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authorUlli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>2018-01-13 00:44:34 +0100
committerUlli Kehrle <ulli.kehrle@rwth-aachen.de>2018-01-13 00:44:34 +0100
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Kapitel 5 ergänztHEADmaster
-rw-r--r--Makefile6
-rw-r--r--ch01-lineare-struktur.tex3
-rw-r--r--ch02-topologie.tex4
-rw-r--r--ch03-topologisch-lineare-raeume.tex18
-rw-r--r--ch04-unitaere-raeume.tex79
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-rw-r--r--ch07-konsequenzen-baire.tex22
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-rw-r--r--funkana-noproof.tex24
-rw-r--r--index.ist7
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-rw-r--r--skript.cls13
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index 4f98ae7..f4c50e8 100644
--- a/Makefile
+++ b/Makefile
@@ -1,11 +1,15 @@
n: all publish
all: pdf/funkana.pdf \
- pdf/funkana-ebook.pdf
+ pdf/funkana-ebook.pdf \
+ pdf/funkana-noproof.pdf \
pdf/funkana.pdf: funkana.tex *.tex skript.cls
latexmk funkana.tex
+pdf/funkana-noproof.pdf: funkana.tex *.tex skript.cls
+ latexmk funkana-noproof.tex
+
pdf/funkana-ebook.pdf: funkana-ebook.tex *.tex skript.cls
latexmk funkana-ebook.tex
diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex
index c3e9c8e..96b8b90 100644
--- a/ch01-lineare-struktur.tex
+++ b/ch01-lineare-struktur.tex
@@ -54,6 +54,7 @@ Wir werden uns aber im weiteren Verlauf quasi ausschließlich mit den aus der An
Falls $X_1 ∩ X_2 = \{ 0\}$, schreiben wir $X_1 \oplus X_2$ und nennen die Summe \emph{direkt}.
\item
\index{Raum!Quotienten-}
+ \index{Quotientenraum}
Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $X$. Definiere die Äquivalenzrelation $\sim$ auf $X$ durch
$x \sim y \Leftrightarrow x - y ∈ Y$.
Dann wird die Menge der Äquivalenzklassen mit vertreterweiser Addition und Multiplikation auch ein $\K$-Vektorraum.
@@ -152,6 +153,8 @@ Die Funktionalanlaysis versucht nun, einige der Konzepte, die wir von diesen Rä
\end{beispiel}
\section{Lineare Abbildungen}
+Es gibt in linearen Räumen natürlich Abbildungen, die mit der Struktur des Raumes verträglich sind.
+Diese nennt man \emph{Vektorraumhomomorphismen} oder \emph{lineare Abbildungen}.
\label{sec:lineare-abbildungen}
\begin{definition}[Lineare Abbildung]
\index{Funktion!linear}
diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex
index f06fbba..4a237a5 100644
--- a/ch02-topologie.tex
+++ b/ch02-topologie.tex
@@ -108,7 +108,7 @@ Wir führen zunächst einige wichte Begriffe ein:
Sei $(X,\T)$ eine topologischer Raum.
Für alle $x,y \in X$ mit $x \neq y$
existieren $U \in \U_x, V \in \U_x$ mit $U \cap V = \emptyset$.
- Dann heißt $(X,\T)$ Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom.
+ Dann heißt $(X,\T)$ \index{Hausdorff-Raum}Hausdorff-Raum bzw. genügt dem $T_2$-Axiom.
\end{definition}
\begin{beispiele-nn}
\begin{enumerate}
@@ -127,7 +127,7 @@ Wir führen zunächst einige wichte Begriffe ein:
\end{enumerate}
\end{beispiele-nn}
-\begin{definition}[Konvergenz]
+\begin{definition}[\index{Konvergenz}Konvergenz]
\index{Folge!konvergent}
\label{defi:konvergenz-2.1.5}
Eine Folge $\{x_{n}\}_{n \in \N} \subset X$ heißt konvergent gegen $x_{0} \in X$,
diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
index 5a471f4..69df125 100644
--- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
+++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex
@@ -184,9 +184,9 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
β_n \yrightarrow[n → \infty ]{} 0 \implies β_nx \yrightarrow[n → \infty ]{} 0.
\]
\end{korollar}
-\begin{noproof*}
+\begin{noproof}
~
-\end{noproof*}
+\end{noproof}
\begin{definition-nn}[Translationsoperator, Multiplikationsoperator]
\label{defi:translationsoperator-multiplikationsoperator}
@@ -222,6 +222,7 @@ Unmittelbar daraus erhalten wir folgendes Korollar:
\begin{korollar}[Invarianzprinzip]
\label{kor:invarianzprinip}
\index{Invarianzprinzip}
+ \index{Prinzip!Invarianz-}
Im topologischen linearen Raum $(X,\T)$ ist die Topologie bereits durch die offenen Umgebungen von $0 ∈ X$ bestimmt. Alle anderen offenen Mengen entstehen durch Translation.
