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-rw-r--r--ch04-unitaere-raeume.tex6
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diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex
index 123583f..f06fbba 100644
--- a/ch02-topologie.tex
+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -261,6 +261,7 @@ existiert.
werden identisch, denn alle Normen auf dem $ℝ^n$ sind uniform äquivalent.
\end{beispiel-nn}
\begin{definition}[Produkttopologie]
+ \label{defi:produkttopologie-1.12}
\index{Topologie!Produkt-}
Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume.
Dann ist die Familie von Mengen
@@ -294,6 +295,8 @@ existiert.
\section{Metrische Räume}
\index{Raum!metrischer}
\label{sec:metrische-raume}
+Metrische Räume sind Räume, die über einen Abstandsbegriff verfügern, der die intuitiv naheliegenden Eigenschaften eines Abstands verfügen.
+Wir werden sehen, dass metrische Räume auch topologische Räume sind, die viele schöne topologische Eigenschaften besitzen.
\begin{definition}[Pseudometrik, Metrik]
\index{Metrik}
\index{Pseudometrik}
@@ -502,11 +505,17 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
\end{proof}
\section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire}
\label{sec:vollst-metr-raum}
+Bereits in der Analysis haben wir uns mit Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen beschäftigt.
+Dabei hieß eine reelle Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy"=Folge, wenn für jedes $ε > 0$ ein $N ∈ ℕ$ exisiert, so dass $|x_n -x_m| < ε$ ist.
+Wir haben uns damals davon überzeugt, dass diese Eigenschaft tatsächlich äquivalent ist zur Konvergenz der Folge -- Der Körper der reellen Zahlen ist vollständig.
+Die Eigenschaft der Cauchy"=Folge lässt sich leicht auf allgemeinere Metrische Räume verallgemeinern.
\begin{definition}[Cauchy-Folge]
\index{Folge!Cauchy-}
\label{defi-cauchy-folge-2.3.1}
Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$.
\end{definition}
+Die Äquivalenz von Cauchy und Konvergenz bleibt dabei im Allgemeinen nicht erhalten.
+Es gilt jedoch immer die eine Implikation:
\begin{lemma}
\label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2}
Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge.
@@ -605,7 +614,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen.
\]
Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$.
\end{proof}
-\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie]
+\begin{definition}[mager, Menge von erster/zweiter Kategorie]
\label{defi:mager-2.3.6}
\index{mager}
\index{Menge!mager}
diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
index 306f07f..5a471f4 100644
--- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
+++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
@@ -17,9 +17,10 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
\label{defi:norm-3.1.1}
\index{Norm}
\index{Raum!normierter}
- Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
+ Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$.
+ Eine Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$
heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha ∈ K$ gilt:
- \begin{enumerate}
+ \begin{wenumerate}[label=(N\arabic*)]
\item
\index{Definitheit}
$\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit)
@@ -28,8 +29,8 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri
$\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$ (Homogenität)
\item
\index{Dreiecksungleichung}
- $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ (Dreiecksungleichung)
- \end{enumerate}
+ $\snorm{x+y} \le \norm x + \snorm y$ (Dreiecksungleichung)
+ \end{wenumerate}
$(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}.
\end{definition}
@@ -372,14 +373,15 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
\begin{tikzpicture}[yscale=-0.2, xscale=0.20000]
\footnotesize
\begin{scope}[align=center,very thick,shift={(0,-87.0)}]
- \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[cm={{1.0,0.0,0.04521,0.99898,(0.0,0.0)}},draw=c800080,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.7058,52.2710) rectangle (47.5445,58.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope}
- \end{tikzpicture}
+ \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[draw=c800080,miter limit=4.00,rounded corners=0.50cm] (32,52.2710) rectangle (50.0,57.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope}
+b \end{tikzpicture}
\caption{topologische und lineare Strukturen}
\end{figure}
\begin{bemerkung-nn}
Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt.
\end{bemerkung-nn}
+
\begin{definition}[Semi-Norm]
\index{Semi-Norm}
\index{Raum!semi-normierter}
@@ -1203,12 +1205,25 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
Dann besitzt die Null eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen.
\end{lemma}
\begin{proof}
- Übung.
+ Wir zeigen, dass jede Umgebung $U$ der Null eine kreisförmige Umgebung enthält.
