diff options
Diffstat (limited to 'ch06-schwache-topologien.tex')
| -rw-r--r-- | ch06-schwache-topologien.tex | 112 |
1 files changed, 111 insertions, 1 deletions
diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index cbf88ff..d9a41b9 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -42,7 +42,7 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei Übung. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} - Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$ + Sei $X$ eine beliebige Menge und $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$. Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$ \begin{itemize} \item mehr offene Mengen, @@ -295,6 +295,116 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 +%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +HIER FEHLT EINE VL +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\begin{definition} + Sei $X$ ein reeller normierter Raum, $M ⊂ X$ eine Teilmenge, $f: M → ℝ$ eine Abbildung. + ... +\end{definition} + + + +\begin{satz}[Hauptsatz der Variationsrechnung] + \index{Hauptsatz der Variationsrechnung} + \index{Variationsrechnung!Hauptsatz} + \label{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2} + Sei $(X,\norm-)$ ein reflexiver Banachraum und $M ⊂ X$ schwach + abgeschlossen. + Ist $f: M → ℝ$ eine schwach unterhalbstetige und koerzive Abbildung, dann gilt + \begin{enumerate} + \item + $f$ ist nach unten beschränkt. + \item + $f$ nimmt das Infimum in $M$ an. + \end{enumerate} +\end{satz} + +% Ist $(X,\norm -)$ separabel, dann ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X'}(0)$ schwach*-folgenkompakt, +% ist $(X,\norm -)$ reflexiv, so ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X}(0) ⊂ X$ schwach folgenkompakt. +% Das heißt, jede beschränkte Folge besitzt also eine schwach($*$)-konvergente Teilfolge. + +\begin{proof} + Sei $f: M → ℝ$, $f$ schwach unterhalbstetig, das heißt aus $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} \hat x$ folgt bereits $f(\hat x) \le \liminf_{k → ∞} f(x_k)$. + Sei $α_0 \coloneq \inf_{x ∈ M} f(x) ≥ - ∞$ und $(x_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ M$ eine Folge, für die $f(x_k) \nlk α_0$ gilt. + Da $f$ koerziv ist, ist $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ (stark) beschränkt. + Eberlein-Shimulyan liefert, da $X$ reflexiv ist, eine schwach konvergente Teilfolge $(x_{k_j})_{j ∈ ℕ}$ von $(x_;)_{k ∈ ℕ}$, also $x_{k_j} \slj \hat x ∈ X$. + Es gilt sogar $\hat x ∈ M$, da $M$ nach Voraussetzung schwach folgenabgeschlossen ist. + Weil $f$ schwach unterhalbstetig ist, folgt $f(\hat x) ≤ \liminf_{k → ∞} f(x_k) = α_0$. + Insbesondere ist $α_0 > -∞$ und $f(\hat x) = \inf_{x ∈ M} f(x)$. +\end{proof} + +Im Vergleich zu den motivierenden Sätzen, die wir im endlich"=dimensionalen kennen, haben wir hier andere Voraussetzungen. % TODO anderer vergleich? +Hier ist $f$ schwach unterhalbstetig, was eine stärkere Forderung ist als unterhalbstetig. +Außerdem haben beschränkte Folgen schwach konvergente Teilfolgen, also schwache Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen, was eine schwächere Eigenschaft ist als die Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen im $ℝ^n$. + + +\begin{beispiel}[Anwendung auf Variationsprobleme] + \index{Variationsprobleme} + \index{Variationsrechnung} + Sei $X$ ein Funktionenraum über $(a,b) ⊂ ℝ$, $f: X → ℝ$, $x ↦ ∫_a^b F(x,\dot x) \dd t$. + Wir suchen $x_0 = x_0(t), t∈ (a,b)$ mit $f(x_0) = \min_{x ∈ M} f(x)$ und $x_0 ∈ M ⊂X$, wobei $M$ die Teilmenge der zulässigen Funktionen bezeichne. + + Konkret ist zum Beispiel + \[ + f(x) := ∫_a^b F(x, \dot x) \dd t + = ∫_a ^b \tfrac 12 \big(\dot x(t))^2 + g(x(t))\big) \dd t, + \] + wobei $g: ℝ → ℝ$ eine zwei mal stetig differenzierbare Abbildung ist mit $g''(x) ≥ γ > 0$, also $g$ konvex. Dann ist $f: X = H^1(a,b) = W^{1,2}(a,b) → ℝ$ schwach unterhalbstetig und koerziv ist. + Nach~\cref{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2} gibt es einen Minimierer $x_0 ∈ H^1(a,b)$ von $f$. + Ohne Beweis merken wir an, dass dieser Minimierer $x_0$ dann folgendes Randwertproblem löst: + Wir suchen eine Funktion $x = x(t)$ mit + \[ + \begin{cases} + -\ddot x + g'(x) = 0 \\ + \dot x(a) = \dot x (b) = 0 + \end{cases}. + \] + Man nennt die zweite Bedingung \emph{natürliche Randbedingung}. + Weiteres dazu gibt es in den Vorlesungen über Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen. + + Im Wesentlichen folgt die Behauptung aus der Eigenschaft, dass wenn $x_0$ ein Minimierer ist, dann ist $Df(x_0) = 0$, wobei $Df(x_0) ∈ H(a,b)'$ eine geeignet definierte Verallgemeinerung der Ableitung ist. +\end{beispiel} + +\begin{satz} + \label{satz:6.3.4} + Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum und $f: X → ℝ$ unterhalbstetig und konvex, also + $f(λu + (1-λ)v) ≤ λf(u) + (1-λ) f(v)$ für alle $u, v ∈ X, λ ∈ (0,1)$. + Dann ist $f$ auch schwach unterhalbstetig. +\end{satz} + +Für den Beweis benötigen wir den Satz von Mazur, den wir in der Übung beweisen werden. + +\begin{satz}[Mazur] + \label{satz:mazur-6.3.5} + Sei $X$ ein normierter Raum, $(u_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $u_k \slk u_0 ∈ X$. Dann existiert eine Folge von \emph{Konvexkombinationen} + \[ + v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \text{mit} \; \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0, + \] + so dass $v_k \nlk u_0$ in $X$. +\end{satz} + +\begin{proof}[{\cref{satz:6.3.4}}] + Sei also $u_i \sli \bar u ∈ X$. + Wähle $c > \liminf_{i → ∞} f(u_i)$, für eine Teilfolge, die wir wieder mit $(u_i)_{i ∈ ℕ}$ bezeichnen, so dass für alle $i ∈ ℕ$ $f(u_i) < c$. + Nach \cref{satz:mazur-6.3.5} existiert Eine Folge $(v_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ von Konvexkombinationen von $u_i$, das heißt + \[ + v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0 + \] + und $v_k \nlk \bar u$ in $X$. + Wegen $f$ (stark) unterhalbstetig und der Konvexität von $f$ gilt + + \[ + f(\bar u) ≤ \liminf_{k →∞} f(v_k) ≤ \liminf_{k → ∞} \Big( \sum_{j=1}^k α_{k,j} \underbrace{f(u_j)}_{<c} \Big) + ≤ c \liminf_{k → ∞} \sum_{j=1}^k α_{k,j} = c. + \] + Da aber $c > \liminf_{i → ∞}f(u_i)$ beliebig war gilt somit $f(\bar u) ≤ \liminf_{i → ∞} f(u_i)$ . +\end{proof} + + + |