\end{korollar}
\begin{proof}
@@ -349,7 +350,7 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K ×
\end{definition}
\begin{bemerkung}
\label{bem:norm-raum-ist-quasinorm-raum-3.3.6}
- Jeder normierte Raum ist auch ein quasi-normierter Raum mit $|-| := \norm-$.
+ Jeder normierte Raum wird auch zu einem quasi-normierten Raum via $|-| \coloneq \norm-$.
\end{bemerkung}
\begin{satz}
\label{satz:quasi-norm-ind-transinvar-metrik-3.3.7}
@@ -1256,7 +1257,7 @@ Nun wollen wir so ein Konzept für Beschränktheit auch in allgemeinen metrische
Im Allgemeinen ist die Umkehrung falsch.
\begin{definition-nn}[Heine"=Borel"=Eigenschaft]
- \index{Heine"=Borel"=Eigenschaft}
+ \index{Heine-Borel-Eigenschaft}
Sei $(X,)$
Falls auch die Umkehrung gilt, dann besitzt $X$ die \emph{Heine"=Borel"=Eigenschaft}.
\end{definition-nn}
@@ -1513,9 +1514,10 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein:
\end{satz}
\subsection{Stetigkeit in normierten Räumen}
-\begin{definition}
+\begin{definition}[beschränkt]
+ \index{Abbildung!beschränkt}
Seien $X, Y$ topologische lineare Räume.
- Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist.
+ Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{\index{beschränkt}beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist.
\end{definition}
\begin{satz}
@@ -1599,8 +1601,8 @@ In topologischen linearen Räumen gilt dies jedoch nciht.
\end{proof}
\begin{definition}
- Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet $\L(X, Y) \coloneq \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}.
- Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' \coloneq \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{Dualraum von $X$}.
+ Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Dann bezeichnet \index{$\L(X, Y)$}$\L(X, Y) \coloneq \{ T: X → Y: T$ linear und stetig $\}$ den \emph{Raum der stetigen (beschränkten) Operatoren}.
+ Im Spezialfall $Y = \K$ sei $X' \coloneq \L(X, \K)$ der \emph{Raum der stetigen Funktionale} oder auch der \emph{\index{Dualraum}Dualraum von $X$}.
\end{definition}
\begin{bemerkung-nn}
\begin{enumerate}
diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex
index e3823c8..416a421 100644
--- a/ch04-unitaere-raeume.tex
+++ b/ch04-unitaere-raeume.tex
@@ -450,6 +450,85 @@ Im Allgemeinen kann auch $X' = \{0\}$ gelten.
Ist $X$ jedoch ein Hilbertraum, so ist stets $X' \ne \{0\}$, denn zu $y ∈ X$ ist durch $y'[x] \coloneq \langle y,x \rangle, x ∈ X$ jeweils ein $y' ∈ X'$ erklärt.
Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums:
+\begin{satz}[Riesz'scher Darstellungssatz]
+ \label{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1}
+ \index{Satz!Riesz'scher Darstellungs-}
+ \index{Riesz'scher Darstellungssatz}
+ Sei $(X,\langle -,- \rangle)$ ein (reeller oder komplexer) Hilbertraum und $y' ∈ X'$ gegeben.
+ Dann existiert genau ein Element $\tilde y = \tilde y(y') ∈ X$, so dass
+ \[
+ y'[x] = \langle \tilde y, x \rangle
+ \]
+ für alle $x ∈ X$ gilt.
+
+
+ Ist $X$ ein reeller Hilbertraum, so ist das eindeutig bestimmte Element $\tilde y = \tilde y (y') ∈ X$ von oben auch die eindeutig bestimmte Lösung des \emph{Variationsproblems}\index{Variationsproblem}, das die Abbildung $F: X → ℝ, x ↦ \langle x,x \rangle - 2y'[x]$ minimiert.
+ Jede Minimalfolge $(x_j)_{j ∈ ℕ} ⊂ X$ des Variationsproblems, also eine Folge mit $\lim_{j → ∞} F(x_j) = \inf_{x ∈ X} F(x)$, konvergiert gegen dieses $\tilde y$, das heißt $F(\tilde y ) = \inf_{x ∈ X} F(x)$ und $\lim_{j → ∞} \norm{x_j - \tilde y} = 0$.
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}
+ \label{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2}
+ Sei $B: X → X → \K$ eine \emph{hermitesche Sesquilinearform}\index{hermitesch}\index{Sesquilinearform}, die
+ \begin{enumerate}
+ \item \emph{beschränkt (stetig)}\index{stetig!Bilinearform}, also es gibt ein $c_1 > 0$, so dass $|B(x,y)| ≤ c_1 \norm x \snorm y$ für alle $x, y ∈ X$
+ \item \emph{positiv definitiv}\index{positiv definit!Bilinearform}. also es gibt ein $c_2 > 0$, so dass $B(x,x) ≥ c_2 \norm{x}^2$ für alle $x ∈ X$
+ \end{enumerate}
+ ist, dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft
+ \[
+ ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x).