+ Sei dazu $U ∈ \U_0$.
+ Da $X$ nach Voraussetzung ein topologischer linearer Raum ist, ist die Skalarmultiplikation $s: \K × X → X$ stetig.
+ Das heißt, $s^{-1}(U)$ ist eine Umgebung von $(0,0)$ in der Produkttopologie.
+ Nach \cref{defi:produkttopologie-1.12} gibt es also eine Umgebung $D$ von $0 ∈ \K$ und eine Umgebung $V$ von $0 ∈ X$ mit $D \cdot V ⊂ U$.
+ Insbesondere enthält $D$ einen Ball $B_{δ}(0)$ für ein $δ > 0$.
+ Definiere nun
+ \[
+ W \coloneq \bigcup_{|α| < δ} αV.
+ \]
+ Dann ist $W ⊂ U$ und $W$ ist kreisförmig.
\end{proof}
\begin{warnung-nn}
- Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind).
- Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$.
+ Im Allgemeinen müssen Metrikkugeln nicht kreisförmig sein, obwohl die uns wohlbekannten Kugeln im $ℝ^n$ mit der von der euklidischen Norm induzierten Metrik dies sind.
+ Ein Gegenbeispiel dafür ist etwa $X = ℝ$ mit der Metrik $d$ definiert durch
+ \[
+ d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s) \dd s \right|.
+ \]
\end{warnung-nn}
\begin{lemma}
@@ -1229,6 +1244,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
\end{proof}
\begin{satz}
+ \label{satz:top-lin-t2-raum-kompakt-abgeschl-und-beschr-3.5.11}
Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt.
Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt.
\end{satz}
@@ -1239,7 +1255,8 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
\end{bemerkung-nn}
Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
-\begin{definition-nn}
+\begin{definition-nn}[Heine"=Borel"=Eigenschaft]
+ \index{Heine"=Borel"=Eigenschaft}
Sei $(X,)$
Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}.
\end{definition-nn}
@@ -1259,7 +1276,12 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
also folgt die Behauptung mit $\alpha = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$.
\end{proof}
-\begin{definition}
+\begin{definition}[relativ kompakt, präkompakt]
+ \label{defi:relativ-kompakt-präkompakt}
+ \index{kompakt!relativ}
+ \index{kompakt!prä-}
+ \index{kompakt}
+ \index{präkompakt}
\begin{enumerate}
\item
In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist.
@@ -1269,6 +1291,12 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
\end{definition}
\begin{satz}
+ \label{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13}
+ \index{kompakt}
+ \index{kompakt!folgen-}
+ \index{folgenkompakt}
+ \index{kompakt!prä-}
+ \index{präkompakt}
Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\emptyset \ne A ⊂ X$. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}
\item
@@ -1291,12 +1319,34 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
\end{proof}
\begin{korollar}
+ \label{kor:vollst-metr-praekomp-gdw-rel-kompakt-3.5.14}
Ist $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $A ⊂ X$, dann ist $A$ genau dann präkompakt, wenn $A$ relativ kompakt ist.
\end{korollar}
+\begin{proof}
+ „⇐“:
+ Sei zunächst $A$ relativ kompakt in $X$.
+ Dann ist definitionsgemäß $\cl A$ abgeschlossen, also nach~\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} auch präkompakt.
+ Da jede Teilmenge einer präkompakten Menge ebenfalls präkompakt ist, ist somit insbesondere auch $A$ präkompakt.
+ „⇒“:
+ Für die andere Implikation sei nun $A$ präkompakt.
+ Wir zeigen zunächst, dass $A$ präkompakt ist.
+ Sei dazu $ε > 0$ beliebig.
+ Da $A$ präkompakt ist, gibt es endlich viele $x_1,…,x_n ∈ X$ mit $A ⊂ \bigcup_{i=1}^n B_{ε/2}(x_i)$.
+ Dann ist aber auch
+ \[
+ \cl A ⊂ \bigcup_{i=1}^n \cl B_{ε/2}(x_i) ⊂ \bigcup_{i=1}^n B_{ε}(x_i),
+ \]
+ womit $\cl A$ präkompakt ist.
+
+ Da $\cl A$ als abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen Raumes ebenfalls vollständig ist, ist nach~\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} $\cl A$ kompakt, was definitionsgemäß schon bedeutet, dass $A$ relativ kompakt ist.
