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diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex index 123583f..f06fbba 100644 --- a/ch02-topologie.tex +++ b/ch02-topologie.tex @@ -261,6 +261,7 @@ existiert. werden identisch, denn alle Normen auf dem $ℝ^n$ sind uniform äquivalent. \end{beispiel-nn} \begin{definition}[Produkttopologie] + \label{defi:produkttopologie-1.12} \index{Topologie!Produkt-} Seien $(X,\T_{X}),(Y,\T_{Y})$ topologische Räume. Dann ist die Familie von Mengen @@ -294,6 +295,8 @@ existiert. \section{Metrische Räume} \index{Raum!metrischer} \label{sec:metrische-raume} +Metrische Räume sind Räume, die über einen Abstandsbegriff verfügern, der die intuitiv naheliegenden Eigenschaften eines Abstands verfügen. +Wir werden sehen, dass metrische Räume auch topologische Räume sind, die viele schöne topologische Eigenschaften besitzen. \begin{definition}[Pseudometrik, Metrik] \index{Metrik} \index{Pseudometrik} @@ -502,11 +505,17 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \end{proof} \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} \label{sec:vollst-metr-raum} +Bereits in der Analysis haben wir uns mit Cauchy-Folgen in den reellen Zahlen beschäftigt. +Dabei hieß eine reelle Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ Cauchy"=Folge, wenn für jedes $ε > 0$ ein $N ∈ ℕ$ exisiert, so dass $|x_n -x_m| < ε$ ist. +Wir haben uns damals davon überzeugt, dass diese Eigenschaft tatsächlich äquivalent ist zur Konvergenz der Folge -- Der Körper der reellen Zahlen ist vollständig. +Die Eigenschaft der Cauchy"=Folge lässt sich leicht auf allgemeinere Metrische Räume verallgemeinern. \begin{definition}[Cauchy-Folge] \index{Folge!Cauchy-} \label{defi-cauchy-folge-2.3.1} Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ in $(X,d)$ heißt \emph{Cauchy-Folge}, falls zu jedem $\epsilon > 0$ ein $N = N(\epsilon )$ existiert mit $d(x_m,x_n) < \epsilon $ für alle $n,m \ge N$. \end{definition} +Die Äquivalenz von Cauchy und Konvergenz bleibt dabei im Allgemeinen nicht erhalten. +Es gilt jedoch immer die eine Implikation: \begin{lemma} \label{lemma:konv-folge-ist-cauchy-2.3.2} Jede konvergente Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ ist auch eine Cauchy-Folge. @@ -605,7 +614,7 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. \] Doch damit war bereits $x_0 = \tilde x_0$. \end{proof} -\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie] +\begin{definition}[mager, Menge von erster/zweiter Kategorie] \label{defi:mager-2.3.6} \index{mager} \index{Menge!mager} diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index 306f07f..5a471f4 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -17,9 +17,10 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri \label{defi:norm-3.1.1} \index{Norm} \index{Raum!normierter} - Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Die Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$ + Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. + Eine Abbildung $\norm\cdot: X → [0,\infty )$ heißt \emph{Norm} auf $X$, falls für alle $x, y ∈ X, \alpha ∈ K$ gilt: - \begin{enumerate} + \begin{wenumerate}[label=(N\arabic*)] \item \index{Definitheit} $\norm x = 0 \Longleftrightarrow x = 0$ (Definitheit) @@ -28,8 +29,8 @@ Erklärtes Ziel dieses Kapitels wird sein, die beiden Strukturen aus den vorheri $\norm{\alpha x} = |\alpha | \norm x$ (Homogenität) \item \index{Dreiecksungleichung} - $\norm{x+y} \le \norm x + \norm y$ (Dreiecksungleichung) - \end{enumerate} + $\snorm{x+y} \le \norm x + \snorm y$ (Dreiecksungleichung) + \end{wenumerate} $(X,\norm\cdot)$ heißt dann \emph{normierter Raum}. \end{definition} @@ -372,14 +373,15 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \begin{tikzpicture}[yscale=-0.2, xscale=0.20000] \footnotesize \begin{scope}[align=center,very thick,shift={(0,-87.0)}] - \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[cm={{1.0,0.0,0.04521,0.99898,(0.0,0.0)}},draw=c800080,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.7058,52.2710) rectangle (47.5445,58.