+ \]
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung}[Lax-Milgram]
+ \index{Lax-Milgram}
+ \label{bem:lax-milgram-4.4.3}
+ Die Voraussetzung \emph{hermitesch} in~\cref{kor:aus-riesz-spezfall-von-lax-milgram-4.4.2} ist nicht notwendig:
+ Ist $X$ ein Hilbertraum, $B: X × X → \K$ eine \emph{beschränkte Sesquilinearform}, für die es ein $c_3 > 0$ gibt, so dass $\Re(B(x,x)) ≥ c_3 \norm x ^2$ für alle $x ∈ X$ ist,
+ dann existiert zu jedem Funktional $y' ∈ X'$ genau ein $y ∈ X$ mit der Eigenschaft
+ \[
+ ∀x ∈ X: y'[x] = B(y,x).
+ \]
+\end{bemerkung}
+\begin{proof}
+ In~\cite[Satz 4.7]{alt2002lineare}
+\end{proof}
+
+Satz~\ref{satz:rieszscher-darstellungssatz-4.4.1} liefert also, dass die Abbildung
+\index{$J_x$}
+\[
+ J_X: X → X', y ↦ y',
+\]
+wobei $y'$ als $X → \K, x ↦ \langle y,x \rangle$ definiert ist, bijektiv und sesquilinear ist.
+Damit sind $X$ und $X'$ algebraisch isomorph. Es gilt für $x, y ∈ X$
+\[
+ \lAngle J_X(y),x \rAngle = \lAngle J_X(y), x \rAngle_{X'×X} \coloneq J_x(y)[x] = \langle y,x \rangle.
+\]
+Diese Isomorphie gilt auch topologisch:
+
+\begin{satz}
+ \label{satz:hilbertraum-dualraum-isomorph-4.4.4}
+ Sei $X$ ein Hilbertraum.
+ Dann ist auch $X'$ ein Hilbertraum und $J_X: X → X'$ ist ein sesquilinearer Isomorphismus, der die Norm erhält, also eine Isometrie\index{Isometrie}.
+ Wir nennen $J_x$ den \emph{kanonischen Isomorphismus}\index{kanonischer Isomorphismus} zwischen $X$ und $X'$.
+ Genauer gilt:
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $\langle y_1', y_2' \rangle_X' \coloneq \conj{\langle y_1, y_2 \rangle_X}$ macht $X'$ zum Skalarproduktraum.
+ \item
+ Die durch $\langle -,- \rangle_{X'}$ induzierte Norm $\norm{y'}_{X',S}$ ist gerade die von $X' = \L(X, \K)$ bekannte, das heißt
+ \[
+ \norm{y'}_{X',S} = \norm{y'}_{X',N} = \sup_{\norm x ≤ 1} \left| y'[x] \right|.
+ \]
+ \item
+ Da $(X',\norm-_{X',N})$ vollständig war, ist $(X', \langle -,- \rangle_{X'})$ ein Hilbertraum.
+ \item
+ $J_x: X → X'$ ist Isometrie, das heißt
+ \[
+ ∀y ∈X: \norm{J_x(y)}_{X'} = \norm{y}_X.
+ \]
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
+
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex
index e532ad9..c0ff875 100644
--- a/ch05-hahn-banach.tex
+++ b/ch05-hahn-banach.tex
@@ -6,7 +6,9 @@
Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[Fortsetzung]
+ \index{Fortsetzung}
+ \label{defi:fortsetzung-5.1.1}
Eine Abbildung $A: M → Y$ heißt eine Fortsetzung einer Abbildung $A_0: M_0 → X$, falls
\begin{enumerate}
\item $ M_0 ⊂ M$,
@@ -16,7 +18,8 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
\end{definition}
\begin{satz}
- Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normietre Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
+ \label{satz:auf-dichtem-teilraum-def-stetig-linear-abb-ist-fortsetzbar-5.1.2}
+ Seien $(X,\norm-)$ und $(X_0,\norm-)$ normierte Räume, $X_0 ⊂ X$ dicht in $X$.
Weiter sei $(Y, \norm-_{Y})$ ein Banachraum und $A_0 : X_0 → Y$ stetig und linear.
Dann gibt es genau eine stetige lineare Fortsetzung $A : X → Y$ von $A_0$ auf $X$.
Für diese gilt:
@@ -74,6 +77,7 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
\end{proof}
\begin{korollar}
+ \label{kor:abb-auf-dichter-teilmenge-null-ueberall-null-5.1.3}
Ist $A ∈ \L(X,Y)$, $X, Y$ normiert sowie $Y$ vollständig und $M ⊂ X$ dicht, dann gilt:
Falls $Ax = 0$ für alle $x ∈ M$, dann ist $A$ schon die Nullabbildung auf $X$.