+\end{proof}
\begin{satz}[Ascoli-Arzela]
- Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $C(S,ℝ^m)$ mit der Norm
+ \label{satz:ascoli-arzela-3.5.15}
+ \index{Satz!von Ascoli-Arzela}
+ \index{Ascoli-Arzela}
+ Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $X = C(S,ℝ^m)$ mit der Norm
\[
\norm{f}_∞ \coloneq \max_{x ∈ S} |f(x)|_{ℝ^m}
\]
@@ -1304,14 +1354,66 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
\begin{enumerate}
\item $A$ ist präkompakt.
\item
- $A$ ist beschränkt und gleichgradig stetig, das heißt,
+ $A$ ist beschränkt (also es gibt ein $M > 0$ mit $\sup_{f ∈ A} \snorm{f}_{∞} < M$) und gleichgradig stetig, das heißt,
+ \index{stetig!gleichgradig}
\[
\sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \yrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0.
\]
\end{enumerate}
\end{satz}
+\begin{proof}
+ „$(a) ⇒ (b)$“:
+ Sei zunächst $A$ präkompakt.
+ Wir zeigen zunächst die Beschränktheit:
+ Dann ist nach~\cref{kor:vollst-metr-praekomp-gdw-rel-kompakt-3.5.14}, da $C(S;ℝ^m)$ vollständig ist, $\cl A$ kompakt.
+ Mit~\cref{satz:top-lin-t2-raum-kompakt-abgeschl-und-beschr-3.5.11} folgt, dass $\cl A$, also auch die Teilmenge $A$, beschränkt ist.
+
+ Jetzt zu der gleichgradigen Stetigkeit.
+ Sei $ε > 0$ beliebig.
+ Da $A$ präkompakt ist, gibt es $f_1,…f_n ∈ X$ mit $A ⊂ B_ε(f_1) ∪ \dots ∪ B_ε(f_n)$.
+ Da alle (endlich vielen) $f_i$ als stetige Funktionen auf der kompakten Menge $S$ gleichmäßigstetig sind, gibt es ein $δ > 0$, so dass
+ \[
+ |f_i(x)-f_i(y)| < ε
+ \]
+ für alle $1 ≤ i ≤ n$ und $x, y ∈ S$ mit $|x-y| < δ$.
+ Sei nun $f ∈ A$ beliebig. Dann ist $f$ in einem der $B_{ε}(f_i)$, etwa $B_{ε}(f_j)$ für ein $1 ≤ j ≤ n$.
+ Dann gilt für alle $x, y ∈ S$ mit $|x-y| < δ$
+ \[
+ |f(x)-f(y)| ≤ 2ε + |f_j(x) - f_j(y)| ≤ 2ε + \max_{1 ≤ i ≤ n} |f_i(x) - f_i(y)| ≤ 2ε + ε = 3ε.
+ \]
+ Da $ε > 0$ beliebig war, ist somit $A$ gleichgradig stetig.
+
+ „$(b)⇒(a)$“: Sei nun $A$ beschränkt (durch $M$) und gleichgradig stetig.
+ Wir wollen zeigen, dass $A$ dann auch präkompakt ist.
+ Wir müssen dazu eine endliche Überdeckung von $A$ durch beliebig kleine Kugeln finden.
+ % Da $A$ gleichgradig stetig ist, gibt es für jedes $x ∈ S$ ein $δ_x > 0$ so dass für jedes $y ∈ B_δ(x) ∩ S$ und jedes $f ∈ A$ auch $|f(x)-f(y)| < ε$ ist.
+ % Dann ist $\{ B_{δ_x}(x): x ∈ S \}$ eine offene Überdeckung von $S$, also gibt es, da $S$ nach Voraussetzung kompakt ist, $x_1,…,x_n ∈ S$ mit Umgebungen $V_i \coloneq B_{δ_{x_i}}(x_i)$, so dass $X = V_1 ∪ \cdots ∪ V_n$.
+ Sei dazu $ε > 0$ beliebig.
+ Da $S$ und $\cl{B_M}(0)$ kompakte sind, gibt es endlich viele $ξ_1,…,ξ_k ∈ R^m$ und endlich viele $x_1,…,x_l ∈ ℝ^n$ mit $\cl{B_m}(0) ⊂ \bigcup_{i=1}^k B_ε(ξ_i)$ und $S ⊂ \bigcup_{j=1}^l B_ε(x_j)$.
