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diff --git a/ch01-lineare-struktur.tex b/ch01-lineare-struktur.tex index 3944b47..c3e9c8e 100644 --- a/ch01-lineare-struktur.tex +++ b/ch01-lineare-struktur.tex @@ -93,7 +93,7 @@ Zunächst die (bis auf isomorphie eindeutig bestimmten) endlich"=dimensionalen R \begin{beispiel}[$ℝ^n$, $ℂ^n$] Der $ℝ^n$ ist ein linearer Raum über dem Körper $ℝ$. Der $ℂ^n$ ist sowohl ein $ℂ$- als auch ein $ℝ$-Vektorraum. Dabei ist $\dim_ℝ ℝ^n = n$ und $\dim_ℂ ℂ^n = n$, aber $\dim_ℝ ℂ^n = 2n$. - Insbesondere ist $C$ auch ein zwei"=dimensionaler reeller Vektorraum. + Insbesondere ist $ℂ$ auch ein zwei"=dimensionaler reeller Vektorraum. \end{beispiel} In der klassischen Analysis haben wir uns bereits ausgiebigst mit diesen Räumen befasst. @@ -135,8 +135,8 @@ Die Funktionalanlaysis versucht nun, einige der Konzepte, die wir von diesen Rä \] \end{beispiel} \begin{beispiel}[Lebesgue-integrierbare Funktionen] - \index{$L^p$} - \index{$\L^p$} + \index{$L^p(Ω)$} + \index{$\L^p(Ω)$} \index{Funktion!Lebesgue-integrierbar} Sei $M ⊂ ℝ$ messbar und $0 < p < ∞$. Dann ist diff --git a/ch02-topologie.tex b/ch02-topologie.tex index e91a20d..123583f 100644 --- a/ch02-topologie.tex +++ b/ch02-topologie.tex @@ -17,7 +17,7 @@ \label{defi:top-raum-2.1.1} Sei $X$ eine Menge und $\T ⊂ \Pot X$ eine Menge von Teilmengen von $X$. $\T$ heißt eine \emph{Topologie} auf $X$, falls $\T$ unter endlichen Durchschnitten und beliebigen Vereinigungen abgeschlossen ist. - Insbesondere muss $\T$ $\emptyset$ als leere Vereinigung und $X$ als leeren Schnitt enthalten. + Insbesondere muss $\T$ die leere Menge $\emptyset$ als leere Vereinigung und den ganzen Raum $X$ als leeren Schnitt enthalten. $(X,\T)$ heißt dann \emph{topologischer Raum}. Die Elemente von $\T$ heißen \emph{offene Mengen} \end{definition} \begin{beispiele-nn} @@ -231,11 +231,11 @@ existiert. Wir sagen die Topologien sind gleich, falls $\T_{1}=\T_{2}$. \end{definition} \begin{bemerkung-nn} - Sei $\T_{1}$ feiner als $\T_{2}$. - Die feinere Topologie $\T_{1}$ enthält mehr offene Mengen, + Sei nun $\T_{1}$ eine feinere Topologie als $\T_{2}$ auf $X$. + Dann enthält die feinere Topologie $\T_{1}$ mehr offene Mengen, und damit zu jedem Grenzwert $x_{0}$ weniger konvergte Folgen. - \end{bemerkung-nn} + \begin{lemma-nn} Sei $X$ eine Menge, $\T_1$ und $\T_2$ Topologien auf $X$, für jedes $x ∈ X$ $B^x_i$ eine Umgebungsbasis von $x$ in $\T_i$, $i=1,2$. Dann sind äquivalent: @@ -469,36 +469,36 @@ Nun ein paar Charakterisierungen von kompakten Mengen in metrischen Räumen. Wähle nun $n_1 ∈ ℕ$ beliebig und iterativ $n_{k+1} > n_k$ mit $d(x,x_{n_{k+1}}) < 1/k$. Dann ist $(x_{n_k})_{k ∈ }$ eine Teilfolge von $(x_n)_{n ∈ ℕ}$, die gegen $x$ konvergiert. $(c) ⇒ (a)$: %Siehe zum Beispiel \cite[Ch 3, Th 28.2]{munkres2000topology}. - Wir zeigen zunächst, dass, wenn $X$ folgenkompakt ist, und $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $X$ ist, ein $δ > 0$ existiert, so dass jede Teilmenge von $X$ mit Durchmesser höchstens $δ$ in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist. + Wir zeigen zunächst, dass, wenn $K$ folgenkompakt ist, und $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $K$ ist, ein $δ > 0$ existiert, so dass jede Teilmenge von $K$ mit Durchmesser höchstens $δ$ in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist. Angenommen, es würde kein $δ > 0$ mit dieser Eigenschaft geben. Dann gibt es insbesondere für