\end{korollar}
@@ -84,7 +88,12 @@ Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wi
Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
-\begin{satz}
+\begin{satz}[Hahn-Banach]
+ \label{satz:hahn-banach-5.1.4}
+ \index{Satz!von Hahn-Banach}
+ \index{Hahn-Banach}
+ \index{positiv homogen}
+ \index{subadditiv}
Auf dem linearen Raum $X$ über $ℝ$ gebe es eine Abbildung $p: X → ℝ$ mit:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item
@@ -93,7 +102,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
$p(x+y) \le p(x) + p(y)$ für alle $x, y ∈ X$ (subadditiv)
\end{enumerate}
- Weiter seine $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
+ Weiter seien $X_0$ ein linearer Teilraum von $X$ und $f_0 : X_0 → ℝ$ eine lineare Abbildung mit
\[
∀x ∈ X_0 : f_0(x) \le p(x).
\]
@@ -107,7 +116,7 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
\end{bemerkung-nn}
\begin{proof}
Schritt 1.
- Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneqq X$).
+ Wir setzen $f_0$ auf $X_1 \coloneq X_0 \oplus \lspan{x_1}$ für ein $x_1 \not\in X$ (existiert immer solange $X_0 \subsetneq X$).
Offenbar hat jedes $x ∈X_1$ eine eindeutig Darstellung als
$ y = y + \alpha x_1 $, mit $y ∈ X_0$, $\alpha ∈ ℝ$.
Dann ist mit $c ∈ ℝ$ beliebig
@@ -154,17 +163,89 @@ Ist $X_0$ nicht dicht in $X$, wird die Fortsetzung schwieriger.
\end{proof}
\begin{bemerkung-nn}
- \begin{enumerate}
- \item
Ohne die Zusatzforderung $f(x) \le p(x)$ für alle $x ∈X$ ist die lineare Fortsetzbarkeit trivial.
- \item
- Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog möglich. % yos IV 4
- \end{enumerate}
+ Eine Fortsetzung für lineare Funktionale $f_0: X_0 → \K = ℂ$ ist analog
+ möglich \cite[Ch. IV, 4]{MR617913}.
\end{bemerkung-nn}
-%% HIER FEHLT EINE VORLESUNG
+\begin{korollar}[Hahn-Banach für normierte Räume]
+ \index{Hahn-Banach!für normierte Räume}
+ \index{Satz!von Hahn-Banach für normierte Räume}
+ \label{kor:hahn-banach-fuer-normierte-raeume-5.1.5}
+ Sei $(X,\norm-)$ ein normierter Raum, $X_0$ ein linearer Teilraum und $f_0 ∈ X_0'$ sei ein stetiges lineares Funktional auf $X_0$. Dann existiert eine normerhaltende Fortsetzung $f ∈ X'$ vobn $f_0$, das heißt
+ \[
+ f|_{X_0} = f_0\quad \text{und} \quad \norm{f}_{X'} = \norm{f_0}_{X_0'}.
+ \]
+\end{korollar}
+
+\section{Existenz nichttrivaler stetiger Funktionale}
+
+\begin{korollar}
+ \label{kor:ex-nichttriv-stetig-funktional-5.2.1}
+ Zu jedem Element $x_0 \ne 0$ des normierten Raumes $(X,\norm-)$ existiert ein $f ∈X'$ mit $\norm{f}_{X'} = 1$ und $f(x_0) = \norm{x_0}$.
+ Insbesondere ist $X' \ ne \{0\}$.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}[Normformel]
+ Für jedes Element $x$ eines normierten Raumes $(X, \norm-)$ gilt
+ \[
+ \norm{x} = \sup_{f ∈ X', \norm{f} = 1} |f(x)|.
+ \]
+
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+ \label{kor:5.2.3}
+ Sei $(X,\norm -)$ ein normierter Raum. Dann gilt
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ Falls $f(x) = 0$ für alle $f ∈ X'$ gilt, war bereits $x = 0$.
+ \item
+ Aus $f(x_1) = f(x_2)$ für alle $f ∈ X'$ folgt $x_1 = x_2$.
+ \item
+ Aus $|f(x_0)| ≤ C$ für alle $f ∈ X'$ mit $\norm{f} = 1$ folgt $\norm {x_0} ≤ C$.
+ \end{enumerate}
+\end{korollar}
+
+\begin{bemerkung}
+ In jedem lokalen-konvexen topologischen linearen Raum $X$ gibt es nichttriviale stetige lineare Funktionale, das heißt $\{0\} \subsetneq X'$.