+ Sei nun für eine Abbildung $π: \{1,…,l\} → \{1,…,k\}$
+ \[
+ A_π \coloneq \{ f ∈ A: |f(x_j) - ξ_{π(j)}| < ε \text{ für alle } j ∈ \{1,…,l\}\}.
+ \]
+ Da die $B_ε(ξ_i)$ eine Überdeckung von $\cl{B_m}(0)$ bilden und wegen der Beschränktheit von $A$ durch $M$ gibt es für jedes $f ∈ A$ eine Abbildung $π$, so dass $f ∈ A_\pi$ ist, also $A = \bigcup_{π ∈ \Map([l], [k])} A_π$.
+
+ Für jedes $\pi ∈ \Map([l],[k])$, für das $A_{π} \ne \emptyset$ wählen wir ein $f_π ∈ A_π$ beliebig.
+ Sei nun $f ∈ A$. Dann gibt es ein $π$, so dass $f ∈ A_π$.
+ Sei $x ∈ S$ beliebig. Dann ist $x ∈ B_ε(x_j)$ für ein $1 ≤ j ≤ l$, also
+ \begin{align*}
+ |f(x) -f_π(x)| &≤ |f(x) -f(x_j)| + |f_π(x) - f_π(x_j)| + |f(x_j) - ξ_{π(j)}| + |f_π(x_j) - ξ_{π(j)}| \\
+ &< 2 \sup_{|y-z|≤ε} \sup_{f ∈ A} |f(y)-f(z)| + 2 ε \eqcolon ε.
+ \end{align*}
+ Damit ist $\norm{f-f_π}_{∞} ≤ r_ε$.
+ Also gilt
+ \[
+ A ⊂ \bigcup_{π: A_π \ne \emptyset} B_{2r_ε}(f_π).
+ \]
+ Da $A$ gleichgradig stetig ist, konvergiert $r_ε → 0$ für $ε → 0$, was bedeutet, dass für hinreichend kleine Werte von $ε$ endliche Überdeckungen von $A$ durch beliebig kleine Bälle existieren, also die Präkompaktheit von $A$.
+\end{proof}
\begin{satz}[Fréchet, Kolmogorov]
+ \index{Satz!von Fréchet und Kolmogorov}
+ \label{satz:frechet-kolmogorov-3.5.16}
Sei $1 ≤ p < ∞$. Dann ist $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ genau dann präkompakt, wenn
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item
@@ -1327,18 +1429,79 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
\]
\end{enumerate}
\end{satz}
-
\begin{bemerkung-nn}
Der Satz gilt auch für Teilmengen $Ω$ von $ℝ^n$ mit den offensichtlichen Anpassungen. Ist $Ω$ beschränkt, so wird (iii) überflüssig.
\end{bemerkung-nn}
+\begin{proof}
+ Wir zeigen hier nur die einfachere Implikation.
+ „⇒“: Sei $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ präkompakt und $ε > 0$
+ Dann gibt es nach~\cref{defi:relativ-kompakt-präkompakt} endlich viele $f_1,…,f_l ∈ L^p(ℝ^n)$ mit $A ⊂ \bigcup_{i=1}^l B_ε(f_i)$.
+ Jedes $f ∈ A$ ist dann in einem der $B_ε(f_i)$.
+ Folglich ist
+ \[
+ \norm{f}_{L^p(ℝ^n)} ≤ ε + \norm{f_i}_{L^p(ℝ^n)} ≤ ε + \max_{1≤i≤l} \norm{ff_i} < ∞,
+ \]
+ also $A$ beschränkt.
+ Weiter hat man
+ \[
+ \norm{f(\cdot + h)-f}_{L^p(ℝ^n)} ≤ 2ε + \max_{1≤i≤l} \norm{f_i(\cdot+h)-f_i}_{L^p(ℝ^n)}
+ \]
+ sowie
+ \[
+ \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} ≤ ε + \max_{1≤i≤l} \norm{f_i}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))},
+ \]
+ wobei jeweils die letzen Summanden klein werten, wenn $h$ bzw $R$ groß werden, was (ii) und (iii) zeigt.
