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diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex
index 172c42d..7c06c08 100644
--- a/funkana.tex
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@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[twoside=semi,chapterprefix=true,headings=big]{skript}
+\documentclass[twoside=false,chapterprefix=true,headings=big]{skript}
 \title{Funktionalanalysis}
 \subtitle{Mitschrift zur Vorlesung}
 \author{Prof. Dr. Maier-Paape}
@@ -14,7 +14,7 @@
 \def\U{\mathcal{U}}
 \def\eps{\varepsilon}
 \def\iff{\Leftrightarrow}
-\def\gdw{\Longleftrightarrow}
+\def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;}
 \newcommand\cl[1]{\overline{#1}}
 \newcommand\Pot[1]{\mathcal{P}(#1)}
 \DeclareMathOperator{\End}{End}
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index 5374f51..3821f06 100644
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+++ b/inhalt.tex
@@ -1273,7 +1273,200 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte
     \]
     also die Konvergenz.
 \end{proof}
+\begin{beispiel-nn}
+    Betrachte den Folgenraum $S = \K^∞ = \{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$.
+    Dann ist 
+    \[
+        p_n(x) := |ξ_n|, \quad p_n: \K^∞ → ℝ
+    \]
+    eine abzählbare Familie von Halbnormen mit
+    \[
+        p_n(x) = 0 ∀n ∈ ℕ \implies x = 0 ∈ \K^∞
+    \]
+    Nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume} folgt, dass $(\K^∞, d)$ mit
+    \[
+        d(x,y) := \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}
+    \]
+    ein metrischer linearer Raum ist.
+    Der Konvergenzbegriff entspricht gerade der komponentenweisen Konvergenz, das heißt, für eine Folge $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ mit $x_k = (ξ^k_n)_{n ∈ ℕ}$ gilt
+    \[
+        x_k \xrightarrow[k→∞]{} 0 \; \Longleftrightarrow \; d(x_n,0) \xrightarrow[k→∞]{} 0 \; \Longleftrightarrow \; p_n(x_k) \xrightarrow[k→∞]{} ∀ n ∈ ℕ \; \Longleftrightarrow \; |ξ_n^k| \xrightarrow[k→∞] 0 ∀ n ∈ ℕ.
+    \]
+
+    Wir fragen uns nun, ob auf dem $\K^∞$  auch eine Topologie existiert, so dass der induzierte Konvergenzbegriff der der gleichmäßigen Konvergenz in allen Komponenten entspricht?
+    Also
+    \[
+        x_k \xrightarrow[k → ∞]{\text{glm}} 0 ∈ \K^∞ \gdw ∀ε > 0 ∃ k_0 ∈ ℕ: |ξ_n^k| < ε ∀ k \ge k_0 ∀n ∈ ℕ.
+    \]
+    Wenn $\K^∞$ ein topologischer linearer Raum sein soll, ist das nicht möglich. Notwendig wäre, dass für eine Folge $x  ∈ \K^∞$
+    \[
+        α_k \xrightarrow[k → ∞]{} 0 \text{ in } \K \implies α_k x \xrightarrow[k→∞]{} \text{ in } X = \K^∞.
+    \]
+    Wähle dazu die Nullfolge $(α_k)_{k ∈ ℕ} = (1/k)_{k ∈ ℕ} ⊂ ℝ$, $x= (n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$. Dann ist
+    \[
+        α_k x = (n/k)_{n ∈ ℕ} ∈ \K^∞
+    \]
+    zwar eine Nullfolge in $\K^∝$ ist, diese Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig in $n$.
+    Man kann zeigen, dass $\K^∞$ mit $d$ vollständig, also ein Fréchet-Raum, ist.
+    Ist $\K^∞$ auch normierbar?
+    Also gibt es auf $\K^∞$ eine Norm, welche die gleiche Topologie erzeugt wie die $d$?
+    Auch  das ist nicht möglich:
+\end{beispiel-nn}
+\begin{lemma}
+    \label{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme}
+    In $(\K^∞,d)$ gilt:
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        $B_1(0) = \K^∞$
+    \item
+        Betrachte den linearen Unterraum $M_{n_0} := \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}$ mit $ξ_n = 0$ für $n = 1,…,n_0 \}$.
+        Dann gibt es für jeden Radius $r > 0$  ein $n_0 ∈ ℕ$, so dass $M_{n_0} ⊂ B_{r}(0)$.
+        Das heißt, jede noch so kleine Metrikkugel enthält einen nichttrivialen Unterraum.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Das ist trivial.