+\end{bemerkung}
+
+\begin{satz}
+ Sei $Y$ ein linearer Teilraum von $(X,\norm-)$ und für $x_0 ∈ X \setminus Y$
+ \[
+ d = \operatorname{dist}(x_0,Y) \coloneq \inf_{y ∈ Y} \norm{x_0 - y}.
+ \]
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ Dann gilt für alle $f ∈ X'$ mit $\norm f = 1$ und $f|_Y = 0$:
+ \[
+ |f(x_’)| ≤ \operatorname{dist}(x_0, Y).
+ \]
+ \item
+ Im Falle $d > 0$ gibt es ein derartiges $f$ mit $f(x_0) = \operatorname{dist}(x_0, Y)$.
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
-\begin{satz}[5.3.1]
+\begin{satz}[Dichtekriterium von Banach]
+ \index{Dichtekriterium von Banach}
+ \index{Banachsches Dichtekriterium}
+ \label{folgerung:dichtekriterium-banach-5.2.6}
+ Sei $(X,\norm-)$ ein normiterter Raum und $M ⊂ X$.
+ Dann sind äquivalent:
+ \begin{enumerate}
+ \item
+ $\operatorname{cl}_X(\lspan(M)) = X$
+ \item
+ Für alle $f ∈ X'$ mit $f|_{M} = 0$ gilt schon $f = 0$.
+ \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\section{Trennung Konvexer Mengen}
+\begin{satz}[Mazur]
+ \index{Satz!von Mazur}
+ \index{Mazur}
+ \label{satz:mazur-5.3.1}
Sei $(X,\norm\cdot)$ ein normierter Raum über $ℝ$, $M ⊂ X$ abgeschlossen und konvex und $0 ∈ M$.
Dann existiert zu jedem $x_0 \not\in M$ ein $f ∈ X'$ mit
\[
@@ -189,7 +270,7 @@ Die Hyperebene $H = \{ x ∈ X: f(x) = 1 + \epsilon \}$ für $0 < \epsilon < f(
\frac r 2 > \norm{z_{n_0} - x_0} = \norm{y_{n_0 - x_0} + u_{n_0}} \ge |\underbrace{\norm{y_{n_0-x_0}}}_{\ge 2r} - \underbrace{\norm{u_{n_0}}}_{\le r}| \ge r.
\]
- Verwende nun das Minkowski-Funktional
+ Verwende nun das Minkowski-Funktional\index{Minkowski-Funktional}
\[
p_N(x) \coloneq \inf \{ρ > 0: ρ^{-1} x ∈ N\}, \quad x ∈ X.
\]
@@ -233,7 +314,10 @@ Dann existiert $X'$ und ist ein Banachraum.
Aber dann existiert auch $X'' \coloneq (X')'$ und ist ebenfalls ein Banachraum.
Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
-\begin{definition}
+\begin{definition}[kanonische Abbildung]
+ \index{$J_0$}
+ \index{kanonische Abbildung}
+ \label{defi:kanonische-abb-5.4.1}
Die kanonische Abbildung $J_0: X → X''$ ist definiert durch
\[
J_0(x) [x'] = \lAngle J_0(x), x' \rAngle_{X''×X'} \coloneq \lAngle x', x \rAngle_{X'×X} = x'[x] ∈ \K
@@ -267,14 +351,14 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\[
\lAngle x', x_1-x_2 \rAngle = 0.
\]
- Mit Folgerung 2.3(1) folgt $x_1-x_2 = 0$.
+ Mit~\cref{kor:5.2.3} folgt $x_1-x_2 = 0$.
Zur Isometrieeigenschaft bleibt zu zeigen: $\norm{J_0x} = \norm{x}$ für alle $x ∈ X''$.
- „$\le$“: Aus (4.1) folgt bereits
+ „$\le$“: Aus~\cref{defi:kanonische-abb-5.4.1} folgt bereits
\[
\norm{J_0(x)}_{X''} = \sup_{\norm{x'} \le 1} |J_0(x)[x'] \le \norm{x}_X.
\]
- „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach Korollar 2.1 ein $x_0' ∈ X'$ mit
+ „$\ge$“: Zu $x_0 ∈ X$ existiert nach ein $x_0' ∈ X'$ mit
$\norm{x_0'}_{X'} = 1$ und $x_0'[x_0]= \norm{x_0}$.
Also folgt
\[
@@ -283,7 +367,9 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
Da $x_0$ beliebig war, gilt $\norm{J_0x}_{X''} \ge \norm{x}$.
\end{proof}
-\begin{definition}
+\begin{definition}[reflexiv]
+ \index{reflexiv}
+ \label{defi:reflexiv-5.4.3}
Ein Banachraum $X$ heißt \emph{reflexiv}, wenn $J_0$ surjektiv ist, also $X$ und $X''$ isomorph sind vermöge $J_0$.