jedes $n ∈ ℕ$ eine Menge mit Durchmesser kleiner $1/n$. die nicht in einer Menge aus $\mathcal A$ enthalten ist. Sei für jede natürliche Zahl $n$ $C_n$ so eine Menge und $x_n ∈ C_n$. - Per Annahme besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(x_{n_k})_{k ∈ ℕ}$, die gegen $a ∈ X$ konvergiert. + Per Annahme besitzt $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ eine konvergente Teilfolge, sagen wir $(x_{n_k})_{k ∈ ℕ}$, die gegen $a ∈ K$ konvergiert. Dann ist $a$ in einem $A ∈ \mathcal A$ enthalten. Da $A$ offen ist, gibt es ein $ε > 0$, so dass $B_ε(a) ⊂ A$. Ist nun $k$ so groß, dass $1/n_k < ε/2$, dann ist $C_{n_k} ⊂ B_{ε/2}(x_{n_k})$. Aber das ist ein Widerspruch zur Annahme. - Zweitens zeigen wir, dass, wenn $X$ folgenkompakt ist und $ε > 0$, wir eine endliche Überdeckung von $X$ durch $ε$-Bällen finden können. + Zweitens zeigen wir, dass, wenn $K$ folgenkompakt ist und $ε > 0$ beliebig, wir eine endliche Überdeckung von $K$ durch $ε$-Bällen finden können. Auch hier nehmen wir an, das würde nicht gehen. - Sei $ε > 0$ so, dass $X$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann. - Wir konstruieren nun iterativ eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzen kann: Sei $x_1 ∈ X$ beliebig. - Da per Wahl von $ε$ $X$ nicht komplett von $B_ε(x_1)$ überdeckt wird, gibt es ein $x_2 ∈ X \setminus B_ε(x_1)$. + Sei $ε > 0$ so, dass $K$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann. + Wir konstruieren nun iterativ eine Folge, die keine konvergente Teilfolge besitzen kann: Sei $x_1 ∈ K$ beliebig. + Da per Wahl von $ε$ $K$ nicht komplett von $B_ε(x_1)$ überdeckt wird, gibt es ein $x_2 ∈ K \setminus B_ε(x_1)$. Wähle nun iterativ, wenn $x_n$ schon konstruiert ist, $x_{n+1}$ so, dass es nicht in der Vereininung \[ B_ε(x_1) ∪ \cdots ∪ B_ε(x_n) \] liegt. - Das geht, da nach Annahme $X$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann. + Das geht, da nach Annahme $K$ nicht von endlich vielen $ε$-Bällen überdeckt werden kann. Nach Konstruktion ist nun $d(x_n, x_m) > ε$ für $n \ne m$. - Somit kann $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ keine Cauchy"=Teilfolge, also auch keine konvergente Teilfolge enthalten und $X$ ist somit nicht folgenkompakt. + Somit kann $(x_n)_{n ∈ ℕ}$ keine Cauchy"=Teilfolge, also auch keine konvergente Teilfolge enthalten und $K$ ist somit nicht folgenkompakt. - Nun folgern wir die Behauptung: Sei $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $X$. - Da $X$ folgenkompakt ist, gibt es nun ein $δ > 0$, so dass jede Menge mit Durchmesser kleiner $δ$ in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten ist. + Nun folgern wir die Behauptung: Sei $\mathcal A$ eine offene Überdeckung von $K$. + Da $K$ folgenkompakt ist, gibt es nun ein $δ > 0$, so dass jede Menge mit Durchmesser kleiner $δ$ in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten ist. Sei nun $ε = δ/3$. - Da $X$ folgenkompakt ist, gibt es eine endliche Überdeckung von $X$ aus $ε$-Bällen. + Da $K$ folgenkompakt ist, gibt es eine endliche Überdeckung von $K$ aus $ε$-Bällen. Da jeder dieser Bälle einen Durchmesser von höchstens $2δ/3$ hat, ist er in einer Menge in $\mathcal A$ enthalten. - Das erlaubt uns, eine endliche Teilüberdeckung aus $\mathcal A$ auszuwählen, die $X$ überdeckt. + Das erlaubt uns, eine endliche Teilüberdeckung aus $\mathcal A$ auszuwählen, die $K$ überdeckt. \end{proof} \section{Vollständigkeit in metrischen Räumen und der