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit untersuchen.

\begin{definition}
    \begin{enumerate}
    \item
        Ein metrischer linearer Raum $(X,d)$ der vollständig ist, heißt \emph{Fréchet-Raum}.
    \item
        Ein normierter Raum $(X,\norm\cdot)$, der vollständig ist, heißt \emph{Banach-Raum}.

    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{beispiel-nn}[$\ell^p$-Räume]
    \begin{enumerate}
    \item 
        $(\ell^p,\norm\cdot_p)$, $1 \le p < ∞$ ist normierter Raum mit
        \[
            \norm x _p = \left( \sum_{i=1}^∞ |x_i|^p \right)^{1/p}.
        \]
    \item 
        $(\ell^∞,\norm\cdot_∝)$, ist normierter Raum mit $\norm x _∞ = \sup_{i ∈ ℕ} |x_i|$.
    \item 
        $(\ell^p,|\cdot|_p = \norm\cdot_p^p)$, $0 \le p < 1$ ist quasi-normierter Raum.
    \end{enumerate}
\end{beispiel-nn}

\begin{bemerkung}
    Für $0 < p < q \le ∞$ gilt $\ell^p ⊂ \ell^q ⊂ \ell^∞$.
\end{bemerkung}
\begin{beweis}
    Sei $x ∈ \ell^p$ mit $|x| = 1 = \sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^p$.
    Dann ist für alle $i ∈ ℕ$ $|x_i|^p \le 1$, also auch $|x_i| < 1$.
    Dann folgt auch $\sum_{i ∈ ℕ} |x_i|^q < 1$, also $x ∈ \ell^q$ und $\sup_{i ∈ ℕ} |x_i| ≤ 1$, also $x ∈ \ell^∞$.
\end{beweis}


\begin{satz}
    Für $1 \le p \le ∞$ ist $(\ell^p,\norm\cdot_p)$ ein Banachraum.
    Für $0 < p < ∞$ ist $(\ell^p,|\cdot|_p)$ ein Fréchet-Raum.
\end{satz}
\begin{proof}
    Nur für $1 \le p < ∞$.
    Sei dazu $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ \ell^p$  eine Cauchy-Folge, also
    $x_n = (ξ_k^n)_{k ∈ ℕ}$ und für jedes $ε > 0$ gibt es ein $n_0$ mit
    \[
        ∀n,m > n_0: \norm{x_n-xm}_p = \left( \sum_{k=1}^∞ |ξ_k^n-ξ_k^m|^p \right)^{1/p} < ε.
    \]
    Sei $k_0 ∈ ℕ$ beliebig. Dann ist $(ξ_k^n)_{n ∈ ℕ}$
    eine Cauchy-Folge in $\K$, besitzt also einen Grenzwert $ξ_{k_0}$.
    Setze nun $x := (ξ_k)_{k ∈ ℕ} ∈ \K^∞ = s$. Wir vermuten $x$ als Grenzwert unserer Cauchy-Folge.
    Also müssen wir zeigen, dass $x ∈ \ell^p$, und dass unsere Folge tatsächlich gegen $x$ konvergiert.

    Es gilt
    \[
        \norm{x_n}_! \le \underbrace{\norm{x_n-x_{n_0}}}_{< ε} + \norm{x_{n_0}} \quad \forall n \ge n_0
    \]
    Deshalb existiert ein $M > 0$ mit $\norm{x_n}_p < M$ für alle $n ∈ ℕ$, also
    \[
        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n|p < \sum_{k =1}^∞ |ξ_k^n|^p \le M^p < ∞.
    \]
    Also haben wir
    \[
        \sum_{k=1}^N |ξ_k^p| \le M^p \quad ∀ n ∈ ℕ,
    \]
    also durch Grenzwertbildung $N → ∞$ auch $\norm{x}_p^p ≤ M^p$ bzw. $x ∈ \ell^p$.


    Ferner haben wir
    \[
        \sum_{k=1}^N |ξ_k^n-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀ N ∈ ℕ, n, m ≥ n_0(ε).
    \]
    Für $n → ∞$ folgt
    \[
        \sum_{k=1}^N |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀N ∈ ℕ, m ≥ n_0, 
    \]
    und mit $N → ∞$
    \[
        \sum_{k=1}^∞ |ξ_k-ξ_k^m|^p < ε^p \quad ∀m ≥ n_0, 
    \]
    also die Konvergenz.
\end{proof}


\end{document}
%%% Local Variables:
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%%% TeX-master: "funkana"
%%% End: