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\chapter{Schwache Topologien}
In diesem Kapitel sei $X$ grundsätzlich ein normierter linearer Raum.
Wir wissen bereits, dass $\cl{B_1(0)}$ genau dann kompakt ist, wenn $\dim X < ∞$ ist.
Wir suchen nun eine sinnvolle Topologie für $X$, die von der Normtopologie noch
möglichst viele Eigenschaften mitnimmt, aber  die Einheitskugel kompakt macht.

\section{Schwache und schwach\(*\)-Topologie}

Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei
\begin{equation}\label{eq:11}
    U(x',ε) \coloneq \{ x ∈ X: |x'[x]| < ε\} ⊂ X
\end{equation}

\begin{definition}
    Eine Menge $V ⊂ X$ heißt offen bezüglich der \emph{schwachen Topologie}, falls für jedes $x_0 ∈ V$ endlich viele $x_1',…,x_k' ∈ X'$ existieren und $ε_1, …, ε_k > 0$, so dass
    \[
        x_0 + \bigcap_{i=1}^k U(x_i',ε_i) ⊂ V
    \]
    gilt.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
    Das heißt, die Menge der endlichen Schnitte der $U(x', ε)$ aus \eqref{eq:11}
    bilden eine Umgebungsbasis von $0 ∈ X$ für die sogenannte \emph{schwache Topologie} $\T_w ⊂ \Pot{X}$ auf $X$.
    Insbesondere ist $U(x', ε)$ selber offen in $\T_w$ (Übung).
    Damit sind auf $X$ zwei verschiedene Topologien erklärt, nämlich $(X,\T_w)$ und $(X,\T_S)$, wobei $\T_s$ nun die (starke) Normtopologie bezeichne.
\end{bemerkung}

\begin{satz}
    \begin{enumerate}
    \item 
        $(X,\T_w)$ ist ein topologischen linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
    \item
        Jede schwach offene Menge ist auch stark offen, das heißt die Normtopologie ist feiner als die Schwache Topologie bzw $\T_w ⊂ \T_s$.
        \begin{warnung-nn}
            Die Umkehrung gilt in der Regel nicht.
            Falls $V ⊂ X$ stark offen und konvex ist, so ist $V$ auch schwach offen (Übung).
        \end{warnung-nn}
    \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
    Übung.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
    Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$
    \begin{itemize}
    \item
        mehr offene Mengen,
    \item
        mehr abgeschlossene Mengen, aber
    \item
        weniger kompakte Mengen,
    \item
        mehr stetige Abbildungen nach $\K$ (oder in einen anderen topologischen Raum), aber
    \item
        weniger konvergente Folgen.
    \end{itemize}
\end{bemerkung-nn}
\begin{bemerkung-nn}
    $(X,\T_w)$ ist ein topologischer linearer Raum, also folgt aus dem Invarianzprinzip, dass die Topologie bereits vollständig durch die offenen Umgebungen der Null bestimmt ist.
\end{bemerkung-nn}


\begin{bemerkung}
    Sei $P := \{ p_{x'}: X → ℝ: x' ∈ X', p_{x'}(x) := | \lAngle x', x \rAngle |\}$.
    Dann ist $P$ eine Familie von Halbnormen auf $X$, die die Bedingung (I) aus dem Satz 3.3.15 erfüllt, % TODO,
    das heißt, wenn $p_{x'}(x) m = 0 $ für alle $x' ∈ X'$, dann ist bereits $x = 0$ dank Hahn-Banach.
    Damit ist $(X, \T_w)$ sogar ein \emph{lokalkonvexer} Hausdorff"=Raum (insbesondere sind die $U(x',ε)$ und endliche Schnitte davon eine konvexe Umgebungsbasis der Null).
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
    Es gilt $\T_w = \T_s \iff \dim X < ∞$, das heißt in der Regel ist $\T_w \subsetneq \T_s$, also es gibt echt weniger schwach offene Mengen als stark offene (Beispiel in der Übung).
    Deswegen gibt es auch \emph{mehr} schwach konvergente Folgen.
\end{bemerkung}

\begin{satz}
    Sei $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X$.
    Dann konvergiert $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in der schwachen Topologie gegen $x_0 ∈ X$ genau dann, wenn $\lim\limits_{n → ∞} \lAngle x', x \rAngle = \lAngle x', x_0 \rAngle$ für alle $x' ∈ X'$ gilt.
\end{satz}
\begin{proof}
    Übung.
\end{proof}
Wir schreiben für die schwache Konvergenz $x_n \yrightharpoonup[n → ∞]{} x_0$.
Im Beispiel zur Definition 5.4.5 haben wir gesehen, dass $e_i \yrightharpoonup[n→∞]{} 0$ in $\ell^2$.
Nach Satz 1.6 sind alle $x' ∈ X'$ als Abbildungen
\[
    x': (X, \T_w) → \K
\]
folgenstetig. Nach Definition ist aber auch $x': (X, \T_s) → \K$ stetig.
Tatsächlich ist $\T_w$ die gröbste Topologie auf $X$, das heißt die mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle $x' ∈ X'$ stetig sind.
Beachte
\[
    U(x', ε) = (x')^{-1}(B_ε(0)),
\]
und $B_ε(0)$ ist eine offene Menge in $\K$, also wird die Topologie gerade durch die Urbilder einer Umgebungsbasis unter den $x'$ erzeugt, das heißt nach Konstruktion ist sie gerade so gemacht, dass alle $x'$ stetig werden, aber es werden nicht mehr offene Mengen hinzugenommen.
$\T_w$ ist also die Initialtopologie bezüglich aller $x'$.

\subsection*{Schwach$*$-Topologie auf $X'$}
Zu $X'$ (also einem Banachraum) existiert auch $X'' = (X')'$ und ist wieder ein Banachraum.
Damit existiert auf $X'$ eine schwache Topologie $(X',\T_{w,X'})$ mit Umgebungsbasis 
\[
    U(x'',ε) ⊂ X'
\]
zu $x'' ∈ X''$ fest und $ε > 0$ und endlichen Schnitten davon.
$X'$ lässt sich aber auch noch anders topologisieren.
Sei $x ∈ X$ fest und $ε > 0$ gegeben.
Dann definiere
\[
    U'(x, ε) \coloneq \{ x' ∈ X': |\lAngle x', x \rAngle| < ε\} ⊂ X'.
\]
\begin{definition}
    Eine Menge $V' ⊂ X'$ heißt offen bezüglich der \emph{schwach$*$-Topologie}, falls zu jedem $x_0' ∈ V'$ endlich viele $x_1,…,x_k ∈ X$, $ε_1,…,ε_n > 0$ existieren, so dass
    \[
        x_0' + \bigcap_{i=1}^n U'(x_i, ε_i) ⊂ V'.
    \]
    Wir schreiben für diese Topologie $(X',\T_{w*,X'})$.
\end{definition}

\begin{satz}
    $X'$ ist bezüglich der schwach$*$"=Topologie ein topologischer linearer Raum, der Hausdorffsch ist.
    Die $U'(x, ε)$ und endliche Schnitte davon sind Umgebungsbasis der Null in $X'$ für $\T_{w*,X'}$.
\end{satz}
\begin{proof}
    ähnlich wie bei der schwachen Topologie.
\end{proof}
\begin{warnung-nn}
    Eine „schwach$*$-Topologie“ auf $X$ geht offenbar \emph{nicht}.
\end{warnung-nn}
\begin{bemerkung}
    Die schwach$*$ ist eine weitere Abschwächung der schwachen Topologie.
    Betrachte dazu den kanonischen Isomorphismus
    \[
        J_0: X → X'', \quad ∀x ∈ X': \lAngle J_0 x, x' \rAngle = \lAngle x', x \rAngle.
    \]
    Definitionsgemäß ist $J_0$ genau dann surjektiv, wenn $X$ reflexiv ist.
    Dann ist
    \[
        U'(x,ε) = \{ x' ∈ X' : |\lAngle J_0 x, x' \rAngle| < ε\} =
        U(J_0 x, ε).
    \]
    Damit $U'(x,ε) ∈ \T_{w,X'}$, also
    \[
        \T_{w^*,X'} ⊂ \T_{w, X'} ⊂ \T_{s, X'}.
    \]
\end{bemerkung}
\begin{korollar-nn}
    Falls $X$ reflexiv ist, so stimmen $\T_{w*,x'}$ und $\T_{w,X'}$ überein.
\end{korollar-nn}
\begin{proof}
    klar.
\end{proof}
Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6
\begin{satz}
    Sei $(x'_n)_{n ∈ ℕ}$ eine Folge in $X'$.
    Dann konvergiert $(x_n')_{n ∈ ℕ}$ in $(X',\T_{w^*,X'})$ gegen $x_0' ∈ X'$ genau dann, wenn
    $\lim_{n → ∞} \lAngle x_n', x \rAngle = \lAngle x_0', x \rAngle$  für alle $x ∈ X$.
    Wir schreiben dafür $x_n' \yrightharpoonup[n→∞]{*} x_0$.
\end{satz}

\begin{proof}
    Übung.
\end{proof}
\begin{bemerkung}
    \begin{enumerate}
    \item 
        Grenzwerte von schwach (schwach$*$) konvergenten Folgen sind eindeutig bestimmt.
    \item
        Normkonvergenz implizierte schwache Konvergenz impliziert schwach$*$-Konvergenz.
    \end{enumerate}
\end{bemerkung}
\begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item 
        Für die schwache Topologie:
        Falls $x'[x_0] = x'[\tilde x_0]$ für alle $x' ∈ X$, so impliziert Hahn-Banach bereits $x_0 = \tilde x_0$.
    \item
        Folgt direkt aus den entsprechenden  Inklusionen der Topologien.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{satz}
    \begin{enumerate}
    \item
        Aus $x_k' \yrightharpoonup[n → ∞]{*} x'$ in $X'$ folgt
        \[
            \norm{x'}_{X'} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'}.
        \]
    \item
        Aus $x_k \yrightharpoonup[n → ∞]{} x$ in $X$ folgt
        \[
            \norm{x}_{X} ≤ \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}.
        \]
    \end{enumerate}
\end{satz}
\begin{proof}
    \begin{enumerate}
    \item 
        Für alle $ ∈ X $ gilt:
        \[
            |\lAngle x', x \rAngle| \xleftarrow[n → ∞]{} | \lAngle x_k' x \rAngle |
             \le \norm{x}_{X} \norm{x'_k}_{X'}, 
        \]
        also
        \[
            | \lAngle x', x \rAngle | \le \underbrace{\left( \liminf_{k → ∞} \norm{x'_k}_{X'} \right)}_{\eqcolon M} \norm{x}_X,
        \]
        das heißt $\norm{x'}_{X'} ≤ M$, was die Behauptung impliziert.
    \item
        Gelte $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} x$
        Wie gerade folgt für alle $x' ∈ X'$
        \[
            | \lAngle x', x \rAngle | ≤
            \norm{x'} \left( \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_X \right).
        \]
        nach Kapitel, Kor 2.1 (Existenz von nichttrivialen Funktionalen) existiert zu $x ∈ X$ fest ein $x' ∈X'$ mit 
        \[
            \lAngle x', x \rAngle = \norm{x}, \quad \norm{x'}_{X'} = 1,
        \]
        woraus
        \[
            \norm{x}_{X} \le \liminf_{k → ∞} \norm{x_k}_{X}
        \]
        folgt, was die Behauptung war.
    \end{enumerate}
\end{proof}

\section{Schwach- und schwach\(*\)-kompakte Einheitskugeln}
\begin{satz}
    Sei $(X,\norm-)$ separabel.
    Dann ist die (stark) abgeschlossene Einheitskugel $\cl{B_1}(0) = \{ x' ∈ X': \norm{x'} ≤ 1\} ⊂ X'$ schwach$*$-folgenkompakt.
\end{satz}
\begin{proof}
    Sei $\{x_n\}_{n ∈ ℕ}$ eine dichte Teilmenge von $X$.
    Sei $(x'_{k ∈ ℕ})$ eine Folge in $X'$ mit $\norm{x'_k}_{X'} ≤ 1$  für alle $k ∈ ℕ$.
    Wir konstruieren ein $x' ∈ \cl{B_1(0)}$ mit $x'_k \yrightharpoonup[k→∞]{*}$ (für eine Teilfolge).
    Für $n ∈ ℕ$ ist $(\lAngle x_k', x_n \rAngle)_{k ∈ ℕ}$ eine beschräkte Folge in $\K$, denn $|\lAngle x'_k, x_n \rAngle | \le \norm{x_n} \cdot 1 \; (*)$.

    Durch das Diagonalverfahren finden wir eine Teilfolge $(x_{k_m})_{m ∈ ℕ}$, so dass für alle $n ∈ ℕ$ $\lim_{m → ∞} \lAngle x'_{k_m},x_n \rAngle$ existiert:
    Dazu gibt es wegen (*) zu $x_1$ eine Teilfolge $(x_{k,1}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ mit
    \[
        (\lAngle x'_{k,1}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
    \]
    Analog können wir zu $x_2$
    eine Teilfolge $(x_{k,2}')_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,1})_{k ∈ ℕ}$ finden mit
    \[
        (\lAngle x'_{k,2}, x_2 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K
    \]
    und weiterhin
    \[
        (\lAngle x'_{k,2}, x_1 \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
    \]
    Induktiv: Zu $x_m$, $m ∈ ℕ$ existiert eine Teilfolge $(x'_{k,m})_{k ∈ ℕ} ⊂ (x'_{k,m-1})_{k ∈ ℕ}$, so dass
    \[
        ∀j ≤ m : (\lAngle x'_{k,m}, x_j \rAngle)_{k ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
    \]
    Für die Diagonalfolge $(x'_{m,m})_{m ∈ ℕ} ⊂ (x'_k)_{k ∈ ℕ}$ gilt also 
    \[
        ∀n ∈ ℕ : (\lAngle x'_{m,m}, x_n \rAngle)_{m ∈ ℕ} \;\;\text{konvergiert in } \K.
    \]
    Setze nun $x'_{k_m} \coloneq x"_{m,m}$.
    Sei nun O.B.d.A $x'_{k_m} = x'_k$.


    Nun konstruieren wir ein $x'$ mit der gewünschten Eigenschaft.
    Setze $Y := \lspan \{ x_n: n ∈ ℕ\} ⊂ X$.
    Dann liegt $Y$ immer noch dicht in $X$.
    Dann gilt für $y ∈ Y$ beliebig auch
    \[
        \lim_{k → ∞} \lAngle x'_k, y \rAngle \;\;\text{existiert in } \K.
    \]
    Wir definieren $x' : Y → \K$ linear mit
    \[
        \lAngle x', y \rAngle \coloneq \lim_{k→∞} \lAngle x'_k, y \rAngle.
    \]
    Wir behaupten $x' ∈ Y'$. Dazu ist
    \[
        | \lAngle x', y \rAngle | = \lim_{k → ∞} |\lAngle x'_k, y \rAngle | ≤ \norm{y} \limsup_{k → ∞} \norm{x_k'}_{X'} ≤ \norm{y}.
    \]
    Damit ist $x'$ auf $Y$ beschränkt, also stetig.
    Außerdem gilt $\norm{x'}_{Y'} ≤ 1$.
    $x'$ lässt sich als dicht definierte stetige lineare Abbildung eindeutig fortsetzen (Kapitel 5, Satz 1.2) auf $\cl Y = X$.
    Also $x' ∈ X'$ und $\norm{x'}_{X'} = \norm{x'}_{Y'} ≤ 1$.
    Also $x' ∈ \cl{B_1(0)} ⊂ X'$.

    Bleibt noch zu zeigen: $x'_k \yrightharpoonup[k→∞]{*} x'$.
    Sei dazu $x ∈ X$ beliebig und $y ∈ Y$ mit $\norm{x-y}_{X} < ε$ (geht weil $\cl Y = X$).
    Dann 
    \[
        | \lAngle x' - x'_k, x \rAngle |
        ≤ | \lAngle x' - x'_k, x-y \rAngle| + |\lAngle x'-x'_k, y \rAngle|
        ≤ 2 \norm{x-y} + ε < 3 ε.
    \]
    Also ist schwache Konvergenz gezeigt und die Behauptung folgt.
\end{proof}

























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