+    \item
+        Sei $r > 0$ gegeben.
+        Wähle nun $n_0$, so dass $\sum_{n=n_0+1}^∞ 2^{-n} < r$.
+        Dann gilt
+        \[
+            ∀ x ∈ M_{n_0}: d(x,0) =
+            \sum_{n ∈ ℕ} 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} =
+            \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} \frac{p_n(x)}{1+p_n(x)} \le
+            \sum_{n=n_0}^∞ 2^{-n} < r.
+        \]
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+Wäre nun die Topologie auf $(\K^∞,d)$ nun auch von einer Norm erzeugt, dann wären die Normkugeln
+\[
+    B_r^{\norm\cdot}(0) = \{ x ∈ \K^∞: \norm x < \tilde r \}
+\]
+auch eine Umgebungsbasis der Null.
+Das heißt insbesondere würden wir zu jedem $\tilde r$ ein $r$ finden, so dass $0 ∈ B_r^d(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot} (0)$.
+Mit \cref{lemma-s-metrikkugeln-enthalten-unterraeme} folgt also
+\[
+    M_{n_0} ⊂ B_r(0) ⊂ B_r^{\norm\cdot}(0)
+\]
+für ein geeignetes $n_0$.
+Sei nun ein $0  \ne x ∈ M_{n_0}$. Dann ist, da $M_{n_0}$ ein Unterraum ist, auch $αx ∈ M_{n_0}$ für alle $α ∈ \K$.
+Das heißt,
+\[
+    |α| \cdot \norm x = \norm{αx} < \tilde r \text{ für alle } α ∈ \K,
+\]
+was bereits $α = 0$ impliziert. Das ist ein Widerspruch.
+
+
+\begin{beispiel-nn}[Räume beschränkter Funktionen]
+    Sei $S$  eine beliebige Menge und $B(S) := \{ f: S → \K, f(s)$ ist beschränkt $\}$.
+    Dann wird $B(S)$ mit
+    \[
+        \norm f _{B(S)} := \sup_{x ∈ S} |f(x)| < ∞,
+    \]
+    der $\sup$-Norm, zu einem Banachraum.
+    Dabei ist offensichtlich, dass $\norm\cdot_{B(S)}$ tatsächlich eine Norm ist, und wir werden in einer Übung zeigen, dass die induzierte Metrik tatsächlich vollständig ist.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{lemma-nn}
+    \label{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen}
+    Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $Y ⊂ X$. Es gilt
+    \begin{enumerate}
+    \item
+        Wenn $(X,d)$ vollständig ist und $Y$ abgeschlossen, dann ist auch $(Y,d|_{Y×Y}$ vollständig.
+    \item
+        Wenn $(Y,d|_{Y×Y}$ vollständig ist, so ist $Y$ abgeschlossen in $(X,d)$.
+    \end{enumerate}
+\end{lemma-nn}
+\begin{proof}
+    Übungsaufgabe.
+\end{proof}
+
+
+\begin{beispiel-nn}[Räume stetiger Funktionen]
+    Sei $K ⊂ ℝ^n$ kompakt, also nach Heine-Borel abgeschlossen und beschränkt.
+    Dann ist
+    \[
+        C(k) = \{ f: K → \K, f \text{ stetig} \}
+    \]
+    ein normierter Raum mit
+    \[
+        \norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{∞} = \max_{t ∈ K} |f(t)|,
+    \]
+    der Maximumsnorm.
+    Dieses Maximum wird tatsächlich immer angenommen, da $K$ kompakt ist (Satz von Minimum und Maximum).
+    Insbesondere sind alle stetigen Funktionen auf  $K$ beschränkt. Damit gilt offensichtlich $C(K) ⊂ B(K)$ und $\norm{f}_{C(K)} = \norm{f}_{B(K)}$ für alle $f ∈ C(K)$.
+    Da jede stetige Funktion auf kompakten Teilmengen von metrischen Räumen auch gleichmäßig stetig ist, das heißt
+    \[
+        ∀ ε > 0 ∃ δ > 0: \left( |t_1-t_2| < δ \implies |f(t_1)-f(t_2)| < ε \right) ∀ t_1,t_2 ∈ K
+    \]
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{lemma}
+    $C(K)$ ist ein abgeschlossener Unterraum von $(B(K), \norm\cdot_{B(K)})$ und somit insbesondere auch (mit \cref{lemma-vollst-ubertragt-abgeschl-teilmengen}) vollständig.