\end{definition}
@@ -296,6 +382,7 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\end{warnung-nn}
\begin{satz}
+ \label{satz:hilbertraum-refl-5.4.4}
Jeder Hilbertraum $H$ ist reflexiv
\end{satz}
\begin{noproof}
@@ -316,8 +403,8 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
Dies ist zum Beispiel in der Variationsrechnung sehr wichtig.
\end{bemerkung-nn}
-\begin{definition}
- Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
+\begin{definition}[schwach konvergent]
+ Eine Folge $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ in einem normierten Raum $X$ heißt \emph{\index{Konvergenz!schwache}\index{schwach konvergent}schwach konvergent} gegen $x ∈ X$ (in Zeichen: $x_n \xrightharpoonup[n → \infty ]{} x$), wenn
\[
\lim_{n → \infty } x'[x_n] = x'[x]
\]
@@ -329,17 +416,15 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten.
\end{bemerkung-nn}
\begin{beispiel-nn}
- Für $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ Hilbertraumbasis in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
+ Für eine Hilbertraumbasis $(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ in einem separablem Hilbertraum $X$ gilt
\[
- \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty )
+ \hat e_i \rightharpoonup 0 ∈ X\;(i → \infty ).
\]
-\end{beispiel-nn}
-\begin{bemerkung-nn}
$(\hat e_i)_{i ∈ ℕ}$ ist nicht konvergent in der Normtopologie, die Folge
ist noch nicht mal Cauchy, insbesondere ist $\norm{\hat e_i - 0}
\not\rightarrow 0\; (i → \infty )$.
-\end{bemerkung-nn}
+\end{beispiel-nn}
\begin{proof}
Der kanonische Isomorphismus $J_X: X → X', y ↦ y'$ mit $y'[x] = \langle y,x \rangle$ für alle $x ∈ X$ liefert
@@ -483,7 +568,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
\]
Wir nennen
\[
- \Var_{a,b}(v) := \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v)
+ \Var_{a,b}(v) \coloneq \sup_{Z \text{ endl Zerl.}} V_Z(v)
\]
die \emph{totale Variation von $v$} auf $[a,b]$.
\end{definition}
@@ -495,7 +580,7 @@ Dann ist für $x_n := (ξ_i^{(n})_{n ∈ ℕ} ∈ \ell^p$
\end{beispiel-nn}
\begin{bemerkung-nn}
- Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist v. b. V. $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
+ Der Raum $\operatorname{BV}[a,b] := \{ v: [a,b] → ℝ:v $ ist von beschränkter Variation $\}$ ist ein linearer Raum und wird durch
\[
\norm{v} := |v(a)| + \Var_{a,b}(v)
\]
diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex
index d9a41b9..88f08a1 100644
--- a/ch06-schwache-topologien.tex
+++ b/ch06-schwache-topologien.tex
@@ -342,7 +342,7 @@ Außerdem haben beschränkte Folgen schwach konvergente Teilfolgen, also schwach
\begin{beispiel}[Anwendung auf Variationsprobleme]
- \index{Variationsprobleme}
+ \index{Variationsproblem}
\index{Variationsrechnung}
Sei $X$ ein Funktionenraum über $(a,b) ⊂ ℝ$, $f: X → ℝ$, $x ↦ ∫_a^b F(x,\dot x) \dd t$.
Wir suchen $x_0 = x_0(t), t∈ (a,b)$ mit $f(x_0) = \min_{x ∈ M} f(x)$ und $x_0 ∈ M ⊂X$, wobei $M$ die Teilmenge der zulässigen Funktionen bezeichne.
diff --git a/ch07-konsequenzen-baire.tex b/ch07-konsequenzen-baire.tex
index e4eadf2..4bf56d5 100644
--- a/ch07-konsequenzen-baire.tex
+++ b/ch07-konsequenzen-baire.tex
@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{Konsequenzen aus dem Satz von Baire}
+\chapter[Konsequenzen aus dem Satz von Baire]{Konsequenzen aus dem\\ Satz von Baire}
In diesem Kapitel werden wir einige interessante Folgenrungen aus dem Satz von
Baire ziehen.
@@ -10,7 +10,7 @@ nirgends dicht, also $\cl{M_n}^\circ = \emptyset$.
Zunächst folgendes Elementares Resultat:
\begin{korollar-nn}[Übung 13]
- In einem vollstänndigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
+ In einem vollständigen metrischen Raum sind Komplemente von mageren Mengen dicht.
\end{korollar-nn}
Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
@@ -21,26 +21,26 @@ Außerdem haben wir bereits in der Übung gezeigt:
\begin{beweisidee}
Angenommen, es gäbe eine abzählbare Hamelbasis $\{b_i\}_{i ∈ ℕ}$.
Dann ist $X = \bigcup_{n ∈ ℕ} \lspan \{b_1,…,b_n\}$,
- wobei $lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
+ wobei $\lspan \{b_1,…,b_n\}$ nirgends dicht sind, da endlich"=dimensionale
Unterräume von $X$ vollständig, also abgeschlossen sind.