+
+ „⇐“: Zum Beispiel in~\cite[Satz 2.16]{alt2002lineare}.
+\end{proof}
+
+\subsection{Hölder-Räume}
+\label{sec:holder-raume}
+Wir betrachten nun weitere Funktionenräume, die zwischen dem Raum der differenzierbaren und dem der stetigen Funktionen liegen:
+\begin{definition}[Hölder-Räume]
+ \label{defi:hölder-raum-3.5.17}
+ \index{Raum!Hölder-}
+ \index{stetig!gleichmäßig $α$-Hölder}
+ Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $0 < α ≤ 1$, $f: S → \K$ eine Abbildnug.
+ \begin{itemize}
+ \item $f$ heißt \emph{gleichmäßig $α$-Hölder stetig} auf $S$, falls $f$ stetig ist und
+ \[
+ \sup_{t_1 \ne t_2} \frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^α} < ∞.
+ \]
+ \item
+ Wir definieren die \emph{Hölder-Räume}
+ \[
+ C^{0,α}(S) \coloneq \{ f: S → \K, f \text{ gleichmäßig $α$-Hölder stetig auf } S\}.
+ \]
+ \end{itemize}
+\end{definition}
+
+Man beachte, dass die Definition für $α = 1$ gerade mit der Definition der Lipschitz"=stetigkeit zusammenfällt.
+Es gilt die Inklusionskette
+\[
+ C^1(S) ⊂ C^{0,β}(S) ⊂ C^{0,α}(S) ⊂ C^0(S) = C(S)
+\]
+für $1 ≥ β ≥ α > 0$. Mit der Norm $\norm-_{α}$ definiert durch
+\[
+ \norm f _α = \norm{f}_{C(S)} + \sup_{t_1 \ne t_2} \frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^α} < ∞.
+\]
+wird $C^{0,α}(S)$ zu einem vollständigen, normiertem Raum.
+Es ist nur ein hinreichendes Kompaktheitskriterium bekannt:
+\begin{satz}
+ \label{satz-hoelder-raum-kompaktheit-krit-3.5.18}
+ Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $A ⊂ C^{0,α}(S)$. Ist auch $A ⊂ C^{0,β}(S)$ für ein $β>α$ und $A$ als Teilmenge von $C^{0,β}(S)$ beschränkt, so ist $A$ als Teilmenge von $C^{0,α}(S)$ präkompakt.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+ Zum Beispiel in\cite[Übung 2.7]{alt2002lineare}.
+\end{proof}
\section{Stetige lineare Operatoren}
Seien $X, Y$ topologische lineare Räume und $T: X → Y$ linear.
Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
\begin{beispiel}
- Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
+ Wir betrachten erneut den Raum aller Folgen. Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor.
Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach~\cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst.
Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$.
Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$.
@@ -1370,7 +1533,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
Es gibt eine Konstante $C ≥ 0$ mit $\norm{Tx} ≤ C \norm{x}$ für alle $x ∈ X$.
\end{enumerate}
\end{satz}
-Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
+Hier gilt $M = \inf \{ C \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
\begin{proof}
$(1) \iff (2)$ schon gezeigt.
@@ -1392,7 +1555,7 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$.
$(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt
\[
- \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \yrightarrow[x → x_1]{} 0.
+ \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm {x-x_1} \yrightarrow[x → x_1]{} 0.
\]
Damit ist $T$ stetig in $x_1$.
\end{proof}
@@ -1573,7 +1736,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
\begin{korollar}
Sei $X$ ein linearer Raum der Dimension $n ∈ ℕ$, $\norm-_a$ und $\norm-_b$ zwei Normen auf $X$.
- Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-b$ äquivalent.
+ Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-_b$ äquivalent.
\end{korollar}
\begin{satz}
diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex
index f2d6360..e3823c8 100644
--- a/ch04-unitaere-raeume.tex
+++ b/ch04-unitaere-raeume.tex
@@ -1,6 +1,10 @@
\chapter{Unitäre Räume und Hilberträume}
+\label{cha:unitare-raume-und}
\section{Grundbegriffe}
-Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$.
+\label{sec:grundbegriffe}
+Auch in diesem Kapitel bezeichen wir mit $\K$ wieder grundsätzlich einen der beiden Körpern $\R$ und $\K = ℂ$.