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    Sei $(f_i)_{i ∈ ℕ}$ eine konvergente (in $(B(K),\norm\cdot_{B(K)})$) Folge in $C(K)$.
+    Dann existiert ein $f ∈ B(K)$ mit $f_i \xrightarrow[i → ∞]{\norm{\cdot}_{B(K)}} f$.
+    Wir müssen zeigen, dass $f$ bereits stetig ist.
+    Für beliebige $t₁, t_2 ∈ K$ gilt
+    \[
+        |f(t_1)-f(t_2) | \le \underbrace{|f_i(t_1)-f_i(t_2)|}_{< ε/3 \text{ für } |t_1-t_2| < δ^{(i)}(ε)} + 2 \underbrace{\norm{f_i - f}_{B(K)}}_{< ε/3 \text{ für } i > i_0}  < ε.
+    \]
+    Damit ist $f$ auch gleichmäßig stetig, also insbesondere auch stetig und in $C(K)$.
+\end{proof}
+Das heißt, die Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(K)$ überträgt sich auf die Grenzfunktion und Konvergenz in $(C(K),\norm\cdot_{∞})$ ist „gleichmäßig auf $K$“.
+Wegen  dieser Eigenschaft ist die Maximumsnorm $\norm\cdot_∞$ auch die natürliche Norm auf $C(K)$.
+Andere mögliche Normen (und damit andere Topologien) auf $C(K)$ wären z.B.
+\[
+    \norm{f}_p = \left(  \int_K |f(t)|^p dt \right)^{1/p}, \quad 1 \le p < ∞.
+\]
+Allerdings ist die Konvergenz in dieser Topologie impliziert keine Stetigkeit für die Grenzfunktion.
+
+
+\begin{beispiel-nn}
+    Sei $\Omega ⊂ ℝ^n$ offen und analog
+    \[
+        C(\Omega) := \{ f: \Omega → \K, f \text { stetig }\}.
+    \]
+    Hier können Funktionen aber auch unbeschränkt sein. Also braucht $\sup |f|$ nicht mehr zu existieren.
+\end{beispiel-nn}
+
+\begin{definition}
+    Es sei $(K_m)_{m ∈ ℕ}$ eine \emph{Ausschöpfung} von $\Omega$ mit kompakten Mengen $K_= ⊂ \Omega$, das heißt, es gelte
+    \[
+        \begin{cases}
+            \Omega = \bigcup_{m ∈ ℕ} K_m, \quad K_m ⊂ K_{m+1}, \\
+            K ⊂ \Omega \text { kompakt } \implies K ⊂ K_m \text { f ür ein } m ∈ ℕ
+        \end{cases}
+    \]
+\end{definition}
+Man nehme z.B.
+\[
+    K_m = \{ x ∈ \Omega ⊂ ℝ^n: \norm{x} \le m, \operatorname{dist}(x,∂\Omega) \ge 1/m\},
+\]
+wobei $\operatorname{dist}(x,∂\Omega) := \inf\{ \norm{x-y}: y ∈ ∂\Omega\}$ und $∂M = \cl \Omega \setminus \Omega$.
+
+Dann ist $C(\Omega)$ mit der Metrik
+\[
+    d(f,0) = \sum_{m ∈ ℕ} 2^{-m} \frac{\norm{f}_{C(K_m)}}{1+\norm{f}_{C(K_m)}}
+\]
+ein Fréchetraum, also ein metrisierbarer linearer Raum nach \cref{satz-abzaehlbares-prod-seminormierter-raeume}, da
+\[
+    \norm{f}_{C(K_m)} = 0 ∀ m ∈ ℕ \implies f = 0 ∈ C(\Omega).
+\]
+
+Es gilt in diesem Raum
+\[
+    d(f_i,f) \xrightarrow[i → ∞]{} 0 \gdw
+    \norm{f_i-f}_{C(K_m)} \xrightarrow[i → ∞]{} ∀m  ∈ ℕ,
+\]
+was ja gerade gleichmäßige Konvergenz auf jeder Kompakten Menge $K ⊂ \Omega$ bedeutet.
+Damit ist Stetigkeit der Folgenglieder $(f_i)_{i ∈ ℕ} ⊂ C(\Omega)$ impliziert Stetigkeit der Grenzfunktion $f ∈ C(\Omega)$, da Stetigkeit nur eine lokale Eigenschaft ist.
 
+Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega)}$ nicht normierbar ist.
 
 \end{document}
 %%% Local Variables:
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