Aber dann wäre $X$ von erster Kategorie.
\end{beweisidee}
\section{Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit}
-Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm -_{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm - _{Y})$
+Sei in diesem Abschnitt $(X,\snorm \cdot _{X})$ ein Banachraum und $(Y, \snorm \cdot _{Y})$
ein normierter Raum. Wir werden hier die Konvergenz von Elementen des normierten
-Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
+Raumes $(\L(X,Y),\snorm \cdot _{\L(X,Y)})$ studieren.
-\begin{satz}[Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit]
- \label{satz:gleichmäßige-beschränktheit7.1.1}
+\begin{satz}[{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}]
+ \label{satz:gleichmaessige-beschraenktheit-7.1.1}
\index{beschränkt!gleichmäßig}
\index{beschränkt!punktweise}
- \index{Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit}
+ \index{Prinzip!der gleichmäßigen Beschränktheit}
Sei $\{A_λ\}_{λ ∈ \Lambda} ⊂ \L(X,Y)$ eine Familie von stetigen Operatoren,
die \emph{punktweise beschränkt} ist, das heißt es gibt Zahlen $m(x)$, so
dass
\[
- \sum_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
+ \sup_{λ ∈ Λ} \snorm{A_λx} = m(x) < ∞
\]
für alle $x ∈ X$. Dann ist $(A_λ)_{λ ∈ Λ}$ \emph{gleichmäßig beschränkt},
das heißt, es gibt ein $μ > 0$ mit
@@ -58,7 +58,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
Ist dies gezeigt, so ist $\hat M \coloneq \bigcup_{k ∈ ℕ} M_; ⊂ X$ mager,
also das Komplement $X \setminus \hat M$ dicht.
Für alle $x ∈ X \setminus \hat M$ gilt dann aber, dass $x$ in keinem der
- $m_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
+ $M_k$ ist, also insbesondere gibt es kein $k_0 ∈ ℕ$ mit $m(x) ≤ k_0$, was
direkt bedeutet, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ nicht punktweise beschränkt sein
kann. Das ist ein Widerspruch.
@@ -82,7 +82,7 @@ Raumes $(\L(X,Y),\snorm - _{\L(X,Y)})$ studieren.
Damit ist $\snorm{A_λ}_{\L(X,Y)} ≤ \frac{2k}{ε}$ für alle $λ ∈ Λ$ im Widerspruch zur Annahme, dass $\{A_λ\}_{λ ∈ Λ}$ \emph{nicht} gleichmäßig beschränkt ist.
- Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0) mit x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
+ Sei also $x_1 ∈ B_ε(x_0)$ mit $x_1 \not\in M_k$. Folglich ist $m(x_1) > k$.
Dann gibt es also ein $λ_0 ∈ Λ$ mit $\snorm{A_λx_1}_Y > k$.
Da $A_{λ_0}$ stetig ist, gibt es $ρ > 0$ mit $B_ρ(x_1) ⊂ B_ε(x_0)$ und $\snorm{A_{λ_0}x}_Y > k$ für alle $x ∈ B_ρ(x_1)$.
Dies bedeutet $m(x) > k$ für alle $ x ∈ B_ρ(x_1)$, also $B_ρ(x_1) ∩ M_k = \emptyset$, was den Beweis vollendet.
diff --git a/common.tex b/common.tex
index 9be3c16..acbf959 100644
--- a/common.tex
+++ b/common.tex
@@ -23,6 +23,7 @@
\def\iff{\Leftrightarrow}
\def\gdw{\;\Longleftrightarrow\;}
\newcommand\cl[1]{\overline{#1}}
+\newcommand\conj[1]{\overline{#1}}
\newcommand\ind[1]{\mathbb{1}_{#1}}
\newcommand\Pot[1]{2^{#1}}
\DeclareMathOperator{\End}{End}
@@ -81,7 +82,7 @@
\addbibresource{ref.bib}
% \indexsetup{headers={\indexname}{\indexname}}
-% \makeindex[columns=2,intoc=true]
+% \makeindex[columns=3,intoc=true]
\makeindex
@@ -100,7 +101,11 @@ Alle Fehler sind vermutlich einzig und allein meine Schuld.
Über Verbesserungen und Vervollständigungen freue ich mich sehr (bevorzugt Patches an \href{mailto:ulli.kehrle@rwth-aachen.de}{ulli.kehrle@rwth-aachen.de}).
Der Quelltext dieser Mitschrift ist unter \url{https://git.server-speed.net/users/hrnz/funkana.git} online verfügbar.
-Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf} (DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder, bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen.
+Es werden regelmäßig PDFs unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana.pdf}
+(DIN A4, für große Bildschirme und zum Ausdrucken) und
+\url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-ebook.pdf} (DIN A5, keine Ränder,
+bietet sich wohl für Ebook-Reader, Smartphones und Tablets an) erscheinen.