+Wir werden uns hier mit einer noch spezielleren Klasse von Räumen befassen, die
+noch mehr Struktur als die normierten Räume haben, nämlich ein Skalarprodukt:
\begin{definition}
Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$.
diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex
index cbf88ff..d9a41b9 100644
--- a/ch06-schwache-topologien.tex
+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -42,7 +42,7 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
Übung.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
- Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$
+ Sei $X$ eine beliebige Menge und $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$. Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$
\begin{itemize}
\item
mehr offene Mengen,
@@ -295,6 +295,116 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+HIER FEHLT EINE VL
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+
+
+\begin{definition}
+ Sei $X$ ein reeller normierter Raum, $M ⊂ X$ eine Teilmenge, $f: M → ℝ$ eine Abbildung.
+ ...
+\end{definition}
+
+
+
+\begin{satz}[Hauptsatz der Variationsrechnung]
+ \index{Hauptsatz der Variationsrechnung}
+ \index{Variationsrechnung!Hauptsatz}
+ \label{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2}
+ Sei $(X,\norm-)$ ein reflexiver Banachraum und $M ⊂ X$ schwach
+ abgeschlossen.
+ Ist $f: M → ℝ$ eine schwach unterhalbstetige und koerzive Abbildung, dann gilt
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $f$ ist nach unten beschränkt.
+ \item
+ $f$ nimmt das Infimum in $M$ an.
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+% Ist $(X,\norm -)$ separabel, dann ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X'}(0)$ schwach*-folgenkompakt,
+% ist $(X,\norm -)$ reflexiv, so ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X}(0) ⊂ X$ schwach folgenkompakt.
+% Das heißt, jede beschränkte Folge besitzt also eine schwach($*$)-konvergente Teilfolge.
+
+\begin{proof}
+ Sei $f: M → ℝ$, $f$ schwach unterhalbstetig, das heißt aus $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} \hat x$ folgt bereits $f(\hat x) \le \liminf_{k → ∞} f(x_k)$.
+ Sei $α_0 \coloneq \inf_{x ∈ M} f(x) ≥ - ∞$ und $(x_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ M$ eine Folge, für die $f(x_k) \nlk α_0$ gilt.
+ Da $f$ koerziv ist, ist $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ (stark) beschränkt.
+ Eberlein-Shimulyan liefert, da $X$ reflexiv ist, eine schwach konvergente Teilfolge $(x_{k_j})_{j ∈ ℕ}$ von $(x_;)_{k ∈ ℕ}$, also $x_{k_j} \slj \hat x ∈ X$.
+ Es gilt sogar $\hat x ∈ M$, da $M$ nach Voraussetzung schwach folgenabgeschlossen ist.
+ Weil $f$ schwach unterhalbstetig ist, folgt $f(\hat x) ≤ \liminf_{k → ∞} f(x_k) = α_0$.
+ Insbesondere ist $α_0 > -∞$ und $f(\hat x) = \inf_{x ∈ M} f(x)$.
+\end{proof}
+
+Im Vergleich zu den motivierenden Sätzen, die wir im endlich"=dimensionalen kennen, haben wir hier andere Voraussetzungen. % TODO anderer vergleich?
+Hier ist $f$ schwach unterhalbstetig, was eine stärkere Forderung ist als unterhalbstetig.
+Außerdem haben beschränkte Folgen schwach konvergente Teilfolgen, also schwache Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen, was eine schwächere Eigenschaft ist als die Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen im $ℝ^n$.
+
+
+\begin{beispiel}[Anwendung auf Variationsprobleme]
+ \index{Variationsprobleme}
+ \index{Variationsrechnung}
+ Sei $X$ ein Funktionenraum über $(a,b) ⊂ ℝ$, $f: X → ℝ$, $x ↦ ∫_a^b F(x,\dot x) \dd t$.
+ Wir suchen $x_0 = x_0(t), t∈ (a,b)$ mit $f(x_0) = \min_{x ∈ M} f(x)$ und $x_0 ∈ M ⊂X$, wobei $M$ die Teilmenge der zulässigen Funktionen bezeichne.