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope} - \end{tikzpicture} + \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[draw=c800080,miter limit=4.00,rounded corners=0.50cm] (32,52.2710) rectangle (50.0,57.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope} +b \end{tikzpicture} \caption{topologische und lineare Strukturen} \end{figure} \begin{bemerkung-nn} Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt. \end{bemerkung-nn} + \begin{definition}[Semi-Norm] \index{Semi-Norm} \index{Raum!semi-normierter} @@ -1203,12 +1205,25 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische Dann besitzt die Null eine Umgebungsbasis aus kreisförmigen Mengen. \end{lemma} \begin{proof} - Übung. + Wir zeigen, dass jede Umgebung $U$ der Null eine kreisförmige Umgebung enthält. + Sei dazu $U ∈ \U_0$. + Da $X$ nach Voraussetzung ein topologischer linearer Raum ist, ist die Skalarmultiplikation $s: \K × X → X$ stetig. + Das heißt, $s^{-1}(U)$ ist eine Umgebung von $(0,0)$ in der Produkttopologie. + Nach \cref{defi:produkttopologie-1.12} gibt es also eine Umgebung $D$ von $0 ∈ \K$ und eine Umgebung $V$ von $0 ∈ X$ mit $D \cdot V ⊂ U$. + Insbesondere enthält $D$ einen Ball $B_{δ}(0)$ für ein $δ > 0$. + Definiere nun + \[ + W \coloneq \bigcup_{|α| < δ} αV. + \] + Dann ist $W ⊂ U$ und $W$ ist kreisförmig. \end{proof} \begin{warnung-nn} - Metrikkugeln müssen im Allgemeinen nicht kreisförmig sein (obwohl die uns bekannten Kugeln dies sind). - Gegenbeispiel: $X = ℝ$, $d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s)\; ds \right|$. + Im Allgemeinen müssen Metrikkugeln nicht kreisförmig sein, obwohl die uns wohlbekannten Kugeln im $ℝ^n$ mit der von der euklidischen Norm induzierten Metrik dies sind. + Ein Gegenbeispiel dafür ist etwa $X = ℝ$ mit der Metrik $d$ definiert durch + \[ + d(x,y) \coloneq \left| ∫_x^y 1+\ind{ℝ_-}(s) \dd s \right|. + \] \end{warnung-nn} \begin{lemma} @@ -1229,6 +1244,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \end{proof} \begin{satz} + \label{satz:top-lin-t2-raum-kompakt-abgeschl-und-beschr-3.5.11} Sei $(X,\T)$ ein topologischer linearer $T_2$-Raum und $K ⊂ X$ kompakt. Dann ist $K$ abgeschlossen und beschränkt. \end{satz} @@ -1239,7 +1255,8 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische \end{bemerkung-nn} Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. -\begin{definition-nn} +\begin{definition-nn}[Heine"=Borel"=Eigenschaft] + \index{Heine"=Borel"=Eigenschaft} Sei $(X,)$ Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}. \end{definition-nn} @@ -1259,7 +1276,12 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. also folgt die Behauptung mit $\alpha = n_s$. $(*)$ gilt wegen der Kreisförmigkeit und $\left|\frac {n_i}{n_s}\right| \le 1$. \end{proof} -\begin{definition} +\begin{definition}[relativ kompakt, präkompakt] + \label{defi:relativ-kompakt-präkompakt} + \index{kompakt!relativ} + \index{kompakt!prä-} + \index{kompakt} + \index{präkompakt} \begin{enumerate} \item In einem topologischen Raum $(X,\T)$ heißt eine Menge $A ⊂ X$ \emph{relativ kompakt}, falls $\cl A$ kompakt ist. @@ -1269,6 +1291,12 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. \end{definition} \begin{satz} + \label{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} + \index{kompakt} + \index{kompakt!folgen-} + \index{folgenkompakt} + \index{kompakt!prä-} + \index{präkompakt} Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $\emptyset \ne A ⊂ X$. Dann sind äquivalent: \begin{enumerate} \item @@ -1291,12 +1319,34 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. \end{proof} \begin{korollar} + \label{kor:vollst-metr-praekomp-gdw-rel-kompakt-3.5.14} Ist $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum und $A ⊂ X$, dann ist $A$ genau dann präkompakt, wenn $A$ relativ kompakt ist. \end{korollar} +\begin{proof} + „⇐“: + Sei zunächst $A$ relativ kompakt in $X$. + Dann ist definitionsgemäß $\cl A$ abgeschlossen, also nach~\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} auch präkompakt. + Da jede Teilmenge einer präkompakten Menge ebenfalls präkompakt ist, ist somit insbesondere auch $A$ präkompakt. + „⇒“: + Für die andere Implikation sei nun $A$ präkompakt. + Wir zeigen zunächst, dass $A$ präkompakt ist. + Sei dazu $ε > 0$ beliebig. + Da $A$ präkompakt ist, gibt es endlich viele $x_1,…,x_n ∈ X$ mit $A ⊂ \bigcup_{i=1}^n B_{ε/2}(x_i)$. + Dann ist aber auch + \[ + \cl A ⊂ \bigcup_{i=1}^n \cl B_{ε/2}(x_i) ⊂ \bigcup_{i=1}^n B_{ε}(x_i), + \] + womit $\cl A$ präkompakt ist. + + Da $\cl A$ als abgeschlossene Teilmenge eines vollständigen Raumes ebenfalls vollständig ist, ist nach~\cref{satz:metr-raum-kompaktheit-equ-charak-3.5.13} $\cl A$ kompakt, was definitionsgemäß schon bedeutet, dass $A$ relativ kompakt ist. +\end{proof} \begin{satz}[Ascoli-Arzela] - Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $C(S,ℝ^m)$ mit der Norm + \label{satz:ascoli-arzela-3.5.15} + \index{Satz!von Ascoli-Arzela} + \index{Ascoli-Arzela} + Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $X = C(S,ℝ^m)$ mit der Norm \[ \norm{f}_∞ \coloneq \max_{x ∈ S} |f(x)|_{ℝ^m} \] @@ -1304,14 +1354,66 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. \begin{enumerate} \item $A$ ist präkompakt. \item - $A$ ist beschränkt und gleichgradig stetig, das heißt, + $A$ ist beschränkt (also es gibt ein $M > 0$ mit $\sup_{f ∈ A} \snorm{f}_{∞} < M$) und gleichgradig stetig, das heißt, + \index{stetig!gleichgradig} \[ \sup_{f ∈ A} |f(x)-f(y)|_{ℝ^m} \yrightarrow[|x-y|→ 0]{} 0. \] \end{enumerate} \end{satz} +\begin{proof} + „$(a) ⇒ (b)$“: + Sei zunächst $A$ präkompakt. + Wir zeigen zunächst die Beschränktheit: + Dann ist nach~\cref{kor:vollst-metr-praekomp-gdw-rel-kompakt-3.5.14}, da $C(S;ℝ^m)$ vollständig ist, $\cl A$ kompakt. + Mit~\cref{satz:top-lin-t2-raum-kompakt-abgeschl-und-beschr-3.5.11} folgt, dass $\cl A$, also auch die Teilmenge $A$, beschränkt ist. + + Jetzt zu der gleichgradigen Stetigkeit. + Sei $ε > 0$ beliebig. + Da $A$ präkompakt ist, gibt es $f_1,…f_n ∈ X$ mit $A ⊂ B_ε(f_1) ∪ \dots ∪ B_ε(f_n)$. + Da alle (endlich vielen) $f_i$ als stetige Funktionen auf der kompakten Menge $S$ gleichmäßigstetig sind, gibt es ein $δ > 0$, so dass + \[ + |f_i(x)-f_i(y)| < ε + \] + für alle $1 ≤ i ≤ n$ und $x, y ∈ S$ mit $|x-y| < δ$. + Sei nun $f ∈ A$ beliebig. Dann ist $f$ in einem der $B_{ε}(f_i)$, etwa $B_{ε}(f_j)$ für ein $1 ≤ j ≤ n$. + Dann gilt für alle $x, y ∈ S$ mit $|x-y| < δ$ + \[ + |f(x)-f(y)| ≤ 2ε + |f_j(x) - f_j(y)| ≤ 2ε + \max_{1 ≤ i ≤ n} |f_i(x) - f_i(y)| ≤ 2ε + ε = 3ε. + \] + Da $ε > 0$ beliebig war, ist somit $A$ gleichgradig stetig. + + „$(b)⇒(a)$“: Sei nun $A$ beschränkt (durch $M$) und gleichgradig stetig. + Wir wollen zeigen, dass $A$ dann auch präkompakt ist. + Wir müssen dazu eine endliche Überdeckung von $A$ durch beliebig kleine Kugeln finden. + % Da $A$ gleichgradig stetig ist, gibt es für jedes $x ∈ S$ ein $δ_x > 0$ so dass für jedes $y ∈ B_δ(x) ∩ S$ und jedes $f ∈ A$ auch $|f(x)-f(y)| < ε$ ist. + % Dann ist $\{ B_{δ_x}(x): x ∈ S \}$ eine offene Überdeckung von $S$, also gibt es, da $S$ nach Voraussetzung kompakt ist, $x_1,…,x_n ∈ S$ mit Umgebungen $V_i \coloneq B_{δ_{x_i}}(x_i)$, so dass $X = V_1 ∪ \cdots ∪ V_n$. + Sei dazu $ε > 0$ beliebig. + Da $S$ und $\cl{B_M}(0)$ kompakte sind, gibt es endlich viele $ξ_1,…,ξ_k ∈ R^m$ und endlich viele $x_1,…,x_l ∈ ℝ^n$ mit $\cl{B_m}(0) ⊂ \bigcup_{i=1}^k B_ε(ξ_i)$ und $S ⊂ \bigcup_{j=1}^l B_ε(x_j)$. + Sei nun für eine Abbildung $π: \{1,…,l\} → \{1,…,k\}$ + \[ + A_π \coloneq \{ f ∈ A: |f(x_j) - ξ_{π(j)}| < ε \text{ für alle } j ∈ \{1,…,l\}\}. + \] + Da die $B_ε(ξ_i)$ eine Überdeckung von $\cl{B_m}(0)$ bilden und wegen der Beschränktheit von $A$ durch $M$ gibt es für jedes $f ∈ A$ eine Abbildung $π$, so dass $f ∈ A_\pi$ ist, also $A = \bigcup_{π ∈ \Map([l], [k])} A_π$. + + Für jedes $\pi ∈ \Map([l],[k])$, für das $A_{π} \ne \emptyset$ wählen wir ein $f_π ∈ A_π$ beliebig. + Sei nun $f ∈ A$. Dann gibt es ein $π$, so dass $f ∈ A_π$. + Sei $x ∈ S$ beliebig. Dann ist $x ∈ B_ε(x_j)$ für ein $1 ≤ j ≤ l$, also + \begin{align*} + |f(x) -f_π(x)| &≤ |f(x) -f(x_j)| + |f_π(x) - f_π(x_j)| + |f(x_j) - ξ_{π(j)}| + |f_π(x_j) - ξ_{π(j)}| \\ + &< 2 \sup_{|y-z|≤ε} \sup_{f ∈ A} |f(y)-f(z)| + 2 ε \eqcolon ε. + \end{align*} + Damit ist $\norm{f-f_π}_{∞} ≤ r_ε$. + Also gilt + \[ + A ⊂ \bigcup_{π: A_π \ne \emptyset} B_{2r_ε}(f_π). + \] + Da $A$ gleichgradig stetig ist, konvergiert $r_ε → 0$ für $ε → 0$, was bedeutet, dass für hinreichend kleine Werte von $ε$ endliche Überdeckungen von $A$ durch beliebig kleine Bälle existieren, also die Präkompaktheit von $A$. +\end{proof} \begin{satz}[Fréchet, Kolmogorov] + \index{Satz!von Fréchet und Kolmogorov} + \label{satz:frechet-kolmogorov-3.5.16} Sei $1 ≤ p < ∞$. Dann ist $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ genau dann präkompakt, wenn \begin{enumerate}[label=(\roman*)] \item @@ -1327,18 +1429,79 @@ Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch. \] \end{enumerate} \end{satz} - \begin{bemerkung-nn} Der Satz gilt auch für Teilmengen $Ω$ von $ℝ^n$ mit den offensichtlichen Anpassungen. Ist $Ω$ beschränkt, so wird (iii) überflüssig. \end{bemerkung-nn} +\begin{proof} + Wir zeigen hier nur die einfachere Implikation. + „⇒“: Sei $A ⊂ L^p(ℝ^n)$ präkompakt und $ε > 0$ + Dann gibt es nach~\cref{defi:relativ-kompakt-präkompakt} endlich viele $f_1,…,f_l ∈ L^p(ℝ^n)$ mit $A ⊂ \bigcup_{i=1}^l B_ε(f_i)$. + Jedes $f ∈ A$ ist dann in einem der $B_ε(f_i)$. + Folglich ist + \[ + \norm{f}_{L^p(ℝ^n)} ≤ ε + \norm{f_i}_{L^p(ℝ^n)} ≤ ε + \max_{1≤i≤l} \norm{ff_i} < ∞, + \] + also $A$ beschränkt. + Weiter hat man + \[ + \norm{f(\cdot + h)-f}_{L^p(ℝ^n)} ≤ 2ε + \max_{1≤i≤l} \norm{f_i(\cdot+h)-f_i}_{L^p(ℝ^n)} + \] + sowie + \[ + \norm{f}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))} ≤ ε + \max_{1≤i≤l} \norm{f_i}_{L^p(ℝ^n \setminus B_R(0))}, + \] + wobei jeweils die letzen Summanden klein werten, wenn $h$ bzw $R$ groß werden, was (ii) und (iii) zeigt. + + „⇐“: Zum Beispiel in~\cite[Satz 2.16]{alt2002lineare}. +\end{proof} + +\subsection{Hölder-Räume} +\label{sec:holder-raume} +Wir betrachten nun weitere Funktionenräume, die zwischen dem Raum der differenzierbaren und dem der stetigen Funktionen liegen: +\begin{definition}[Hölder-Räume] + \label{defi:hölder-raum-3.5.17} + \index{Raum!Hölder-} + \index{stetig!gleichmäßig $α$-Hölder} + Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $0 < α ≤ 1$, $f: S → \K$ eine Abbildnug. + \begin{itemize} + \item $f$ heißt \emph{gleichmäßig $α$-Hölder stetig} auf $S$, falls $f$ stetig ist und + \[ + \sup_{t_1 \ne t_2} \frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^α} < ∞. + \] + \item + Wir definieren die \emph{Hölder-Räume} + \[ + C^{0,α}(S) \coloneq \{ f: S → \K, f \text{ gleichmäßig $α$-Hölder stetig auf } S\}. + \] + \end{itemize} +\end{definition} + +Man beachte, dass die Definition für $α = 1$ gerade mit der Definition der Lipschitz"=stetigkeit