+Es gibt unter \url{https://hrnz.li/files/funkana/funkana-noproof.pdf} auch eine Version ohne Beweise und nicht-nummerierte Bemerkungen.
\begin{bemerkung-nn}
diff --git a/funkana-ebook.tex b/funkana-ebook.tex
index 7cb9be2..4695c1d 100644
--- a/funkana-ebook.tex
+++ b/funkana-ebook.tex
@@ -7,5 +7,4 @@
twoside=false,
chapterprefix=true,
headings=big]{skript}
-
\input{common.tex}
diff --git a/funkana-noproof.tex b/funkana-noproof.tex
new file mode 100644
index 0000000..36ac726
--- /dev/null
+++ b/funkana-noproof.tex
@@ -0,0 +1,24 @@
+\documentclass[
+ 12pt,
+ DIV=10,
+ BCOR=4mm,
+ twoside=semi,
+ chapterprefix=true,
+ headinclude=true,
+ footinclude=true,
+ usegeometry=true,
+ headings=big]{skript}
+\usepackage[top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
+\usepackage{versions}
+\AtBeginDocument{
+\excludeversion{proof}
+\excludeversion{beweis}
+\excludeversion{beweisidee}
+\excludeversion{noproof}
+\excludeversion{bemerkung-nn}
+% \excludeversion{beispiel-nn}
+% \excludeversion{beispiele-nn}
+% \excludeversion{beispiel}
+% \excludeversion{beispiele}
+}
+\input{common.tex} \ No newline at end of file
diff --git a/index.ist b/index.ist
new file mode 100644
index 0000000..ae5866d
--- /dev/null
+++ b/index.ist
@@ -0,0 +1,7 @@
+headings_flag 1
+heading_prefix "\n{\\centering\\textbf{"
+heading_suffix "}\\par\\nopagebreak\n}"
+symhead_positive "Symbole"
+delim_0 " \\dotfill "
+delim_1 " \\dotfill "
+delim_2 " \\dotfill "
diff --git a/latexmkrc b/latexmkrc
index 0abe1d5..6ded101 100644
--- a/latexmkrc
+++ b/latexmkrc
@@ -1,4 +1,5 @@
$pdflatex = 'xelatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf';
-#pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf';
+#$pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf';
+$makeindex = 'makeindex %O -o %D -s index.ist %S';
$pdf_mode = 1;
$out_dir = "build"; \ No newline at end of file
diff --git a/skript.cls b/skript.cls
index 8b53d8d..1178baa 100644
--- a/skript.cls
+++ b/skript.cls
@@ -80,9 +80,9 @@
% fonts
\RequirePackage{setspace}
-\setstretch{1.1}
+\setstretch{1.12}
\setlength\parskip{0pt}
-\setlength\parindent{2em}
+\setlength\parindent{1.5em}
\RequirePackage[amsmath, thmmarks, framed]{ntheorem}
\RequirePackage{silence}
@@ -90,7 +90,7 @@
\WarningFilter{mdframed}{You got a bad break}
\RequirePackage{makeidx}
-\RequirePackage[totoc]{idxlayout}
+\RequirePackage[justific=raggedright,font=footnotesize,columns=3,columnsep=1em,indentunit=1em,totoc]{idxlayout}
\RequirePackage[unicode,colorlinks,bookmarksopen=true]{hyperref}
\makeatletter
\pdfstringdefDisableCommands{\let\(\fake@math}
@@ -145,15 +145,16 @@
\setenumerate{label=(\alph*),leftmargin=2em}
\newlist{wenumerate}{enumerate}{1}
\setlist[wenumerate]{leftmargin=3em}
+\setlistdepth{9}
\makeatletter
\def\theorem@checkbold{}
\newtheoremstyle{mychange}%
{\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2\hskip 0.3em\ ##1\theorem@separator]}%
- {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2\hskip 0.3em\ ##1\ {\normalsize\mdseries(##3)}\theorem@separator]}
+ {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##2\hskip 0.3em\ ##1\ {\upshape\normalsize\mdseries(##3)}\theorem@separator]}
\newtheoremstyle{nonumbermychange}%
{\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\theorem@separator]}%
- {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ {\normalsize\mdseries(##3)}\theorem@separator]}
+ {\item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ {\upshape\normalsize\mdseries(##3)}\theorem@separator]}
\makeatother
\DeclareDocumentCommand\newmdtheoremenv{s O{} m o m o }{%
\IfBooleanTF{#1}{%
@@ -213,7 +214,7 @@
\newdef{warnung}{Warnung}
\newdef{achtung}{Achtung}
\newdef{erinnerung}{Erinnerung}
-\theoremindent=\parindent
+\theoremindent=2em
\theoremheaderfont{\scshape}
\newdef{frage}{Frage}
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