+
+ Konkret ist zum Beispiel
+ \[
+ f(x) := ∫_a^b F(x, \dot x) \dd t
+ = ∫_a ^b \tfrac 12 \big(\dot x(t))^2 + g(x(t))\big) \dd t,
+ \]
+ wobei $g: ℝ → ℝ$ eine zwei mal stetig differenzierbare Abbildung ist mit $g''(x) ≥ γ > 0$, also $g$ konvex. Dann ist $f: X = H^1(a,b) = W^{1,2}(a,b) → ℝ$ schwach unterhalbstetig und koerziv ist.
+ Nach~\cref{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2} gibt es einen Minimierer $x_0 ∈ H^1(a,b)$ von $f$.
+ Ohne Beweis merken wir an, dass dieser Minimierer $x_0$ dann folgendes Randwertproblem löst:
+ Wir suchen eine Funktion $x = x(t)$ mit
+ \[
+ \begin{cases}
+ -\ddot x + g'(x) = 0 \\
+ \dot x(a) = \dot x (b) = 0
+ \end{cases}.
+ \]
+ Man nennt die zweite Bedingung \emph{natürliche Randbedingung}.
+ Weiteres dazu gibt es in den Vorlesungen über Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen.
+
+ Im Wesentlichen folgt die Behauptung aus der Eigenschaft, dass wenn $x_0$ ein Minimierer ist, dann ist $Df(x_0) = 0$, wobei $Df(x_0) ∈ H(a,b)'$ eine geeignet definierte Verallgemeinerung der Ableitung ist.
+\end{beispiel}
+
+\begin{satz}
+ \label{satz:6.3.4}
+ Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum und $f: X → ℝ$ unterhalbstetig und konvex, also
+ $f(λu + (1-λ)v) ≤ λf(u) + (1-λ) f(v)$ für alle $u, v ∈ X, λ ∈ (0,1)$.
+ Dann ist $f$ auch schwach unterhalbstetig.
+\end{satz}
+
+Für den Beweis benötigen wir den Satz von Mazur, den wir in der Übung beweisen werden.
+
+\begin{satz}[Mazur]
+ \label{satz:mazur-6.3.5}
+ Sei $X$ ein normierter Raum, $(u_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $u_k \slk u_0 ∈ X$. Dann existiert eine Folge von \emph{Konvexkombinationen}
+ \[
+ v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \text{mit} \; \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0,
+ \]
+ so dass $v_k \nlk u_0$ in $X$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[{\cref{satz:6.3.4}}]
+ Sei also $u_i \sli \bar u ∈ X$.
+ Wähle $c > \liminf_{i → ∞} f(u_i)$, für eine Teilfolge, die wir wieder mit $(u_i)_{i ∈ ℕ}$ bezeichnen, so dass für alle $i ∈ ℕ$ $f(u_i) < c$.
+ Nach \cref{satz:mazur-6.3.5} existiert Eine Folge $(v_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ von Konvexkombinationen von $u_i$, das heißt
+ \[
+ v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0
+ \]
+ und $v_k \nlk \bar u$ in $X$.
+ Wegen $f$ (stark) unterhalbstetig und der Konvexität von $f$ gilt
+
+ \[
+ f(\bar u) ≤ \liminf_{k →∞} f(v_k) ≤ \liminf_{k → ∞} \Big( \sum_{j=1}^k α_{k,j} \underbrace{f(u_j)}_{<c} \Big)
+ ≤ c \liminf_{k → ∞} \sum_{j=1}^k α_{k,j} = c.
+ \]
+ Da aber $c > \liminf_{i → ∞}f(u_i)$ beliebig war gilt somit $f(\bar u) ≤ \liminf_{i → ∞} f(u_i)$ .
+\end{proof}
+
+
+
diff --git a/ch07-konsequenzen-baire.tex b/ch07-konsequenzen-baire.tex
new file mode 100644
index 0000000..e4eadf2
--- /dev/null
+++ b/ch07-konsequenzen-baire.tex
@@ -0,0 +1,102 @@
+\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire}
+
+In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von
+Baire ziehen.
+Dieses Resultat (\cref{satz:bct-2.3.7}) sagt aus, dass jede nichtleere offene
+Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ von zweiter Kategorie ist,
+also nicht von erster Kategorie (oder mager) ist.
+Eine Menge $M ⊂ X$ heißt \emph{mager}, falls $M ⊂ \bigcup_{n=1} M_n$ mit $M_n$
+nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$.