zusammenfällt. +Es gilt die Inklusionskette +\[ + C^1(S) ⊂ C^{0,β}(S) ⊂ C^{0,α}(S) ⊂ C^0(S) = C(S) +\] +für $1 ≥ β ≥ α > 0$. Mit der Norm $\norm-_{α}$ definiert durch +\[ + \norm f _α = \norm{f}_{C(S)} + \sup_{t_1 \ne t_2} \frac{|f(t_1)-f(t_2)|}{|t_1-t_2|^α} < ∞. +\] +wird $C^{0,α}(S)$ zu einem vollständigen, normiertem Raum. +Es ist nur ein hinreichendes Kompaktheitskriterium bekannt: +\begin{satz} + \label{satz-hoelder-raum-kompaktheit-krit-3.5.18} + Sei $S ⊂ ℝ^n$ kompakt und $A ⊂ C^{0,α}(S)$. Ist auch $A ⊂ C^{0,β}(S)$ für ein $β>α$ und $A$ als Teilmenge von $C^{0,β}(S)$ beschränkt, so ist $A$ als Teilmenge von $C^{0,α}(S)$ präkompakt. +\end{satz} +\begin{proof} + Zum Beispiel in\cite[Übung 2.7]{alt2002lineare}. +\end{proof} \section{Stetige lineare Operatoren} Seien $X, Y$ topologische lineare Räume und $T: X → Y$ linear. Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: \begin{beispiel} - Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor. + Wir betrachten erneut den Raum aller Folgen. Sei $X = \mathcal S = ℝ^∞$ und für $i ∈ ℕ$ $e_i$ der $i$-te Einheitsvektor. Dann ist $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ linear unabhängig, also gibt es nach~\cref{satz:basisergaenzungssatz-1.1.3} eine Basis $\{w_i\}_{i ∈ I}$ von $S$, die $\{e_i\}_{i ∈ ℕ}$ umfasst. Definiere $T: X → ℝ$ linear durch die Bilder der Basisvektoren $T(e_i) \coloneq 1$ und $T(w) \coloneq 0$ für $w ∈ B \setminus \{ e_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist $T$ nicht stetig in $0$, denn $f (\lim_{i → ∞} e_i) = f(0) = 0 \ne 1 = \lim_{i → ∞} f(e_i)$. @@ -1370,7 +1533,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: Es gibt eine Konstante $C ≥ 0$ mit $\norm{Tx} ≤ C \norm{x}$ für alle $x ∈ X$. \end{enumerate} \end{satz} -Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. +Hier gilt $M = \inf \{ C \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. \begin{proof} $(1) \iff (2)$ schon gezeigt. @@ -1392,7 +1555,7 @@ Hier gilt $M = \inf \{ c \ge 0:$ mit $C$ gilt (5) $\}$. $(5) \Rightarrow (1)$. Für $x, x_1 ∈ X$ gilt \[ - \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm x-x_1 \yrightarrow[x → x_1]{} 0. + \norm{T(x) - T(x_1)} = \norm {T(x-x_1)} \le C \norm {x-x_1} \yrightarrow[x → x_1]{} 0. \] Damit ist $T$ stetig in $x_1$. \end{proof} @@ -1573,7 +1736,7 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht. \begin{korollar} Sei $X$ ein linearer Raum der Dimension $n ∈ ℕ$, $\norm-_a$ und $\norm-_b$ zwei Normen auf $X$. - Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-b$ äquivalent. + Dann sind $\norm-_a$ und $\norm-_b$ äquivalent. \end{korollar} \begin{satz} diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex index f2d6360..e3823c8 100644 --- a/ch04-unitaere-raeume.tex +++ b/ch04-unitaere-raeume.tex @@ -1,6 +1,10 @@ \chapter{Unitäre Räume und Hilberträume} +\label{cha:unitare-raume-und} \section{Grundbegriffe} -Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$. +\label{sec:grundbegriffe} +Auch in diesem Kapitel bezeichen wir mit $\K$ wieder grundsätzlich einen der beiden Körpern $\R$ und $\K = ℂ$. +Wir werden uns hier mit einer noch spezielleren Klasse von Räumen befassen, die +noch mehr Struktur als die normierten Räume haben, nämlich ein Skalarprodukt: \begin{definition} Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index cbf88ff..d9a41b9 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -42,7 +42,7 @@ Zu $x' ∈ X'$ fest und $ε > 0$ sei Übung. \end{proof} \begin{bemerkung-nn} - Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$ + Sei $X$ eine beliebige Menge und $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$. Sei $\T_2 ⊂ \T_1$, also $\T_1$ feiner als $\T_2$. Dann hat $\T_1$ \begin{itemize} \item mehr offene Mengen, @@ -295,6 +295,116 @@ Für den Konvergenzbegriff gilt analog zu Satz 1.6 +%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +HIER FEHLT EINE VL +%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + + +\begin{definition} + Sei $X$ ein reeller normierter Raum, $M ⊂ X$ eine Teilmenge, $f: M → ℝ$ eine Abbildung. + ... +\end{definition} + + + +\begin{satz}[Hauptsatz der Variationsrechnung] + \index{Hauptsatz der Variationsrechnung} + \index{Variationsrechnung!Hauptsatz} + \label{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2} + Sei $(X,\norm-)$ ein reflexiver Banachraum und $M ⊂ X$ schwach + abgeschlossen. + Ist $f: M → ℝ$ eine schwach unterhalbstetige und koerzive Abbildung, dann gilt + \begin{enumerate} + \item + $f$ ist nach unten beschränkt. + \item + $f$ nimmt das Infimum in $M$ an. + \end{enumerate} +\end{satz} + +% Ist $(X,\norm -)$ separabel, dann ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X'}(0)$ schwach*-folgenkompakt, +% ist $(X,\norm -)$ reflexiv, so ist die Einheitskugel $\cl{B_1^{X}(0) ⊂ X$ schwach folgenkompakt. +% Das heißt, jede beschränkte Folge besitzt also eine schwach($*$)-konvergente Teilfolge. + +\begin{proof} + Sei $f: M → ℝ$, $f$ schwach unterhalbstetig, das heißt aus $x_k \yrightharpoonup[k→∞]{} \hat x$ folgt bereits $f(\hat x) \le \liminf_{k → ∞} f(x_k)$. + Sei $α_0 \coloneq \inf_{x ∈ M} f(x) ≥ - ∞$ und $(x_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ M$ eine Folge, für die $f(x_k) \nlk α_0$ gilt. + Da $f$ koerziv ist, ist $(x_k)_{k ∈ ℕ}$ (stark) beschränkt. + Eberlein-Shimulyan liefert, da $X$ reflexiv ist, eine schwach konvergente Teilfolge $(x_{k_j})_{j ∈ ℕ}$ von $(x_;)_{k ∈ ℕ}$, also $x_{k_j} \slj \hat x ∈ X$. + Es gilt sogar $\hat x ∈ M$, da $M$ nach Voraussetzung schwach folgenabgeschlossen ist. + Weil $f$ schwach unterhalbstetig ist, folgt $f(\hat x) ≤ \liminf_{k → ∞} f(x_k) = α_0$. + Insbesondere ist $α_0 > -∞$ und $f(\hat x) = \inf_{x ∈ M} f(x)$. +\end{proof} + +Im Vergleich zu den motivierenden Sätzen, die wir im endlich"=dimensionalen kennen, haben wir hier andere Voraussetzungen. % TODO anderer vergleich? +Hier ist $f$ schwach unterhalbstetig, was eine stärkere Forderung ist als unterhalbstetig. +Außerdem haben beschränkte Folgen schwach konvergente Teilfolgen, also schwache Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen, was eine schwächere Eigenschaft ist als die Folgenkompaktheit von beschränkten Mengen im $ℝ^n$. + + +\begin{beispiel}[Anwendung auf Variationsprobleme] + \index{Variationsprobleme} + \index{Variationsrechnung} + Sei $X$ ein Funktionenraum über $(a,b) ⊂ ℝ$, $f: X → ℝ$, $x ↦ ∫_a^b F(x,\dot x) \dd t$. + Wir suchen $x_0 = x_0(t), t∈ (a,b)$ mit $f(x_0) = \min_{x ∈ M} f(x)$ und $x_0 ∈ M ⊂X$, wobei $M$ die Teilmenge der zulässigen Funktionen bezeichne. + + Konkret ist zum Beispiel + \[ + f(x) := ∫_a^b F(x, \dot x) \dd t + = ∫_a ^b \tfrac 12 \big(\dot x(t))^2 + g(x(t))\big) \dd t, + \] + wobei $g: ℝ → ℝ$ eine zwei mal stetig differenzierbare Abbildung ist mit $g''(x) ≥ γ > 0$, also $g$ konvex. Dann ist $f: X = H^1(a,b) = W^{1,2}(a,b) → ℝ$ schwach unterhalbstetig und koerziv ist. + Nach~\cref{satz:hauptsatz-variorechnung-6.3.2} gibt es einen Minimierer $x_0 ∈ H^1(a,b)$ von $f$. + Ohne Beweis merken wir an, dass dieser Minimierer $x_0$ dann folgendes Randwertproblem löst: + Wir suchen eine Funktion $x = x(t)$ mit + \[ + \begin{cases} + -\ddot x + g'(x) = 0 \\ + \dot x(a) = \dot x (b) = 0 + \end{cases}. + \] + Man nennt die zweite Bedingung \emph{natürliche Randbedingung}. + Weiteres dazu gibt es in den Vorlesungen über Variationsrechnung und partielle Differentialgleichungen. + + Im Wesentlichen folgt die Behauptung aus der Eigenschaft, dass wenn $x_0$ ein Minimierer ist, dann ist $Df(x_0) = 