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authorUlli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>2017-12-28 01:28:31 +0100
committerUlli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>2017-12-28 01:28:31 +0100
commit57805f3240f4241fcc813a2595e4f6a59366d48a (patch)
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-rw-r--r--ch02-topologie.tex24
-rw-r--r--motivation.tex2
3 files changed, 17 insertions, 11 deletions
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index 262d130..2f43694 100644
--- a/ch01-lineare-struktur.tex
+++ b/ch01-lineare-struktur.tex
@@ -104,6 +104,8 @@ Sei im Folgenden stets $\K = ℝ$ oder $\K = ℂ$. Zunächst die
\begin{beispiel}[Folgenräume]
\index{$\ell^p$}
+ \index{Folge!$p$-summierbar}
+ \index{Raum!Folgen-}
Es ist
\[
\ell^p = \{ x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ} : ξ_n ∈ \K, \sum_{n=1}^∞ |ξ_n|^p < ∞ \}
diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex
index dad2256..35f1f1e 100644
--- a/ch02-topologie.tex
+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -6,6 +6,7 @@
\index{Raum!topologischer}
\index{Struktur!topologische}
\index{offen}
+ \index{Menge!offen}
\index{Topologie}
\label{defi:top-raum-2.1.1}
Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$.
@@ -18,10 +19,10 @@
\item
\index{Topologie!indiskrete}
\index{Topologie!Klumpen-}
- Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
+ Für alle Mengen $X$ ist $\T = \{ ∅, X\}$ eine Topologie auf $X$, die sogenannte \emph{indiskrete Topologie}, \emph{gröbste Topologie} oder auch \emph{Klumpentopologie}.
\item
\index{Topologie!diskrete}
- Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
+ Für alle Mengen $X$ ist $\T = \Pot X$ eine Topologie, die sogenannte \emph{diskrete Topologie} oder \emph{feinste Topologie} auf $X$.
\item
\index{Topologie!natürliche}
In Analysis I wird eine Menge $U ⊂ ℝ$ für offen erklärt, wenn es zu jedem $x ∈ U$ ein $\epsilon > 0$ gibt, so dass für alle $ y ∈ ℝ$ mit $|x - y| < \epsilon $ auch $y ∈ U$ gilt.
@@ -29,14 +30,14 @@
Diese Topologie $\Tnat$ wird \emph{natürliche Topologie} genannt.
\item
\index{Topologie!cofinite}
- Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
- $X$ wird definiert als
- \[
- \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
- \]
+ Sei $X$ eine beliebige Menge. Die \emph{cofinite Topologie} auf
+ $X$ wird definiert als
+ \[
+ \Tcof = \{ Y ⊂ X: Y = ∅\; \text{oder}\; \complement_X Y\, \text{ist endlich}\}
+ \]
\item
\index{Raum!Sierpinski-}
- Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
+ Der \emph{Sierpinski-Raum} ist die Menge $\{0,1\}$ versehen mit der Topologie $\{ ∅, \{0\}, \{0,1\}\}$.
\end{enumerate}
\end{beispiele-nn}
\begin{definition}
@@ -45,6 +46,7 @@
\begin{enumerate}
\item
\index{abgeschlossen}
+ \index{Menge!abgeschlossen}
$M$ heißt \emph{abgeschlossen}, wenn $X \setminus M$ offen ist.
\item
\index{Umgebung}
@@ -282,6 +284,7 @@ existiert.
\end{definition}
\begin{satz}
\label{satz:metrik-induziert-top-2.2.2}
+ \index{Topologie!induzierte}
Sei $(X,d)$ pseudometrischer Raum. Dann wird durch
\[
U ∈ \T_d :\Longleftrightarrow ∀ x ∈ U ∃ ε > 0: B_ε(x) ⊂ U
@@ -494,6 +497,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
\begin{definition}[mager, Menge von erster Kategorie, Menge von zweiter Kategorie]
\label{defi:mager-2.3.6}
\index{mager}
+ \index{Menge!mager}
\index{Kategorie!erste}
\index{Kategorie!zweite}
Eine Teilmenge $M$ eines metrischen Raumes $(X,d)$ heißt \emph{von erster Kategorie} oder \emph{mager}, falls sie
@@ -501,7 +505,7 @@ jedoch lässt sich jeder metrische Raum zu einem vollständigen Erweitern.
\end{definition}
Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B beim Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit oder dem Open-Mapping-Theorem.
\begin{satz}[Baire]
- \label{satz:bcd-2.3.7}
+ \label{satz:bct-2.3.7}
\index{Satz!von Baire}
\index{BCT}
Jede nichtleere offene Menge eines vollständigen metrischen Raumes $(X,d)$ ist von zweiter Kategorie (insbesondere $X$ selbst).
@@ -523,7 +527,7 @@ Der folgende Satz wird beim Beweis mehrerer fundamentaler Sätze benötigt, z.B
\]
und $B_{r_2}(x_2) ∩ M_2 = \emptyset$.
Durch Fortsetzen dieses Schemas finden wir eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ X$ und Radien $(r_n)_{n ∈ ℕ} ⊂ (0,\infty )$ mit $r_n \le r/2^n \xrightarrow[n → \infty ]{} 0$.
- Damit sind alle Voraussetzungen von \cref{schachtelsatz} erfüllt. Folglich existiert genau ein
+ Damit sind alle Voraussetzungen von~\cref{satz:schachtelsatz-2.3.5} erfüllt. Folglich existiert genau ein
\[
\tilde x ∈ \bigcap_{n ∈ ℕ} B_{r_n} (x_n) ⊂ B_r(x_0) ⊂ M.
\]
diff --git a/motivation.tex b/motivation.tex
index cc42a16..e680534 100644
--- a/motivation.tex
+++ b/motivation.tex
@@ -33,7 +33,7 @@ Doch zunächst ein paar Probleme, für deren Lösung man die Funktionalanalysis
Sei $\mathcal T = \{ 1, \cos t, \sin t, \cos (2t), \sin (2t), … \} =
\{\phi_i\}_{i ∈ ℕ}$. Dann ist bekanntlich
\[
- \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2\pi } φ_i(t) φ_j(t) dt = 2\pi \delta _{i,j},
+ \langle \phi_i, \phi_j \rangle = ∫_0^{2\pi } φ_i(t) φ_j(t) \dd t = 2\pi \delta _{i,j},
\]
wobei $\delta _{i,j}$ das Kronecker-Delta bezeichne.
Also lässt sich durch Normierung ein Orthonormalsystem aus $\mathcal T$ gewinnen.