+
+Zunächst folgendes Elementares Resultat:
+\begin{korollar-nn}[Übung 13]
+ In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
+\end{korollar-nn}
+
+Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
+\begin{korollar-nn}[Übung 69]
+ Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum mit $\dim X = ∞$. Dann ist
+ jede Hamelbasis von $X$ überabzählbar
+\end{korollar-nn}
+\begin{beweisidee}
+ Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$.
+ Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$,
+ wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
+ Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind.
+ Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie.
+\end{beweisidee}
+
+\section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit}
+Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$
+ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten
+Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
+
+\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit]
+ \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1}
+ \index{beschränkt!gleichmäßig}
+ \index{beschränkt!punktweise}
+ \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}
+ Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$ eine Familie von stetigen Operatoren,
+ die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so
+ dass
+ \[
+ \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
+ \]
+ für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt},
+ das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit
+ \[
+ \snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ μ
+ \]
+ für alle $λ ∈ Λ$.
+\end{satz}
+\begin{proof}
+ Wir verwenden den Satz von Baire in einem Widerspruchsbeweis.
+ Wir setzen $M_k := \{ x ∈ X: m(x) ≤ k \} ⊂ X, k ∈ ℕ$.
+
+ Wir werden gleich zeigen, dass wenn $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht gleichmäßig
+ beschränkt ist, $M_k$ nirgends dicht ist.
+ Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager,
+ also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht.
+ Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der
+ $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
+ direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein
+ kann. Das ist ein Widerspruch.
+
+ Nun zum Beweis dieser Aussage.
+ Wir müssen zeigen, dass $\cl{M_k}^\circ$ leer ist.
+ Das ist äquivalent dazu, dass es zu jeder Kugel $B_ε(x_0)$ eine Kugel
+ $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ gibt mit $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$.
+ Sei also $B_ε(x_9)$ mit $x_0 ∈ X$, $ε > 0$ eine beliebige Kugel in $X$.
+ Dann gibt es ein $x_1 ∈ B_ε(x_0)$, so dass $x_1 \not\in M_k$:
+ Angenommen, es würde nicht so ein $x_1$ geben.
+ Dann ist $B_ε(x_0) ⊂ M_k$, also $\sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} ≤ k$ für alle $x ∈ \cl{B_ε(x_0)}$.
+ Für $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ gilt dann immer
+ \[
+ x_0 + \frac{ε}{\snorm{x}}x ∈ \cl{B_ε(x_0)},
+ \]
+ also
+ \begin{align*}
+ \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx}_Y &= \sup_{λ ∈ Λ} \norm{ \frac{\snorm x}{ε} \left( A_λx_0 + \frac{ε} {\norm x} A_λ x \right) - \frac{\norm x}{ε} A_λ x_0} \\
+ &≤ \frac{\norm{x}}{ε} \left( \sup_{λ ∈ Λ} \norm{A_λ\left( x_0 + \frac{ε}{\norm x} x \right)} + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx_0} \right) ≤ \frac{\norm{x}}{ε} 2k.
+ \end{align*}
+ Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist.
+
+
+ Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
+ Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$.
+ Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$.
+ Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}
+ \label{kor:7.1.2}
+ blub.
+\end{korollar}
+\begin{proof}
+ Zu (b):
+\end{proof}
+
+%%% Local Variables:
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "funkana"
+%%% End:
diff --git a/common.tex b/common.tex
index 146355c..9be3c16 100644
--- a/common.tex
+++ b/common.tex
@@ -33,6 +33,7 @@
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\DeclareMathOperator{\Proj}{proj}
+\DeclareMathOperator{\Map}{Map}
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\DeclareMathOperator{\id}{id}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
@@ -66,6 +67,16 @@
\scriptstyle#1\,%
}%
}}
+\def\nlk{\yrightarrow[k→∞]{}}
+\def\nll{\yrightarrow[l→∞]{}}
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}
\addbibresource{ref.bib}
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% \makeindex[columns=2,intoc=true]
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+
+
+\allowdisplaybreaks
+
+
\begin{document}
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\maketitle
@@ -101,6 +117,7 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf
\include{ch04-unitaere-raeume}
\include{ch05-hahn-banach}
\include{ch06-schwache-topologien}
+\include{ch07-konsequenzen-baire}
\nocite{*}
\let\emph\em
diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex
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