0$, wobei $Df(x_0) ∈ H(a,b)'$ eine geeignet definierte Verallgemeinerung der Ableitung ist. +\end{beispiel} + +\begin{satz} + \label{satz:6.3.4} + Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum und $f: X → ℝ$ unterhalbstetig und konvex, also + $f(λu + (1-λ)v) ≤ λf(u) + (1-λ) f(v)$ für alle $u, v ∈ X, λ ∈ (0,1)$. + Dann ist $f$ auch schwach unterhalbstetig. +\end{satz} + +Für den Beweis benötigen wir den Satz von Mazur, den wir in der Übung beweisen werden. + +\begin{satz}[Mazur] + \label{satz:mazur-6.3.5} + Sei $X$ ein normierter Raum, $(u_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ mit $u_k \slk u_0 ∈ X$. Dann existiert eine Folge von \emph{Konvexkombinationen} + \[ + v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \text{mit} \; \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0, + \] + so dass $v_k \nlk u_0$ in $X$. +\end{satz} + +\begin{proof}[{\cref{satz:6.3.4}}] + Sei also $u_i \sli \bar u ∈ X$. + Wähle $c > \liminf_{i → ∞} f(u_i)$, für eine Teilfolge, die wir wieder mit $(u_i)_{i ∈ ℕ}$ bezeichnen, so dass für alle $i ∈ ℕ$ $f(u_i) < c$. + Nach \cref{satz:mazur-6.3.5} existiert Eine Folge $(v_k)_{k ∈ ℕ} ⊂ X$ von Konvexkombinationen von $u_i$, das heißt + \[ + v_k = \sum_{j=1}^k α_{k,j} u_j \quad \sum_{j=1}^k α_{k,j} = 1, \quad α_{k,j} ≥ 0 + \] + und $v_k \nlk \bar u$ in $X$. + Wegen $f$ (stark) unterhalbstetig und der Konvexität von $f$ gilt + + \[ + f(\bar u) ≤ \liminf_{k →∞} f(v_k) ≤ \liminf_{k → ∞} \Big( \sum_{j=1}^k α_{k,j} \underbrace{f(u_j)}_{<c} \Big) + ≤ c \liminf_{k → ∞} \sum_{j=1}^k α_{k,j} = c. + \] + Da aber $c > \liminf_{i → ∞}f(u_i)$ beliebig war gilt somit $f(\bar u) ≤ \liminf_{i → ∞} f(u_i)$ . +\end{proof} + + + diff --git a/ch07-konsequenzen-baire.tex b/ch07-konsequenzen-baire.tex new file mode 100644 index 0000000..e4eadf2 --- /dev/null +++ b/ch07-konsequenzen-baire.tex @@ -0,0 +1,102 @@ +\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire} + +In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von +Baire ziehen. +Dieses Resultat (\cref{satz:bct-2.3.7}) sagt aus, dass jede nichtleere offene +Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ von zweiter Kategorie ist, +also nicht von erster Kategorie (oder mager) ist. +Eine Menge $M ⊂ X$ heißt \emph{mager}, falls $M ⊂ \bigcup_{n=1} M_n$ mit $M_n$ +nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$. + +Zunächst folgendes Elementares Resultat: +\begin{korollar-nn}[Übung 13] + In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht. +\end{korollar-nn} + +Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt: +\begin{korollar-nn}[Übung 69] + Sei $(X,d)$ ein vollständiger metrischer Raum mit $\dim X = ∞$. Dann ist + jede Hamelbasis von $X$ überabzählbar +\end{korollar-nn} +\begin{beweisidee} + Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$. + Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$, + wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale + Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind. + Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie. +\end{beweisidee} + +\section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit} +Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$ +ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten +Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren. + +\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit] + \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1} + \index{beschränkt!gleichmäßig} + \index{beschränkt!punktweise} + \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit} + Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$ eine Familie von stetigen Operatoren, + die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so + dass + \[ + \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞ + \] + für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt}, + das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit + \[ + \snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ μ + \] + für alle $λ ∈ Λ$. +\end{satz} +\begin{proof} + Wir verwenden den Satz von Baire in einem Widerspruchsbeweis. + Wir setzen $M_k := \{ x ∈ X: m(x) ≤ k \} ⊂ X, k ∈ ℕ$. + + Wir werden gleich zeigen, dass wenn $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht gleichmäßig + beschränkt ist, $M_k$ nirgends dicht ist. + Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager, + also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht. + Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der + $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was + direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein + kann. Das ist ein Widerspruch. + + Nun zum Beweis dieser Aussage. + Wir müssen zeigen, dass $\cl{M_k}^\circ$ leer ist. + Das ist äquivalent dazu, dass es zu jeder Kugel $B_ε(x_0)$ eine Kugel + $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ gibt mit $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$. + Sei also $B_ε(x_9)$ mit $x_0 ∈ X$, $ε > 0$ eine beliebige Kugel in $X$. + Dann gibt es ein $x_1 ∈ B_ε(x_0)$, so dass $x_1 \not\in M_k$: + Angenommen, es würde nicht so ein $x_1$ geben. + Dann ist $B_ε(x_0) ⊂ M_k$, also $\sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} ≤ k$ für alle $x ∈ \cl{B_ε(x_0)}$. + Für $x ∈ X \setminus \{ 0\}$ gilt dann immer + \[ + x_0 + \frac{ε}{\snorm{x}}x ∈ \cl{B_ε(x_0)}, + \] + also + \begin{align*} + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx}_Y &= \sup_{λ ∈ Λ} \norm{ \frac{\snorm x}{ε} \left( A_λx_0 + \frac{ε} {\norm x} A_λ x \right) - \frac{\norm x}{ε} A_λ x_0} \\ + &≤ \frac{\norm{x}}{ε} \left( \sup_{λ ∈ Λ} \norm{A_λ\left( x_0 + \frac{ε}{\norm x} x \right)} + \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx_0} \right) ≤ \frac{\norm{x}}{ε} 2k. + \end{align*} + Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist. + + + Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$. + Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$. + Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$. + Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet. +\end{proof} + +\begin{korollar} + \label{kor:7.1.2} + blub. +\end{korollar} +\begin{proof} + Zu (b): +\end{proof} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "funkana" +%%% End: @@ -33,6 +33,7 @@ \DeclareMathOperator*{\supess}{sup\,ess} \DeclareMathOperator{\conv}{conv} \DeclareMathOperator{\Proj}{proj} +\DeclareMathOperator{\Map}{Map} \DeclareMathOperator{\im}{im} \DeclareMathOperator{\id}{id} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} @@ -66,6 +67,16 @@ \scriptstyle#1\,% }% }} +\def\nlk{\yrightarrow[k→∞]{}} +\def\nll{\yrightarrow[l→∞]{}} +\def\nli{\yrightarrow[i→∞]{}} +\def\nlj{\yrightarrow[j→∞]{}} +\def\nln{\yrightarrow[n→∞]{}} +\def\slk{\yrightharpoonup[k→∞]{}} +\def\sll{\yrightharpoonup[l→∞]{}} +\def\sli{\yrightharpoonup[i→∞]{}} +\def\slj{\yrightharpoonup[j→∞]{}} +\def\sln{\yrightharpoonup[n→∞]{}} } \addbibresource{ref.bib} @@ -73,6 +84,11 @@ % \makeindex[columns=2,intoc=true] \makeindex + + +\allowdisplaybreaks + + \begin{document} \sloppy \maketitle @@ -101,6 +117,7 @@ Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf \include{ch04-unitaere-raeume} \include{ch05-hahn-banach} \include{ch06-schwache-topologien} +\include{ch07-konsequenzen-baire} \nocite{*} \let\emph\em diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 3543e08..fff7e78 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -2,7 +2,7 @@ 12pt, DIV=10, BCOR=4mm, - 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