Satz von Baire} \label{sec:vollst-metr-raum} diff --git a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex index bbf5265..306f07f 100644 --- a/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex +++ b/ch03-topologisch-lineare-raeume.tex @@ -363,6 +363,20 @@ Für die Stetigkeit der skalaren Multiplikation im Punkt $(\alpha ,x) ∈ \K × \begin{proof} Das folgt direkt aus den Axiomen und~\cref{lemma:metrischer-linearer-raum-charak-3.4} \end{proof} + +\begin{figure}[tb] + \centering + \definecolor{cff0000}{RGB}{255,0,0} + \definecolor{c0000ff}{RGB}{0,0,255} + \definecolor{c800080}{RGB}{128,0,128} + \begin{tikzpicture}[yscale=-0.2, xscale=0.20000] + \footnotesize + \begin{scope}[align=center,very thick,shift={(0,-87.0)}] + \path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (6.2258,27.8092) rectangle (60.9550,70.6598);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (9.0259,36.5619) rectangle (55.4438,63.7343);\path[draw=black,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (11.3696,39.9704) rectangle (52.7539,62.1758);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (26.7273,30.4917) rectangle (73.8299,68.9673);\path[draw=cff0000,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (28.6626,33.2726) rectangle (58.0980,66.3885);\path[draw=c0000ff,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.6756,42.9603) rectangle (51.8855,59.8931);\path[cm={{1.0,0.0,0.04521,0.99898,(0.0,0.0)}},draw=c800080,miter limit=4.00,,rounded corners=0.50cm] (29.7058,52.2710) rectangle (47.5445,58.2520);\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (8.2029,31.7679) node[above right] (text902) {topologischer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (11.8801,39.5) node[above right] (text906) {Hausdorff-Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (12,50) node[above right] (text910) {metrischer Raum \\ mit induzierter \\ Topologie};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34,56) node[above right] (text916) {normierter Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (30.5489,51) node[above right] (text922) {metrischer linearer Raum \\ oder quasinormierter \\ Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (61,33.2709) node[above right] (text928) {linearer Raum};\path[fill=black,line join=miter,line cap=butt,miter limit=4.00,] (34.5089,36) node[above right] (text932) {topologischer linearer Raum};\end{scope} + \end{tikzpicture} + \caption{topologische und lineare Strukturen} +\end{figure} + \begin{bemerkung-nn} Speziell für die Anwendung sehr wichtige metrische lineare Räume werden von Semi-Normen erzeugt. \end{bemerkung-nn} @@ -594,7 +608,7 @@ Wir werden die unten angegebenen Beispiele auch gleich auf Vollständigkeit unte also die Konvergenz. \end{proof} -\subsection{Der Folgenraum $\mathcal S = \K^∞$} +\subsection{Der Folgenraum \(\mathcal S\)} \label{sec:der-folg-mathc} Wir bezeichnen den Raum $\{x = (ξ_n)_{n ∈ ℕ}, ξ_n ∈ \K\}$ aller Folgen in $\K$ mit $\mathcal S$ oder $\K^\infty$. \index{$\K^∞$} @@ -905,7 +919,7 @@ Wir werden in der Übung sehen, dass $C(\Omega)$ mit dieser Metrik $d_{C(\Omega) Die so definierte Topologie nennen wir $\T_\D$ und den Raum $C_1^\infty (\Omega)$ auch $\D(\Omega)$. Es stellt sich heraus, dass diese Topologie tatsächlich unabhängig von der gewählten Ausschöpfung ist. Außerdem ist $(\D(\Omega),\T_\D)$ ein topologischer linearer Raum, das heißt, die Vektorraumoperationen sind stetig. - \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in $\D(\Omega)$] + \begin{lemma}[Charakterisierung offener Mengen in \(\mathcal D (Ω)\)] Es gilt \[ O ∈ \T_\D \iff ∀ ξ ∈ O ∃ \epsilon =(e_j)_{j ∈ ℕ} ∈ ℝ^\infty , e_j > 0: e+U_\epsilon ⊂ O. @@ -1335,7 +1349,7 @@ Im allgemeinen muss $T$ nicht notwendigerweise stetig sein: Dann gibt es genau dann eine unstetige lineare Abbildung $X → Y$, wenn $\dim X = ∞$ ist \end{satz} -\subsection*{Stetigkeit in normierten Räumen} +\subsection{Stetigkeit in normierten Räumen} \begin{definition} Seien $X, Y$ topologische lineare Räume. Eine Abbildung $F: X → Y$ heißt \emph{beschränkt}, falls das Bild jeder in $X$ beschränkten Menge in $Y$ beschränkt ist. diff --git a/ch04-unitaere-raeume.tex b/ch04-unitaere-raeume.tex index 9087b28..f2d6360 100644 --- a/ch04-unitaere-raeume.tex +++ b/ch04-unitaere-raeume.tex @@ -5,14 +5,14 @@ Sei wieder $\K = \R$ oder $\K = ℂ$. \begin{definition} Sei $X$ ein linearer Raum über $\K$. Eine Abbildung $\langle \cdot, \cdot \rangle: X × X → \K$ heißt \emph{Skalarprodukt} auf $X$, falls gilt - \begin{enumerate}[label=(U\arabic*)] + \begin{wenumerate}[label=(U\arabic*)] \item $\langle x, x \rangle > 0$ für alle $0 \ne x ∈ X$. \item $\langle x, y \rangle = \cl {\langle y, x \rangle}$ für alle $x, y ∈ X$. \item $\langle x, \alpha y + β z \rangle = \alpha \langle x, y \rangle + β \langle x,z \rangle$ für alle $\alpha , β ∈ \K$, $x,y,z ∈ X$. - \end{enumerate} + \end{wenumerate} $(X,\langle -,- \rangle)$ heißt \emph{Skalarproduktraum}, \emph{unitärer Raum} oder \emph{Prähilbertraum}. \end{definition} @@ -449,5 +449,5 @@ Tatsächlich bekommt man dadurch sogar schon alle Elemente des Dualraums: %%% Local Variables: %%% mode: latex -%%% TeX-master: "funkana-ebook" +%%% TeX-master: "funkana" %%% End: diff --git a/ch05-hahn-banach.tex b/ch05-hahn-banach.tex index 131ad0f..e532ad9 100644 --- a/ch05-hahn-banach.tex +++ b/ch05-hahn-banach.tex @@ -1,5 +1,8 @@ -\chapter{Der Satz von Hahn-Banach \\ und seine Konsequenzen} +\chapter[Der Satz von Hahn-Banach und seine Konsequenzen]{Der Satz von Hahn-Banach \\ und seine Konsequenzen} +\chaptermark{Der Satz von Hahn-Banach} +\label{cha:der-satz-von} \section{Fortsetzbarkeit linearer Funktionale} +\label{sec:forts-line-funkt} Wir fragen uns, ob sich Abbildungen so erweitern, dass gewisse Eigenschaften (wie z.B. Linearität oder Stetigkeit) erhalten bleiben. @@ -367,7 +370,8 @@ Unser Ziel wird es nun sein, $X$ in $X''$ einzubetten. \end{noproof} \section{Darstellungssätze für einige Dualräume} -\subsection*{Dualraum des $L^p(Ω)$, $1≤p < ∞$, $Ω ⊂ ℝ^n$ offen} +\newcommand{\hidemath}{\(L^p(Ω), 1 ≤ p < ∞, Ω ⊂ ℝ^n\)} +\subsection*{Dualraum des \protect\hidemath{} offen} \begin{satz}\label{ch05-darstellungssatz-Lp} Zu jedem $f ∈ (L^p(Ω))'$ , $1 ≤ p < ∞$ gibt es genau ein $u ∈ L^q(Ω)$, wobei @@ -389,7 +393,7 @@ Insbesondere ist $(L^1(Ω))'$ isometrisch isomorph zu $L^∞(Ω)$. Aber $(L^∞( Mit Hilfe von \cref{ch05-darstellungssatz-Lp} lässt sich zeigen, dass $L^p(Ω)$, $1 < p < ∞$ reflexiv sind. \end{bemerkung-nn} -\subsection*{Dualraum des $\ell^p$, $1 <p < ∞$ } +\subsection*{Dualraum des \(\ell^p, 1<p<∞\)} \begin{satz} Sei $1 < p < ∞$. Jedes $x' ∈ (\ell^p)'$ kann mit Hilfe von genau einer Folge $α = (α_i)_{i ∈ ℕ} ∈ \ell^q$ (wobei $\frac 1 q + \frac 1 p = 1$) in der Form diff --git a/ch06-schwache-topologien.tex b/ch06-schwache-topologien.tex index ea30203..cbf88ff 100644 --- a/ch06-schwache-topologien.tex +++ b/ch06-schwache-topologien.tex @@ -109,7 +109,7 @@ Dann definiere U'(x, ε) \coloneq \{ x' ∈ X': |\lAngle x', x \rAngle| < ε\} ⊂ X'. \] \begin{definition} - Eine Menge $V' ⊂ X'$ heißt offen bezüglich der \emph{scwhach$*$-Topologie}, falls zu jedem $x_0' ∈ V'$ endlich viele $x_1,…,x_k ∈ X$, $ε_1,…,ε_n > 0$ existieren, so dass + Eine Menge $V' ⊂ X'$ heißt offen bezüglich der \emph{schwach$*$-Topologie}, falls zu jedem $x_0' ∈ V'$ endlich viele $x_1,…,x_k ∈ X$, $ε_1,…,ε_n > 0$ existieren, so dass \[ x_0' + \bigcap_{i=1}^n U'(x_i, ε_i) ⊂ V'. \] @@ -77,7 +77,6 @@ \sloppy \maketitle \section*{Vorwort} -\spacedlowsmallcaps{HI das ist ein doofer text} \label{sec:vorwort} Dies ist eine Vorlesungsmitschrift, die nichts mit den Dozenten oder dem Lehrstuhl, der die Veranstaltung hält, zu tun hat. diff --git a/figures/uebersicht-raeume.svg b/figures/uebersicht-raeume.svg new file mode 100644 index 0000000..12d16e0 --- /dev/null +++ b/figures/uebersicht-raeume.svg @@ -0,0 +1,211 @@ +<?xml version="1.0" encoding="UTF-8" standalone="no"?> +<!-- Created with Inkscape (http://www.inkscape.org/) --> + +<svg + xmlns:dc="http://purl.org/dc/elements/1.1/" + xmlns:cc="http://creativecommons.org/ns#" + xmlns:rdf="http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#" + xmlns:svg="http://www.w3.org/2000/svg" + xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" + xmlns:sodipodi="http://sodipodi.sourceforge.net/DTD/sodipodi-0.dtd" + xmlns:inkscape="http://www.inkscape.org/namespaces/inkscape" + width="297mm" + height="210mm" + viewBox="0 0 297 210" + version="1.1" + id="svg4528" + sodipodi:docname="uebersicht-raeume.svg" + inkscape:version="0.92.2 5c3e80d, 2017-08-06"> + <defs + id="defs4522" /> + <sodipodi:namedview + id="base" + 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style="font-style:normal;font-weight:normal;font-size:4.93888855px;line-height:125%;font-family:sans-serif;letter-spacing:0px;word-spacing:0px;fill:#000000;fill-opacity:1;stroke:none;stroke-width:0.70555556;stroke-linecap:butt;stroke-linejoin:miter;stroke-opacity:1;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none" + x="115.46043" + y="180.47049" + id="text922"><tspan + sodipodi:role="line" + id="tspan920" + x="115.46043" + y="180.47049" + style="stroke-width:0.70555556;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none">metrischer linearer Raum oder </tspan><tspan + sodipodi:role="line" + x="115.46043" + y="186.6441" + style="stroke-width:0.70555556;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none" + id="tspan924">quasinormierter Raum</tspan></text> + <text + xml:space="preserve" + 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y="132.36198" + style="stroke-width:0.70555556;stroke-miterlimit:4;stroke-dasharray:none">topologischer linearer Raum</tspan></text> + </g> +</svg> diff --git a/funkana.tex b/funkana.tex index 372583e..3543e08 100644 --- a/funkana.tex +++ b/funkana.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[ 12pt, DIV=10, - BCOR=0mm, + BCOR=4mm, twoside=true, chapterprefix=true, headinclude=true, @@ -1,4 +1,4 @@ -#$pdflatex = 'xelatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; -$pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +$pdflatex = 'xelatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; +#pdflatex = 'pdflatex --recorder --synctex=1 --shell-escape -halt-on-error %O %S && cp %D ./pdf/%R.pdf'; $pdf_mode = 1; $out_dir = "build";
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